专题01勾股定理及逆定理知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题01勾股定理及逆定理知题通关讲义 知识点01:勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 知识点02:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点03:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形， 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点04:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点05:勾股数 1. 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 必备条件：① 均为正整数；② 满足 a2+b2=c2。 2. 常用基础勾股数（熟记，解题提速） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 倍数规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得三组数仍是勾股数。 例：3,4,5 扩大 2 倍得 6,8,10，依旧为勾股数。 知识点06:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 1. 混淆勾股定理的直角边与斜边 提醒：在勾股定理中，斜边为直角所对的最长边；公式a2+b2=c2内，c特指斜边，不可随意赋值。 2. 已知两边求第三边，未分类讨论导致漏解 提醒：题干未指明已知边为直角边或斜边时，需分两类情况运算。 3. 忽略定理适用范围，非直角三角形使用勾股定理 提醒：勾股定理的适用对象仅为直角三角形，非直角三角形不可使用该定理。 4. 逆定理判定直角三角形，未选取最长边验证 提醒：判定三角形是否为直角三角形，应取最长边作为斜边，验证两较短边长的平方和等于最长边的平方。 5. 混淆勾股定理及其逆定理 提醒：勾股定理依据直角推导三边数量关系；逆定理依据三边数量关系判定直角存在，二者因果逻辑互逆。 6. 逆定理应用错误，误判直角所在位置 提醒：若三边满足a2+b2=c2，则最长边c所对的内角为直角。 7. 边长含系数，平方运算范围出错 提醒：边长带有系数时，应对整体进行平方运算，不可仅对数字单独平方。 8. 逆定理验证时遗漏平方运算 提醒：利用三边判定直角三角形，必须进行平方运算，不可直接比较边长之和。 9. 勾股定理计算，平方化简运算出错 提醒：代入数值准确计算平方，移项、开方步骤规范运算。 10. 直角三角形三边同倍缩放，误判不再为直角三角形 提醒：原三角形为直角三角形，三边同时扩大或缩小相同正倍数，所得三角形仍为直角三角形。 11. 由a2+b2≠c2，误判定三角形不存在 提醒：a2+b2≠c2仅说明该三角形不是直角三角形，三角形本身依然成立。 12. 勾股数同倍放大，误判不再是勾股数 提醒：一组勾股数同时乘以同一个正整数，得到的新数组依旧是勾股数。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★ 题型八 勾股树（数）问题 ★ 题型九 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解 ★★ 题型十二 勾股定理逆定理的拓展问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用勾股定理解三角形 1．在中，，，，的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角确定斜边为，结合勾股定理变形验证选项． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边，，为直角边， ∴，即． 2．如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 【答案】 7.5 【分析】利用勾股定理求出斜边 的长，计算三角形周长得到总路程，再除以速度得到时间． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴， （分钟）， 故需要分钟． 3．元音中学徐志胜同学去幼儿园找弟弟，幼儿园的滑梯引起了他的注意，如图所示，他想了解滑梯的长，通过数滑梯下面的地垫，他了解到长为2.4米，点的高度比自己高半头（15厘米左右）则长大概是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．题目中所给数据较少，可根据生活经验估计中学生身高范围赋值，因此答案不唯一，解题的关键是熟练掌握生活经验赋值，勾股定理． 估计中学生徐志胜同学身高1.65米，得，根据，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：估计中学生徐志胜同学身高为1.65米， 则， ∵， ∴， ∴（米）． 故选：B． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：依题意，正方形的面积为． 5．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 6．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由图和勾股定理可知，中间正方形的面积等于正方形A，B的面积之和，正方形D的面积等于中间正方形的面积加上正方形C的面积， 故正方形D的面积. 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 8．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 9．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义，验证三个正整数是否满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即可得到答案． 【详解】解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 题型五 勾股定理的证明方法 13．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据传统文化知识，记录在《周髀算经》中，解答即可． 本题考查了勾股定理的发展史，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得记录在《周髀算经》中， 故选：C． 14．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 15．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 题型六 以弦图为背景的计算题 16．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 【答案】B 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算，准确理解题意是解题的关键．根据每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积），代入求解即可． 【详解】解：∵此图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积）， ∵，， ∴， 故选：B． 17．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为10，的长为6，则小正方形的面积为_____． 【答案】 4 【详解】勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正方形的面积公式进行求解即可. 【点睛】解：由题意，， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为. 18．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 【答案】D 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出，再由完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ∴， ∴． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 20．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 21．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 题型八 勾股树（数）问题 22．若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 【答案】B 【分析】未明确最大边时，分为斜边、4为斜边两种情况，结合勾股数为正整数的条件求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为斜边长时，，解得， ∵为正整数， ∴； 当为斜边长时，，解得， 此时不是正整数，不符合勾股数要求，舍去． 综上所述，a的值为5． 23．我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为：___；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为___． 【答案】 60，61 【分析】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 故答案为：． 24．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 题型九 判断三边能否构成直角三角形 25．以下各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．6，7，8 C．2，3，4 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形， B、，，，不能构成直角三角形， C、，，不能构成直角三角形， D、，，，不能构成直角三角形． 26．如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 【答案】B 【分析】判定 为直角三角形，利用等面积法求解． 【详解】解：， ， ， ， 在 中，， ， 且 ， ， ． 27．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 【答案】 【分析】证明是直角三角形，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴． 题型十 在网格中判断直角三角形 28．如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可． 【详解】解：连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：C． 29．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 30．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解 31．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 连接，根据，用勾股定理求出的长度，再用勾股定理的逆定理，证是直角三角形，根据四边形的面积等于和面积之差，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 故选：D． 32．如图，在中，．以AC为直径作半圆，该组合图形的面积为_______（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，首先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后依据圆的面积公式直接解答． 【详解】解：在中， ∵， ∴是直角三角形， ∴该图形的面积为：． 故答案为：． 33．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 题型十二 勾股定理逆定理的拓展问题 34．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 35．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 36．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 解答题 1．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 2．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 3．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）由“商高定理”得出； （2）由“商高定理”得出，，则，，即可得出结论； （3）①连接，设交于交于，由正方形的性质得出，证出，由证得； ②由，得出，则，得出，由（2）可得，由勾股定理得出，推出，代入 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：在中，， ∴， 同理：， ∴， ∴； （3）①证明：连接，设交于，交于，如图所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握全等三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． 4．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）发现：，理由如下： ∵图2中图形的面积：， ∴， ∴， ∴； （3）2 【分析】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积 ，即可变形为； （3）根据，，周长为2，可得：，在中，由勾股定理得，整理得，根据，，可知长方形的面积为：，即可得解． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即， 故答案为：； （2）略 （3）∵，，周长为2， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴长方形的面积为：． 5．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 6． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01勾股定理及逆定理知题通关讲义 知识点01:勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 知识点02:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点03:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形， 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点04:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点05:勾股数 1. 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 必备条件：① 均为正整数；② 满足 a2+b2=c2。 2. 常用基础勾股数（熟记，解题提速） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 倍数规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得三组数仍是勾股数。 例：3,4,5 扩大 2 倍得 6,8,10，依旧为勾股数。 知识点06:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 1. 混淆勾股定理的直角边与斜边 提醒：在勾股定理中，斜边为直角所对的最长边；公式a2+b2=c2内，c特指斜边，不可随意赋值。 2. 已知两边求第三边，未分类讨论导致漏解 提醒：题干未指明已知边为直角边或斜边时，需分两类情况运算。 3. 忽略定理适用范围，非直角三角形使用勾股定理 提醒：勾股定理的适用对象仅为直角三角形，非直角三角形不可使用该定理。 4. 逆定理判定直角三角形，未选取最长边验证 提醒：判定三角形是否为直角三角形，应取最长边作为斜边，验证两较短边长的平方和等于最长边的平方。 5. 混淆勾股定理及其逆定理 提醒：勾股定理依据直角推导三边数量关系；逆定理依据三边数量关系判定直角存在，二者因果逻辑互逆。 6. 逆定理应用错误，误判直角所在位置 提醒：若三边满足a2+b2=c2，则最长边c所对的内角为直角。 7. 边长含系数，平方运算范围出错 提醒：边长带有系数时，应对整体进行平方运算，不可仅对数字单独平方。 8. 逆定理验证时遗漏平方运算 提醒：利用三边判定直角三角形，必须进行平方运算，不可直接比较边长之和。 9. 勾股定理计算，平方化简运算出错 提醒：代入数值准确计算平方，移项、开方步骤规范运算。 10. 直角三角形三边同倍缩放，误判不再为直角三角形 提醒：原三角形为直角三角形，三边同时扩大或缩小相同正倍数，所得三角形仍为直角三角形。 11. 由a2+b2≠c2，误判定三角形不存在 提醒：a2+b2≠c2仅说明该三角形不是直角三角形，三角形本身依然成立。 12. 勾股数同倍放大，误判不再是勾股数 提醒：一组勾股数同时乘以同一个正整数，得到的新数组依旧是勾股数。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★ 题型八 勾股树（数）问题 ★ 题型九 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解 ★★ 题型十二 勾股定理逆定理的拓展问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用勾股定理解三角形 1．在中，，，，的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 3．元音中学徐志胜同学去幼儿园找弟弟，幼儿园的滑梯引起了他的注意，如图所示，他想了解滑梯的长，通过数滑梯下面的地垫，他了解到长为2.4米，点的高度比自己高半头（15厘米左右）则长大概是（     ） A． B． C． D． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 5．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 6．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 8．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 9．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    题型五 勾股定理的证明方法 13．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ） A． B． C．D． 14．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 题型六 以弦图为背景的计算题 16．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 17．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为10，的长为6，则小正方形的面积为_____． 18．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（     ） A．35 B．43 C．89 D．97 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 20．《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 设寸， 21．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 题型八 勾股树（数）问题 22．若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 23．我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为：___；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为___． 24．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 题型九 判断三边能否构成直角三角形 25．以下各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．6，7，8 C．2，3，4 D． 26．如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（     ） A．4.8 B．9.6 C．10 D．19.2 27．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 题型十 在网格中判断直角三角形 28．如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 30．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C．D． 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解 31．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，．以AC为直径作半圆，该组合图形的面积为_______（结果保留π）． 33．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十二 勾股定理逆定理的拓展问题 34．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 35．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 36．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 解答题 1．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 2．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 3．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 4．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 5．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 6． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $