第01讲 探索勾股定理 讲义 2026-2027学年 北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第01讲 探索勾股定理 （新教材北师大版） 知识点一、勾股定理 2 知识点二、勾股定理的证明 2 知识点三、勾股定理的作用 3 【题型1 用勾股定理理解三角形】 3 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形的面积】 4 【题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 5 【题型4 利用勾股定理证明线段平方关系】 6 【题型5 勾股定理的证明方法】 7 【题型6 以弦图为背景的计算题】 8 【题型7 用勾股定理构造图形解决问题】 9 【探究式学习】 11 【课后检测】 13 【复盘笔记】 18 知识点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 　 （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 知识点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段、边。 【题型1 用勾股定理理解三角形】 【例1】如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【变式1-1】如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 【变式1-2】若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 【变式1-3】一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形的面积】 【例2】五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【变式2-1】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【变式2-3】如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例3】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【题型4 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例4】如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 【变式4-3】对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【题型5 勾股定理的证明方法】 【例5】中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式5-1】如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【变式5-2】勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 【题型6 以弦图为背景的计算题】 【例6】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【变式6-1】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式6-2】中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【变式6-3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【题型7 用勾股定理构造图形解决问题】 【例7】如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【探究式学习】 1．【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 2．综合与实践 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． (1)【尝试发现】如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易得，于是可得，．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（_________①），所以，可得_______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______； (2)【类比探究】如图2，当点D在线段的延长线上时， ①探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； (3)【拓展应用】若，，请直接写出线段的长． 【课后检测】 1．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．已知一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一直角边的长是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 4．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） 5．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 6．为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 7．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 9．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 10．如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（     ） A． B． C． D． 11．在中，，，则的长为__________． 12．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 13．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 14．已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 15．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 16．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 17．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： (1)_________（填“”“”或“”）； (2)若，，，求小男孩向右移动的距离 18．解答以下问题 (1)如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） (2)如图2，在中，，，，求的面积． 19．如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．请写出关于，，，的等式． 20．如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第01讲 探索勾股定理 （新教材北师大版） 知识点一、勾股定理 2 知识点二、勾股定理的证明 2 知识点三、勾股定理的作用 3 【题型1 用勾股定理理解三角形】 3 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形的面积】 6 【题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 8 【题型4 利用勾股定理证明线段平方关系】 10 【题型5 勾股定理的证明方法】 13 【题型6 以弦图为背景的计算题】 16 【题型7 用勾股定理构造图形解决问题】 19 【探究式学习】 22 【课后检测】 26 【复盘笔记】 38 知识点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 　 （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 知识点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段、边。 【题型1 用勾股定理理解三角形】 【例1】如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】先分析为等腰直角三角形，根据已知条件构造全等三角形，得出，再利用，得出，设未知量并列方程，根据勾股定理求出的值，计算面积即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 在和中 ，， ， ，， ， ， 设，， ， 又， 在中，， 解得， ． 【变式1-1】如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 【答案】D 【分析】首先利用勾股定理求得线段的长，然后除以株距即可求得结果． 【详解】解：山坡的高，水平距离， ， 每隔栽一棵茶树， 棵， ∴从上到下共21棵． 【变式1-2】若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】需结合勾股定理与完全平方公式的变形，整体求解的值． 【详解】解：∵中为斜边，， ∴， ∵， ∴， 将代入上式，得， ∴． 【变式1-3】一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形的面积】 【例2】五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 【变式2-1】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积恰好等于边长的平方，因此只需在1、2、3、4中选出三组可重复数字，满足两个较小面积之和等于最大面积，依次列举符合条件的组合，共计4种，由此确定答案． 【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边的正方形的面积=两直角边的正方形的面积和， ∴有，，，，四种情况． 【变式2-2】如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 【变式2-3】如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 【题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例3】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 【变式3-2】在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 【题型4 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例4】如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 【变式4-1】如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，结合正方形的面积求解即可； 【详解】解：因为是的边上的高， 所以， 所以， 根据正方形的面积，得， 故． 故． 【变式4-2】设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理和直角三角形等面积法推导a，b，h的数量关系，即可得到正确答案． 【详解】解：设该直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理可得 ， ∵直角三角形的面积可表示为，也可表示为， ∴ ，即， ∴ ， 两边同时平方得， 等式两边同时除以得，即． 故选：C． 【变式4-3】对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 【题型5 勾股定理的证明方法】 【例5】中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 【变式5-1】如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 【变式5-2】勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面积法分别对四幅图列出面积等式并化简，验证是否能推导出，以此判断各图能否证明勾股定理，最终选出符合要求的选项． 【详解】A、梯形的面积为， 三个直角三角形的面积之和为， 令二者相等，两边乘化简得， 即，故A选项可以证明勾股定理． B、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为 令二者相等，展开化简得， 即，故选项B可以证明勾股定理． C、大正方形的面积为， 四个三角形与中间小正方形的面积之和为， 令二者相等，得，故选项C可以证明勾股定理． D、大正方形的面积为， 其余各部分面积之和为， 令二者相等，得，故选项D不能证明勾股定理． 【变式5-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， 故A选项能证明勾股定理； B、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 【题型6 以弦图为背景的计算题】 【例6】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 【变式6-1】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是即可． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． ∴“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积为； ∵，， 所以“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 同理：“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是4． 【变式6-2】中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 【变式6-3】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 【题型7 用勾股定理构造图形解决问题】 【例7】如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 【变式7-1】有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 【变式7-2】如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴绳索的长是． 【变式7-3】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 【探究式学习】 1．【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积； （2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积； （3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值． 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， 包围的大长方形长为、宽为，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （3）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， ∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作，交延长线于点O，得矩形， ，， ， ， ∴代数式的最小值为； （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度， ， ∴代数式的最小值为． 2．综合与实践 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． (1)【尝试发现】如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易得，于是可得，．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（_________①），所以，可得_______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______； (2)【类比探究】如图2，当点D在线段的延长线上时， ①探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； (3)【拓展应用】若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)等式性质1， (2)①， 证明：∵在中，， ∴  ， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时， (3) 【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据证明，得，由得，进而得，从而可得； ②由①得，根据勾股定理求出的长即可； （3）由（2）得，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：由①得， ， 在中，； （3）解：当，时， 由（1）（2）知，， ， ∴． 【课后检测】 1．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合轴对称性质求解即可． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 2．已知一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一直角边的长是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8， ∴另一直角边的长是． 3．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：设斜边长为，则其中一直角边长为． 根据勾股定理可知， 解得：． 4．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 5．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 6．为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，再计算起重臂顶端离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米，， 米， ∵点到地面的竖直距离为2米， 米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 7．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 8．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据点P到各边的距离相等，结合勾股定理，三角形的面积求解即可； 【详解】解：连接， 设， ， ． 再根据直角三角形的面积，， ， ， 解得． 9．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由翻折的性质可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，的长最小，求出，设此时，利用勾股定理列方程，即可解得答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点、、三点共线时，的长最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 此时， 设此时，则， 在中，， 即， 解得． 11．在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 12．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 13．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 【答案】 /米 【分析】旗杆垂直地面，绳子拉开后形成直角三角形，直角边分别为旗杆高和水平拉开的距离，斜边为绳长，已知绳长比旗杆高多，水平距离为，设旗杆的高为 ，用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长度为， ∵旗杆垂直于地面， ∴绳子、旗杆、地面构成直角三角形， 由勾股定理可得： ， 解得： ， 即旗杆的高为． 14．已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 15．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 16．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 17．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，． 回答下列问题： (1)_________（填“”“”或“”）； (2)若，，，求小男孩向右移动的距离 【答案】(1) (2)小男孩向右移动的距离为. 【分析】（1）根据绳长始终保持不变即可解答； （2）首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意，绳长始终保持不变， 故； （2）解：∵，，，，三点在一条直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得，， ∵， ∴， 由题意，小男孩向右移动的距离即为的长， 故小男孩向右移动的距离为. 18．解答以下问题 (1)如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） (2)如图2，在中，，，，求的面积． 【答案】(1)船向岸边移动了9米 (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理求得，结合题意得知，再次利用勾股定理求得，根据求解即可； （2）过点作于点，在和中，利用勾股定理得到和，即可列出，解得，利用勾股定理求得，利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中： ∵，米，米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． （2）解：过点作于点，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ 19．如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．请写出关于，，，的等式． 【答案】 【分析】对和利用勾股定理，分别表示出，即可得出结果. 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， 在和中， 由勾股定理，得， 由题意，， ∴. 20．如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 【答案】 【分析】设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，可得， 根据圆的面积公式以及直角三角形的面积公式，分别求得、、、的面积，即可解答． 【详解】解：如图，设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为， 的三边长分别为，，， ，，，， ； 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $