专题06 勾股定理常考几何问题与实际应用（含将军饮马最值）16大题型73题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题06 勾股定理常考几何问题与实际应用（含将军饮马最值） 基础·固本强基 题型1 勾股定理与网格问题 题型2 勾股定理与折叠问题 题型3 勾股定理与旋转问题 题型4 勾股定理与面积问题 题型5 勾股定理中的勾股数问题 题型6 勾股定理与中点模型 题型7 勾股定理与半角模型 题型8勾股定理与双勾股模型 题型9 勾股定理与角平分线结合 题型10 勾股定理与等腰三角形结合 题型11 勾股定理中的最值问题（将军饮马最值） 题型12 勾股定理中的蚂蚁爬行问题 题型13 勾股定理中的选址问题 题型14 勾股定理中的受影响问题 提升·进阶突破 题型15 勾股定理进阶练 拔高·压轴破难 题型16 勾股定理压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股定理与网格问题（共3小题） 【模型】方格内利用横纵格距，求线段平方，判定直角、求三角形面积。 【步骤】用网格坐标算各边平方，逆定理判垂直，割补法求图形面积。 【易错】仅凭肉眼判断直角，求面积直接边长相乘，忽略割补。 1．（26-27八年级上·江苏淮安·期中）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，每一个小正方形的边长为， (1)画出格点关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)直接写出的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先作出三个顶点的对称点，和，再顺次连接即可； （2）先作出点A的对应点，连接，交于点，此时的值最小，即为的值； （3）延长交于点，此时最大，即为的长； （4）根据勾股定理，计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：作出点A的对应点，连接，交于点，点即为所求， 此时的值最小，即为的值，图形略； （3）解：延长交于点，点即为所求， 此时最大，即为的长，图形略； （4）解：由图可得，， 的最大值为． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． (1)请在图中画出； (2)直接写出边上的高 ． 【答案】(1)如图，即为所求作的； (2) 【分析】（1）根据勾股定理画出即可； （2）根据等面积法即可得解． 【详解】（1）解：图略， ，， 即为所求作的； （2）解：， ． 题型2 勾股定理与折叠问题（共3小题） 【模型】折叠前后对应边相等，构造直角三角形，设未知数列勾股方程。 【步骤】标出折叠等线段，设未知数，在 Rt△中列方程求解线段长。 【易错】找错折叠对应边，选错直角三角形，解方程不检验。 4．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，将纸片沿折叠，点的对应点恰好落在的延长线上，．若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活应用．由勾股定理计算的值，设,则根据折叠可表示出各边长，列出方程求得的值，即可计算面积． 【详解】解：∵．，， ∴, 由折叠得, 设,则, , 又, ∴, 即, 解得, ∴， ． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴，解得． 6．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的中点， ， 设，则，根据折叠可知， ∵ 在中，， ， 解得， ； （2）根据轴对称的性质可得， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大， 如图2，此时， 综上所述，的取值范围为． 题型3 勾股定理与旋转问题（共3小题） 【模型】旋转得等线段、等角，构造等腰或直角三角形，用勾股求边长。 【步骤】旋转转化边与角，连接线段构造直角三角形，代入勾股计算。 【易错】旋转后对应边对应角找错，不会构造直角三角形。 7．（2026·山东日照·模拟预测）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据勾股定理，得出，再根据等腰三角形三线合一的性质，结合直角三角形性质得出，再根据中点的性质，得出，再根据勾股定理，即可得出的长度； （2）过点作交于点，根据勾股定理，得出，证明，得到，，然后证明，得到，然后等量代换即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵点恰好为中点， ∴， ∴； （2）略 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）结合图形，解决问题： (1)如图1，在和中，，，且，试证明：． 【初步探究】 (2)如图2，为等边三角形，过A点作的垂线，点P为上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接．请写出与的数量关系并说明理由； 【深入探究】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用全等三角形的判定证明即可； （2）证明即可； （3）连接，，结合（2）结论，先证明是等边三角形，再证明垂直平分，，即可得，在中，根据等腰三角形的性质可得，即有，在中，根据，，可得，在中，利用勾股定理可得，即有． 【详解】（1）证明：∵， ∴即， ∵，， ∴ （2），理由如下： 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）如图，连接，， 由（2）得，， ∵，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴垂直平分，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴． 9．（25-26九年级江苏·期中）如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，本题中利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质和旋转的性质，明三角形和全等，得到，，即可求解； （2）由勾股定理可得，，从而得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴． （2）解：在等腰直角三角形中， ∵， ∴， 又∵， ∴，， 由（1）知且， ∴， ∴DE＝． 题型4 勾股定理与面积问题（共3小题） 10．（25-26八年级下·江苏·期末）勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)90， (2) 方法一： ； 方法二： ． 根据上面的方法可得出， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，列代数式，熟练掌握数形结合思想的运用是解答本题的关键． （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴ ， 故答案为：90，； （2） 略 11．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则， 同理得，，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）根据勾股定理求出，可得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，分别求出，最后根据即可求解； （）由勾股定理得，设以为直径的半圆分别为①、②、③，可得，，，进而得到，即得，即可得； 本题考查了勾股定理，圆的面积公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设以为直径的半圆分别为①、②、③， 则，，， ∴； （2）略 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了代数式，整式的混合运算，勾股定理，掌握常见的几何图形的面积公式以及整式的运算法则是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）图中的面积为直角梯形的面积，也可以看成几个三角形面积的和，分别列出代数式即可得到答案； （3）①利用（2）的结论代入数据计算即可；②根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即， 图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即， 故可得等式； （2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即 图2的面积也可以看作个直角三角形的面积和，即， 故可得到等式， 故； （3）解：①，， ； ②，在直角中，，， 在直角中， 题型5 勾股定理中的勾股数问题（共3小题） 13．（2026·江苏徐州·二模）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 【答案】96 【分析】由已知图形观察规律，可得到第5个图形中正方形的个数，第7个图形中正方形的个数，即可． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第5个图形中正方形有个，第7个图形中正方形有个， ∴第7个图形里的正方形比第5个图形多个． 14．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2026 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 15．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 题型6 勾股定理与中点模型（共3小题） 【模型】直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合勾股计算边长。 【步骤】标记中点得到等线段，利用中线性质，在直角三角形计算。 【易错】非直角三角形误用斜边中线性质，混淆中线与高。 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【答案】3.5 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，线段、在的同侧，点M为线段中点，，，，若，则线段的最大值为___． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为直角三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵点M为线段中点， ， ∴， 如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， 则，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是等腰直角三角形，，，将沿直线平移到的位置，当D恰好是中点时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是平移的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质，熟练运用以上知识是解题的关键． 先求解 再证明 再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接 由平移的性质可得： ，，， 为的中点， ，， 又∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 题型7 勾股定理与半角模型（共3小题） 【模型】正方形 / 等腰三角形内含半角，旋转构造全等，勾股求线段。 【步骤】旋转拼接三角形证全等，转化线段，构造 Rt△列勾股方程。 【易错】旋转构造全等条件不足，线段等量代换出现错误。 19．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答． （2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，连接． 是的中点， ． 由勾股定理，得， ， ． （2）解： 由题意，知 ， ． 设，则． 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图2，过点作，且， 连接，． ，， ． 又 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． 20．（25-26八年级下·四川成都·期中）在学习完问题解决策略反思之后，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，小颖分享了自己的做法，然后小亮和小明两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： (1)张老师的问题： 如图1，在中，，点在边上，且，连接．若，求的长． 小颖的做法： 如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 请你根据小颖的做法，写出完整的求解过程． (2)小亮给出了如下的变式： 如图3，在等边中，点在边上，且，连接．若，求的长． 请你类比小颖的做法，写出完整的求解过程． (3)小明又给出了如下的变式： 如图4，在中，，点在边上且，若点在直线上，且，求的长． 请你类比小颖的做法，直接写出的长． 【答案】(1)； (2) (3)的长为或． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，，证明；推出，利用勾股定理求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，得到，，，，证明，推出，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求解即可； （3）分点在上，点在延长线上，两种情况，同理（2）即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵绕点A顺时针旋转，得到， ∴，，，， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∴， 又∵， ∴； ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图，则，，，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点A作于点H， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点在上时，如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 当点在延长线上时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 21．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【问题背景】如图1，是等边外一点，，则． (1)小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明； (2)【迁移应用】如图2，是等边内一点，且；求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是 （不必证明）．（提示：过作交的延长线于点，连接） 【答案】(1) 证明：如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 则，， 是等边三角形． ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ． (2) (3)18 【分析】（1）如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接．则，，证明是等边三角形．得出，由旋转的性质得：，则，勾股定理得出，结合，即可证明． （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，证明是等边三角形，得出，证明是直角三角形，即，即可解答． （3）如图3：过作交的延长线于点，连接，则，证明为等腰直角三角形，进而说明；再证可得，然后证明，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， 是等边三角形， ， ， ， 是直角三角形， 即， ． （3）解：如图3：过作交的延长线于点，连接， 则， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 面积为． 题型8 勾股定理与双勾股模型（共3小题） 22．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先设,则分别在和中，利用勾股定理表示出的长，从而可得方程，解方程求解即可得答案． 【详解】解：设, 则, ∵， 在中：, 在中：, ∴， 解得：， ∴， ∴． 23．（25-26九年级下·重庆开州·期中）如图中，，，，点是中点，将沿着直线翻折，得到，连接，则线段的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，利用勾股定理和直角三角形的斜边中线，得出，由折叠可知，，，利用勾股定理列方程，先求出，再求出，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点， 中，，，， ， 在中，点是中点， ， 折叠， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ， ． 24．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点E，利用勾股定理求出，再证明，即可求出，，再在中利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，如图， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴． 题型9 勾股定理与角平分线结合（共3小题） 模型：角平分线上点到两边距离相等，作垂线构造直角三角形计算。 步骤：过平分线上一点作两边垂线，利用距离相等，勾股求边长。 易错：忘记作垂线，混淆角平分线性质，找错直角三角形。 25．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，和的平分线交于点，连接，则的长度为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】延长交于， 过点作于，于，先证明，进而证明，得到 平分，根据等腰三角形的性质得到，， ，根据勾股定理得到的长，根据三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于， 过点作于，于， 和的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 平分， ，， ，， ，， ， 即， ， ． 26．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角板可知：，，利用勾股定理可得，易得；利用角平分线的定义可得，根据含30度直角三角形的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由三角板可知：，， ∵， ∴，解得：， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：． 27．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，角平分线的定义质，勾股定理，能用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点， ∴， ∵是是的平分线， ∴在上，， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型10 勾股定理与等腰三角形结合（共3小题） 模型：等腰作高，三线合一拆分两个全等直角三角形，运用勾股。 步骤：等腰三角形作底边上高，平分底边，Rt△内计算边长。 易错：随意套用三线合一，不分顶角底角，底边平分理解错误。 28．（25-26八年级下·江西新余·期中）如图，在中，，，，为的中点，动点在边上，连接，当为等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或或2 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，30度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，求出，，再进行分类讨论，即当时，或当时，或当时，且先逐个情况作图分析列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当时，过点D作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 即， 解得（负值已舍去）； 当时，过点O作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 即， 解得（负值已舍去）； ∴； 当时，如图所示： ∴， 综上所述：的长为或或2． 29．（2026·河南濮阳·三模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转度，得到，当是等腰三角形时，点到的距离为______． 【答案】或1 【详解】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，先在中，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质可得：，然后分两种情况：当时；当时；最后分别进行计算，即可解答． 【解答】解：，，， ， 由旋转得：， 分两种情况： 当时，如图： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 的面积， ， 解得：， 点到的距离为； 当时，如图： 当点落在的中点时，则， ，， ， 是的中位线， ， 点到的距离为1； 综上所述：点到的距离为或1， 故答案为：或1． 30．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 【答案】5或或或10 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图， 由折叠得：，，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，作，连接，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ③若，如图3，过点A作于H，延长交于M， 同理可求， ∴， 故答案为：5或或或10． 题型11 勾股定理中的最值问题（将军饮马最值）（共3小题） 模型：等腰作高，三线合一拆分两个全等直角三角形，运用勾股。 步骤：等腰三角形作底边上高，平分底边，Rt△内计算边长。 易错：随意套用三线合一，不分顶角底角，底边平分理解错误。 31．（25-26八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 32．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题： 几何应用1：如图2，在边长为2的等边中，D，E分别是、的中点，是上的一动点，则的最小值为_____； 几何应用2：如图3，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键； 几何应用1：连接，由题意易得，则点B、C关于线段对称，然后可得当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，进而问题可求解； 几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，由题意易得，，，，然后同理可得的最小值为线段的长，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：几何应用1：连接，如图所示： ∵是边长为2的等边三角形，D，E分别是、的中点， ∴， ∴点B、C关于线段对称， ∴， ∴， ∴当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为； 几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，如图所示： ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：的最小值为线段的长， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 33．（25-26九年级下·吉林·期中）【问题呈现】小远同学遇到这样一个问题：如图①，在中，，，，点P是内一点，连结、、，求的最小值． 【问题探究】小远同学发现，要解决这个问题，首先应该想办法将三条端点重合于一点的线段分离，利用旋转和等边三角形转换线段，然后再将它们连接成一条折线，并让折线两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．具体做法如下： 证明：如图②，将绕点C顺时针旋转得到，连结、 证明过程缺失 ∴ ∴当点B、P、D、E四点在一条直线上时，的值最小． (1)请你帮助小远同学补全上述证明过程． (2)【问题解决】的最小值为______． 【答案】(1) 证明：如图②，将绕点C顺时针旋转得到，连接、， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴当点B、P、D、E四点在一条直线上时，的值最小． (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，推出是等边三角形，则，即可补全证明过程； （2）根据旋转的性质可得，，则，在中利用勾股定理求出的长，再结合（1）中的结论即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由旋转的性质得，，， ∴， ∴在中，， 由（1）中的结论，的最小值为． 题型12 勾股定理中的蚂蚁爬行问题（共3小题） 模型：立体图形侧面展开为平面，两点之间线段最短，勾股求路径。 步骤：分类展开立体表面，确定两点位置，构造直角三角形计算。 易错：展开方式考虑不全，直角边选取错误，漏掉多种情况。 34．（25-26八年级上·江苏·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 35．（24-25八年级下·山东德州·期中）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 36．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 题型13 勾股定理中的选址问题（共3小题） 模型：设位置未知数，多个直角三角形，利用距离相等列勾股方程。 步骤：设选址未知量，分别表示线段平方，列方程求解位置。 易错：建模出错，直角找不准，方程求解后不检验实际意义。 37．（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) ∵ ， 整理得： (2) (3) 点P即为所求， 的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 38．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) 解：为从村庄到河边最近的路． 证明：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为从村庄到河边最近的路； (2)1690米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明，得解，即可得到为从村庄到河边最近的路； （2）设米，得到米，米，根据勾股定理列出方程，，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设米， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， 解得， ∴的长为1690米． 39．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【答案】(1)0.6千米 (2)4万元 【分析】（1）设，由，得，根据，得 ，由，得，解方程即可； （2）作B关于l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P，此时，的值最小，根据，，得，即支线管道最少千米，求出费用为（万元）． 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故，两点之间的距离为0.6千米； （2）作点B关于直线l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P， 则， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即支线管道最少千米， 费用为（万元）， 故管道费用需要4万元． 【点睛】本题考查了最短路径问题．熟练掌握勾股定理，轴对称性质，矩形判定和性质，实数的运算，是解题的关键． 题型14 勾股定理中的受影响问题（共3小题） 模型：动点移动，求点到直线距离，对比半径判断是否受影响。 步骤：作垂线段，勾股求垂距，和给定半径比较，确定影响范围。 易错：不作垂线直接用斜边长比较，忽略临界位置讨论。 40．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】 解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得， 米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】略 41．（26-27八年级上·四川成都·期中）某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 【答案】(1)气象观测站受台风影响， 过点C作于点D， 、、 ， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 气象观测站受台风影响； (2)受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点C作于点D，利用三角形面积得出的长，进而得出气象观测站受台风影响， （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该气象站持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响， 时，正好影响C气象站， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵，， （小时）． 答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时． 42．（25-26八年级下·四川泸州·期中）如图，有一台风中心沿东西方向直线由A行驶向B．已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又．以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 解：过点作于点，当台风到达点时，离海港最近． 则， 同时，面积也可表示为：， ∴， 台风影响半径为，而，因此海港会受到台风影响． (3)台风影响该海港持续的时间为小时 【分析】（1）在中，根据勾股定理的逆定理即可解答． （2）过点作于点，当台风到达点时，离海港最近．利用等面积法求出，与，比较即可解答． （3）台风影响区域为以为圆心、为半径的圆与直线的交点和之间的线段．由题可知：，（垂线长度），在直角三角形中求出，根据等腰三角形的性质求出，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且直角为． 所以，． （2）略 （3）解：台风影响区域为以为圆心、为半径的圆与直线的交点和之间的线段． 由题可知：，（垂线长度）， 在直角三角形中：， ∴， ∴， ∴， 由于，为等腰三角形，为的中点， 因此：， 台风速度为，影响持续时间为：小时， 换算为分钟：分钟， 答：台风影响该海港持续的时间为小时（或分钟）． 提升·进阶突破 题型15 勾股定理进阶练（共17小题） 43．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 44．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 45．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解． 【详解】解：连接、，如下图： ∵是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ∴． 46．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，勾股定理，先由勾股定理求出，然后分当时，当时，当时，三种情况分析求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 综上可得：的长为或或， 故选：． 47．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形三边关系等知识，根据，得，则，取的中点E，连接，，利用勾股定理求出的长，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点E，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：D． 48．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：5． 49．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，30度角的性质，勾股定理，等边三角形的性质． 作D关于直线的对称点G，连接，则，根据直线得到G、B、D、C在一条直线上，，根据轴对称的性质得到，由垂线段最短可知当时，有最小值，根据等边三角形的性质得到，即，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点G，连接，则， ∵直线， ∴， ∴， 即G、B、D、C在一条直线上， ∴， ∵G、D关于直线对称， ∴， 由垂线段最短可知当时，有最小值． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值是． 故答案为：． 50．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，连接，，点，分别是线段，的中点，若，则的长为 ________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，， ，点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故答案为：． 51．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要_______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用；先将长方体的侧面展开，再根据“两点之间线段最短”和勾股定理计算得出结果即可． 【详解】解：将长方体展开，连接，如图， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上， 且， ∴， 根据两点之间线段最短，； 故答案为：． 52．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数学问题：如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，由折叠得，，，，则，所以，由勾股定理得，求． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 53．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）的值就是把面积的平方相加即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… 按此规律，， ∴（负值已舍去）； （2）解：， ， ， …… 按此规律，， ， ， ， …… 按此规律，（是正整数）； （3）解： ． 54．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】(1)米 (2)小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 55．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 【答案】(1) 如图，点即为所求，如图，点即为所求． (2) 如图，即为所求． (3) 如图，即为所求． 【分析】（1）在图中根据网格特征，作等腰直角即可得出；在图中，作等腰直角，再作，交于，根据平行线的性质即可得出； （2）过点作的垂线，截取，连接，作出即可； （3）过点作的垂线，作的角平分线，以为圆心，为半径画弧，交的角平分线于，过点作于，即为所求． 【详解】（1）解：图中，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 图中，同理可得是等腰直角三角形， ∴， 由网格特征可知，， ∴． （2）略 （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴即为所求． 56．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【答案】(1) (2)仍成立；理由见解析 (3) 【分析】（）利用，在中和等腰中分别用勾股定理，推导出结论； （）先通过证明，得到且，再在两个直角三角形中用勾股定理，验证结论仍成立； （）通过构造等腰直角，先利用证明，得到；再结合与的角度关系，判定为直角三角形，用勾股定理求出；最后利用等腰直角中的关系，计算得出的长度． 【详解】（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 57．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形． 58．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； (2)26 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据勾股定理将转化为即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴ ． 59．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在长方形中，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒．连接． (1)求当为何值时，是直角三角形； (2)直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1)或 (2)或4或或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论，根据勾股定理和等腰三角形的性质可求t的值． 【详解】（1）解：当时，如图， 在四边形是长方形， ∴，， 在中，，， ∴ ∵，，点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． ∴，， ，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时，此时点P与点C重合， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是直角三角形； （2）若为等腰三角形， 则或或， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当在的延长线上时，且， ∴， ∴； 综上所述：当或4或或时，为等腰三角形． 拔高·压轴破难 题型16 勾股定理压轴练（共14小题） 60．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，等腰中，点在 上，且，，是延长线上一点， 交于，且，连、．则下列结论：①；②；③；④（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】延长交 于，证知，即可判断①；求得中，知即，结合可判断②；推出，变形后可判断④；设，计算出，，显然不一定等于，即可判断③． 【详解】解：如图，延长交 于， 则， ， 是等腰直角三角形， ，，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ，即，故①正确； ，， 中，， ，即， 垂直平分， ， 是等边三角形， ，故②正确； 由①知， ， ， 由②知垂直平分， ， ， ， ， ， ， 又， ，故④正确； 设， ， ， ， ， ， ， 所以不一定等于，故③错误； 综上可知，①②④正确． 61．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 62．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 63．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据旋转的性质得到，，，，则可判断和都为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，所以，从而得到，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：连接， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴和都为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 64．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 65．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为_______． 【答案】 【分析】连接，证明，得到相等角和边，然后根据三角形的三边关系得出何时为最大值，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 当点共线的时候，最大，最大值为6， 此时，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴． 66．（2026·江苏泰州·二模）在中，，，点为内一点，点为边上一点，，且满足．已知，则______． 【答案】 【分析】由，，可得是等边三角形，得出，再由，设，则，最后在中，利用，建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴在中，，即， 解得：， ∴． 67．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 【答案】 10 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解代数问题是解题的关键．（1）由，，即可得到；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，当点与重合时，值最小，根据勾股定理求出． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点， 当与重合时，式子取等号，值最小． ， ． 68．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2026个等腰直角三角形的斜边长是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、数字规律等知识点．先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规律求出第2026个等腰直角三角形的斜边长． 【详解】解：根据勾股定理可得： 第1个的斜边； 第2个的斜边； 第3个的斜边； ．．．．．． 第n个等腰直角三角形的斜边； 所以第2026个等腰直角三角形的斜边． 故答案为：． 69．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． 70．（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①24；②24 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可知，，进而得到，可知点D在的垂直平分线上； （2）①根据垂直平分线的性质可知，，则，； ②根据等边对等角得到，，进而根据角的和差得到，即是直角三角形且为斜边，根据勾股定理可知，结合①可知，根据完全平方公式得到，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：①∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为24； ②由①知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形且为斜边， ∵， ∴， 由①知，的周长为24， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 71．（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 72．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）【综合与实践】同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中， 【探究1】 小明按如图1的方式沿折叠纸片，点A与点对应，的延长线与交于点F．    【探究2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形．    【探究3】 如图3，点E是线段上的动点，小亮利用绘图软件将绕点E逆时针旋转至．    【任务1】 (1)若，则°； 【任务2】 (2)①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形（不写作法，保留作图痕迹）； ②求小丽剪出的菱形的边长． 【任务3】 (3)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)80； (2)①菱形为所求； ②小丽剪出的菱形的边长为； (3)的长为或或 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质即可解答； （2）①连接，然后作垂直平分线，交、于点F、E，连接、； ②设，则，根据勾股定理求解即可； （3）根据旋转的性质和勾股定理，分三种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质可知， ∴； （2）解：①如图2，连接，然后作垂直平分线，交、于点F、E，连接、， ∵，最大， ∴垂直平分时，最大， ∴菱形即为所求； ②∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴小丽剪出的菱形的边长为； （3）解：的长为或或．理由如下： 分三种情况讨论：     ①如图，当，且在上方时，过作于点，过作于点， 由旋转性质可知，，， ∵，， ∴四边形均为矩形， ∴， 设，则， 则有， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍去）或， ∴； ②如图4，当，且在下方时，过作于点，过作于点， 由旋转性质可知， 设，则， 则有， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ③如图5，当时，过作于点，过作于点， 由旋转性质可知， 设，则， 则有， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，的长为或或． 73．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动（回到点停止运动），设运动时间为秒． (1)当点在上时，且满足时，求出此时的值； (2)当点在上时，求为何值时，为以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】（1）根据勾股定理得，设存在点在上，使得，可得，，根据勾股定理列方程即可得到的值； （2）分两种情况：当时；当时；分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， 设存在点在上，使得，此时运动时间为秒， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动（回到点停止运动）， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴当点在上时，且满足时，此时为秒； （2）解：①如图，当时，为等腰三角形， ∴， ∴（秒）； ②如图，当时，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（秒）； 综上所述，为秒或秒时，为以为腰的等腰三角形． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理常考几何问题与实际应用（含将军饮马最值） 基础·固本强基 题型1 勾股定理与网格问题 题型2 勾股定理与折叠问题 题型3 勾股定理与旋转问题 题型4 勾股定理与面积问题 题型5 勾股定理中的勾股数问题 题型6 勾股定理与中点模型 题型7 勾股定理与半角模型 题型8勾股定理与双勾股模型 题型9 勾股定理与角平分线结合 题型10 勾股定理与等腰三角形结合 题型11 勾股定理中的最值问题（将军饮马最值） 题型12 勾股定理中的蚂蚁爬行问题 题型13 勾股定理中的选址问题 题型14 勾股定理中的受影响问题 提升·进阶突破 题型15 勾股定理进阶练 拔高·压轴破难 题型16 勾股定理压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股定理与网格问题（共3小题） 【模型】方格内利用横纵格距，求线段平方，判定直角、求三角形面积。 【步骤】用网格坐标算各边平方，逆定理判垂直，割补法求图形面积。 【易错】仅凭肉眼判断直角，求面积直接边长相乘，忽略割补。 1．（26-27八年级上·江苏淮安·期中）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，每一个小正方形的边长为， (1)画出格点关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)直接写出的最大值为 ． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． (1)请在图中画出； (2)直接写出边上的高 ． 题型2 勾股定理与折叠问题（共3小题） 【模型】折叠前后对应边相等，构造直角三角形，设未知数列勾股方程。 【步骤】标出折叠等线段，设未知数，在 Rt△中列方程求解线段长。 【易错】找错折叠对应边，选错直角三角形，解方程不检验。 4．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，将纸片沿折叠，点的对应点恰好落在的延长线上，．若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 题型3 勾股定理与旋转问题（共3小题） 【模型】旋转得等线段、等角，构造等腰或直角三角形，用勾股求边长。 【步骤】旋转转化边与角，连接线段构造直角三角形，代入勾股计算。 【易错】旋转后对应边对应角找错，不会构造直角三角形。 7．（2026·山东日照·模拟预测）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）结合图形，解决问题： (1)如图1，在和中，，，且，试证明：． 【初步探究】 (2)如图2，为等边三角形，过A点作的垂线，点P为上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接．请写出与的数量关系并说明理由； 【深入探究】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长； 9．（25-26九年级江苏·期中）如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 题型4 勾股定理与面积问题（共3小题） 10．（25-26八年级下·江苏·期末）勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 11．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，分别以的三边为直径画半圆， (1)若，，求两个月形图案（阴影部分）的面积的和． (2)求证：两个月形图案（阴影部分）的面积的和等于的面积． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 题型5 勾股定理中的勾股数问题（共3小题） 13．（2026·江苏徐州·二模）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 14．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 15．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 题型6 勾股定理与中点模型（共3小题） 【模型】直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合勾股计算边长。 【步骤】标记中点得到等线段，利用中线性质，在直角三角形计算。 【易错】非直角三角形误用斜边中线性质，混淆中线与高。 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，线段、在的同侧，点M为线段中点，，，，若，则线段的最大值为___． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是等腰直角三角形，，，将沿直线平移到的位置，当D恰好是中点时，则_________． 题型7 勾股定理与半角模型（共3小题） 【模型】正方形 / 等腰三角形内含半角，旋转构造全等，勾股求线段。 【步骤】旋转拼接三角形证全等，转化线段，构造 Rt△列勾股方程。 【易错】旋转构造全等条件不足，线段等量代换出现错误。 19．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 20．（25-26八年级下·四川成都·期中）在学习完问题解决策略反思之后，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，小颖分享了自己的做法，然后小亮和小明两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： (1)张老师的问题： 如图1，在中，，点在边上，且，连接．若，求的长． 小颖的做法： 如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 请你根据小颖的做法，写出完整的求解过程． (2)小亮给出了如下的变式： 如图3，在等边中，点在边上，且，连接．若，求的长． 请你类比小颖的做法，写出完整的求解过程． (3)小明又给出了如下的变式： 如图4，在中，，点在边上且，若点在直线上，且，求的长． 请你类比小颖的做法，直接写出的长． 21．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【问题背景】如图1，是等边外一点，，则． (1)小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明； (2)【迁移应用】如图2，是等边内一点，且；求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是 （不必证明）．（提示：过作交的延长线于点，连接） 题型8 勾股定理与双勾股模型（共3小题） 22．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级下·重庆开州·期中）如图中，，，，点是中点，将沿着直线翻折，得到，连接，则线段的长等于（     ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 题型9 勾股定理与角平分线结合（共3小题） 模型：角平分线上点到两边距离相等，作垂线构造直角三角形计算。 步骤：过平分线上一点作两边垂线，利用距离相等，勾股求边长。 易错：忘记作垂线，混淆角平分线性质，找错直角三角形。 25．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，和的平分线交于点，连接，则的长度为（   ） A．5 B．3 C． D． 26．（25-26八年级下·广东深圳·期末）将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为___________． 题型10 勾股定理与等腰三角形结合（共3小题） 模型：等腰作高，三线合一拆分两个全等直角三角形，运用勾股。 步骤：等腰三角形作底边上高，平分底边，Rt△内计算边长。 易错：随意套用三线合一，不分顶角底角，底边平分理解错误。 28．（25-26八年级下·江西新余·期中）如图，在中，，，，为的中点，动点在边上，连接，当为等腰三角形时，的长为__________． 29．（2026·河南濮阳·三模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转度，得到，当是等腰三角形时，点到的距离为______． 30．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 题型11 勾股定理中的最值问题（将军饮马最值）（共3小题） 模型：等腰作高，三线合一拆分两个全等直角三角形，运用勾股。 步骤：等腰三角形作底边上高，平分底边，Rt△内计算边长。 易错：随意套用三线合一，不分顶角底角，底边平分理解错误。 31．（25-26八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______． 32．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题： 几何应用1：如图2，在边长为2的等边中，D，E分别是、的中点，是上的一动点，则的最小值为_____； 几何应用2：如图3，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______． 33．（25-26九年级下·吉林·期中）【问题呈现】小远同学遇到这样一个问题：如图①，在中，，，，点P是内一点，连结、、，求的最小值． 【问题探究】小远同学发现，要解决这个问题，首先应该想办法将三条端点重合于一点的线段分离，利用旋转和等边三角形转换线段，然后再将它们连接成一条折线，并让折线两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．具体做法如下： 证明：如图②，将绕点C顺时针旋转得到，连结、 证明过程缺失 ∴ ∴当点B、P、D、E四点在一条直线上时，的值最小． (1)请你帮助小远同学补全上述证明过程． (2)【问题解决】的最小值为______． 题型12 勾股定理中的蚂蚁爬行问题（共3小题） 模型：立体图形侧面展开为平面，两点之间线段最短，勾股求路径。 步骤：分类展开立体表面，确定两点位置，构造直角三角形计算。 易错：展开方式考虑不全，直角边选取错误，漏掉多种情况。 34．（25-26八年级上·江苏·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 35．（24-25八年级下·山东德州·期中）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 36．（24-25八年级上·山西太原·期中）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 题型13 勾股定理中的选址问题（共3小题） 模型：设位置未知数，多个直角三角形，利用距离相等列勾股方程。 步骤：设选址未知量，分别表示线段平方，列方程求解位置。 易错：建模出错，直角找不准，方程求解后不检验实际意义。 37．（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 38．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 39．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 题型14 勾股定理中的受影响问题（共3小题） 模型：动点移动，求点到直线距离，对比半径判断是否受影响。 步骤：作垂线段，勾股求垂距，和给定半径比较，确定影响范围。 易错：不作垂线直接用斜边长比较，忽略临界位置讨论。 40．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 41．（26-27八年级上·四川成都·期中）某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 42．（25-26八年级下·四川泸州·期中）如图，有一台风中心沿东西方向直线由A行驶向B．已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又．以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 提升·进阶突破 题型15 勾股定理进阶练（共17小题） 43．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 44．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 45．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 46．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 47．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 48．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 49．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是____． 50．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，连接，，点，分别是线段，的中点，若，则的长为 ________________ ． 51．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要_______． 52．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数学问题：如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，则的长为______． 53．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 54．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 55．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 56．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 57．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 58．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． 59．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在长方形中，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒．连接． (1)求当为何值时，是直角三角形； (2)直接写出当为何值时，是等腰三角形． 拔高·压轴破难 题型16 勾股定理压轴练（共14小题） 60．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，等腰中，点在 上，且，，是延长线上一点， 交于，且，连、．则下列结论：①；②；③；④（     ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 61．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 62．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 63．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 64．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 65．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为_______． 66．（2026·江苏泰州·二模）在中，，，点为内一点，点为边上一点，，且满足．已知，则______． 67．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 68．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2026个等腰直角三角形的斜边长是________． 69．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 70．（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 71．（25-26八年级下·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 72．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）【综合与实践】同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中， 【探究1】 小明按如图1的方式沿折叠纸片，点A与点对应，的延长线与交于点F．    【探究2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形．    【探究3】 如图3，点E是线段上的动点，小亮利用绘图软件将绕点E逆时针旋转至．    【任务1】 (1)若，则°； 【任务2】 (2)①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形（不写作法，保留作图痕迹）； ②求小丽剪出的菱形的边长． 【任务3】 (3)连接、，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 73．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动（回到点停止运动），设运动时间为秒． (1)当点在上时，且满足时，求出此时的值； (2)当点在上时，求为何值时，为以为腰的等腰三角形． 2 / 24 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