专题02 全等三角形的经典模型14大题型80题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02 全等三角形的经典模型 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型 题型2 平移模型 题型3 翻折模型 题型4 倍长中线模型（重点） 题型5 截长补短模型（重点） 题型6 一线三等角（内k、外k）（重点） 题型7 手拉手模型（重点） 题型8 半角模型（重点） 题型9 对角互补模型（重点） 题型10 角平分线模型（重点） 题型11 动点型全等模型 题型12 全等模型综合（难点） 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（难点） 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型（共4小题） 【模型】两三角形共用一条边或一个角；相交产生对顶角模型。挖掘图中隐藏等量，搭配已知条件，用 SSS、SAS、AAS、ASA 证明全等。 【步骤】先观察图形找出公共边、公共角或对顶角，标注等量，结合题目已知条件，匹配判定定理，规范书写全等证明过程。 【易错】漏看图形隐含条件；书写时不写公共边 / 角依据；找错对应顶点，造成边角不匹配，导致全等证明错误。 1．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，若添加下列条件，则，以下判断中错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026八年级上·江苏·期中）如图，是的中线，且，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围． 3．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，若要得到可以添加一个条件是______．      4．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，相交于点，且．D、C是上两点，．若，，，则的长为_____． 题型2 平移模型（共4小题） 【模型】平移模型：一个三角形沿直线平移得到另一三角形，对应边平行且相等，对应角相等，常利用平行线推出内错角相等，构造全等条件。 【步骤】观察平移前后图形，找出对应边、对应角，借助平行线得到等角，结合已知条件，选用 SAS 或 ASA 证明三角形全等。 【易错】误把非对应边角匹配；忽略平行线才能推导内错角；证明全等时顶点对应关系写错，导致结论出错。 5．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，点E，F在上，，，．求证：． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 7．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 8．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型3 翻折模型（共4小题） 【模型】翻折模型是三角形沿直线对折重合，翻折前后两三角形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴，常出现等线段、等角、垂直关系。 【步骤】看清翻折前后对应部分，标出相等边角，利用全等得到等量关系，结合内角和、勾股定理，列式求解角度或线段长度。 【易错】找错翻折后的对应边角；忽略翻折产生的隐藏相等线段；计算角度时，容易漏算重叠部分角度。 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 11．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕分别与交于点E和点F． (1)试说明：； (2)若，求四边形的面积． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（    ）．    A． B． C． D． 题型4 倍长中线模型（共4小题） 【模型】倍长中线模型，延长三角形中线至一倍长度，连接端点构造 SAS 全等，把分散的线段、角转移，集中到同一个三角形内求解。 【步骤】延长中线使延长段等于原中线，标记相等线段，证明三角形全等，转化边角条件，再结合三角形性质计算或证明结论。 【易错】未写延长辅助线规范表述；盲目套用模型；全等时找错对应边角，线段转化时忽略三边关系检验。 13．（26-27八年级上·江苏·期中）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 14．（26-27八年级上·江苏南通·期中）中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是__________． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 16．（25-26八年级上·天津·期中）在中，， (1)若的长为奇数，求的长． (2)若是的中线，则长度范围_____． 题型5 截长补短模型（共4小题） 【模型】截长补短用于证明线段和差等式。截长：在长线段截取一段等于短线段；补短：延长短线段构造等长，借助全等转化线段。 【步骤】观察求证的线段和差关系，选择截长或补短作辅助线，构造全等三角形，通过边角等量代换完成证明。 【易错】辅助线作法描述不规范；选错截 / 补短方式；不会利用全等转移线段，混淆线段之间的加减关系。 17．（26-27八年级上·河南安阳·期中）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 18．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 19．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，且，求证：． 20．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 题型6 一线三等角（内k、外k）（共4小题） 【模型】同一直线上存在三个相等的角，利用外角定理推导出两组等角，构造全等或相似三角形，多用于求线段长、证明线段相等。 【步骤】先在直线上找出三个等角，利用外角证明角相等，确定对应边角，选用判定定理证全等或相似，再计算求解。 【易错】不会利用外角推导等角；混淆全等与相似；对应顶点写错，错把无关角当作模型内的相等角使用。 21．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积_______． 22．（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： (1)． (2)． 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）探究解题 (1)如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 (2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 24．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 题型7 手拉手模型（共4小题） 【模型】共顶点的两个等腰三角形构成手拉手模型，顶角相等，两腰对应相等，可证 SAS 全等，拉手线相等，两拉手线夹角等于公共顶角。 【步骤】找到公共顶点，由等腰推出两组等边，推导旋转顶角相等，利用 SAS 证全等，转化边角，求解线段长度与夹角度数。 【易错】找错对应 “拉手边”；直接默认夹角等于顶角；书写全等顶点不对应，忽略角度需要推导证明。 25．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 26．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究： （2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 27．（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． (1)问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证． ①请你帮助小明证明． ②如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了．则_____ (2)类比探究 在图2的基础上，当时，如图3．根据上述思路判断线段与的位置关系，并说明理由． 28．（24-25八年级上·山东济南·期中）综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解]如图1，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰．，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)[深入探究]如图2，在中，，，，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，求的长； (3)[延伸应用]如图3，在中，，点D为平面内一点，连接，，满足，，，，求的长． 题型8 半角模型（共4小题） 【模型】半角模型：正方形或等腰三角形中，共顶点大角内包含一个等于其一半的小角，通过旋转构造全等，实现线段转移，证明线段和差关系 【步骤】将三角形旋转，构造等角等边，证明得到一组全等三角形，进行线段等量代换，结合已知条件完成证明或长度计算。 【易错】忽略大角与半角的数量关系；旋转后找错对应边角；不验证点的位置，直接套用模型结论。 29．（2024·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 30．（25-26九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 31．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 32．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 题型9 对角互补模型（共4小题） 【模型】对角互补模型，四边形一组对角相加为 180°，常搭配邻边相等，作垂线或旋转构造全等，实现角与线段的等量转化。 【步骤】识别对角互补、邻边相等条件，作双垂线或旋转构造三角形全等，代换边角，进而证明线段相等、求解角度。 【易错】无邻边相等直接套用；不会利用补角推导等角；辅助线构造不当，搞错全等的对应边角。 33．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 34．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点作于，则的值为_____． 35．（25-26八年级下·山西运城·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    (1)【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； (2)【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； (3)【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 36．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确的结论有______（填序号） 题型10 角平分线模型（共4小题） 【模型】角平分线模型，利用角相等构造全等。常见三种辅助线：向两边作垂线、截等线段、作平行线，得到相等边角，用于线段、角度证明。 【步骤】先识别角平分线，选择合适辅助线，标记相等角与线段，结合判定定理证明全等，完成线段等量代换与角度计算。 【易错】角平分线性质定理条件漏写垂直；辅助线描述不规范；找错对应边角，直接主观认定线段相等缺少证明。 37．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 38．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 39．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 40．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 题型11 动点型全等模型（共4小题） 【模型】动点型全等模型，点在线段、射线或坐标轴上移动，动态改变图形，分类讨论不同位置，寻找满足全等的边角条件，求动点位置或时间。 【步骤】分析动点运动路程与速度，分类列出全等的边角组合，设未知数列式计算，最后检验结果是否符合图形位置，舍去不合理答案。 【易错】漏写动点多情况讨论；忽略动点取值范围；全等顶点对应搞错，算出结果不检验，保留不合理解。 41．（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，求t的值． 42．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，一条线段，P、Q两点分别在直线和的垂线上移动，点P从A点开始向左移动且移动的速度为，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则时间t的值为（     ） A．3 B．4 C．2或3 D．2或4 43．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，，，点为边的中点，点在边上由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，连接、．当时，点运动的路程为（     ） A． B． C． D． 44．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当P在上时 ，当P在上时 ．（用含t的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 题型12 全等模型综合（共4小题） 45．（26-27八年级上·云南昆明·期中）综合实践 (1)问题1：如图1，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得到的线段，，之间的数量关系是___________________________________． (2)【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形中，，．，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 46．（2026八年级上·江苏·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 47．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程 ； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 48．（26-27八年级上·吉林四平·期中）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（共15小题） 49．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 50．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 51．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 52．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 53．（26-27八年级上·广西玉林·期中）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为__________________． 54．（26-27八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在四边形中，，点E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为6，则四边形的面积为______． 55．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 56．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 57．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为________． 58．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 59．（26-27八年级上·湖北襄阳·期中）如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 60．（26-27八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 61．（26-27八年级上·河南安阳·期中）阅读内容，完成解答． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲： ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得__________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙： ①在水池外过点作的垂线，在上取点、，使得． ②过作的垂线，使点、、在同一条直线上． ③测量的长即可． (1)甲的方案中，横线上的内容是__________，涉及到的全等判定依据是__________（用字母表示）； (2)判断乙方案是否可行． 62．（26-27八年级上·天津南开·期中）如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 63．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（共17小题） 64．（25-26八年级上·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 65．（25-26八年级上·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 66．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 67．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 68．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 69．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为___________． 70．（2026八年级上·江苏·期中）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 71．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 72．（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点，若，，则的长为________． 73．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，中，，，点在的延长线上，连接．以为边作，使，连接交于点，若，则的长度为______． 74．（26-27九年级上·北京海淀·期中）在中，为的角平分线． (1)如图，．求证：； (2)若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 75．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 76．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿边向终点运动；动点从点出发沿边向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，设运动时间为秒，当点到达终点时，点也随之停止运动． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)分别过点和点作于点，于点，则当________秒时，与全等． 77．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 78．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 79．（25-26八年级上·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 80．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）解答以下问题 (1)如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； (2)如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形的经典模型 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型 题型2 平移模型 题型3 翻折模型 题型4 倍长中线模型（重点） 题型5 截长补短模型（重点） 题型6 一线三等角（内k、外k）（重点） 题型7 手拉手模型（重点） 题型8 半角模型（重点） 题型9 对角互补模型（重点） 题型10 角平分线模型（重点） 题型11 动点型全等模型 题型12 全等模型综合（难点） 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（难点） 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型（共4小题） 【模型】两三角形共用一条边或一个角；相交产生对顶角模型。挖掘图中隐藏等量，搭配已知条件，用 SSS、SAS、AAS、ASA 证明全等。 【步骤】先观察图形找出公共边、公共角或对顶角，标注等量，结合题目已知条件，匹配判定定理，规范书写全等证明过程。 【易错】漏看图形隐含条件；书写时不写公共边 / 角依据；找错对应顶点，造成边角不匹配，导致全等证明错误。 1．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，若添加下列条件，则，以下判断中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； B、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项符合题意； C、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； D、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意． 2．（2026八年级上·江苏·期中）如图，是的中线，且，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)证明：是的中线， ， 在和中，， ． (2) 【分析】（1）先证，再根据“”即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，再根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ，即． ，即， ． 3．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，若要得到可以添加一个条件是______．      【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定即可完成． 【详解】解：由题意知， 若添加，则由可判定． 4．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，相交于点，且．D、C是上两点，．若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】可证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2 平移模型（共4小题） 【模型】平移模型：一个三角形沿直线平移得到另一三角形，对应边平行且相等，对应角相等，常利用平行线推出内错角相等，构造全等条件。 【步骤】观察平移前后图形，找出对应边、对应角，借助平行线得到等角，结合已知条件，选用 SAS 或 ASA 证明三角形全等。 【易错】误把非对应边角匹配；忽略平行线才能推导内错角；证明全等时顶点对应关系写错，导致结论出错。 5．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，点E，F在上，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在与中，     【分析】利用证明两个三角形全等即可. 【详解】略 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 【答案】 【分析】“”判定定理仅适用于直角三角形，判定规则为：若两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等，则两个直角三角形全等，据此解答即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴要用“”直接证明，则还需要添加的条件是． 7．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 【答案】 【分析】“”需要一组直角边、一组斜边分别相等，题目已经给出一组直角边相等，因此只需补充斜边相等的条件． 【详解】解：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵，且、是和的一组对应直角边， 根据“”定理，在已知一组直角边相等的情况下，还需要两个直角三角形的斜边对应相等， ∵在中，是斜边，在中，是斜边， ∴需要添加的一个条件是． 8．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 题型3 翻折模型（共4小题） 【模型】翻折模型是三角形沿直线对折重合，翻折前后两三角形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴，常出现等线段、等角、垂直关系。 【步骤】看清翻折前后对应部分，标出相等边角，利用全等得到等量关系，结合内角和、勾股定理，列式求解角度或线段长度。 【易错】找错翻折后的对应边角；忽略翻折产生的隐藏相等线段；计算角度时，容易漏算重叠部分角度。 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）①，理由： ∵，把沿折叠，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②72 【分析】该题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据折叠可得，证明，即可得． （2）①根据，把沿折叠，得到，得出，结合，得出，证明，即可得． ②根据，的面积为12，得出，根据翻折可得，根据，得出，即可得四边形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）根据折叠可得， 又，， ∴， ∴． （2）①略 ②∵，的面积为12， ∴， 根据翻折可得， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 10．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，长方形纸片中，对边都相等，每个角都是直角，其中，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，由折叠的性质得到，，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕分别与交于点E和点F． (1)试说明：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) 解：∵四边形是长方形， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴． (2)48 【分析】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再证明即可； （2）由，结合全等三角形的性质证明，再证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠的性质可知，． 由（1）知，， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴； 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得出，，由“”可证，可得出，，设，则，、，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出x的值，即可得的长． 【详解】解：∵长方形纸片，，， ∴，，， ∵将沿折叠，点C落在点E处， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴，． 设，则，， 又∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换，长方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 题型4 倍长中线模型（共4小题） 【模型】倍长中线模型，延长三角形中线至一倍长度，连接端点构造 SAS 全等，把分散的线段、角转移，集中到同一个三角形内求解。 【步骤】延长中线使延长段等于原中线，标记相等线段，证明三角形全等，转化边角条件，再结合三角形性质计算或证明结论。 【易错】未写延长辅助线规范表述；盲目套用模型；全等时找错对应边角，线段转化时忽略三边关系检验。 13．（26-27八年级上·江苏·期中）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得． 14．（26-27八年级上·江苏南通·期中）中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】通过倍长中线构造全等三角形，将已知边和中线的倍放到同一个三角形中，利用三角形三边关系求解中线的取值范围． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，可得， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， 代入得， 化简得，即． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 【分析】（1）如图①，证明，再由三角形的三边关系求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图①， ∵是边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 16．（25-26八年级上·天津·期中）在中，， (1)若的长为奇数，求的长． (2)若是的中线，则长度范围_____． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义、全等三角形的性质与判定，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）延长，使，证明，得出，根据三角形三边关系得出，得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 即， ∵的长度是奇数， ∴； （2）解：延长，使，如图所示： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型5 截长补短模型（共4小题） 【模型】截长补短用于证明线段和差等式。截长：在长线段截取一段等于短线段；补短：延长短线段构造等长，借助全等转化线段。 【步骤】观察求证的线段和差关系，选择截长或补短作辅助线，构造全等三角形，通过边角等量代换完成证明。 【易错】辅助线作法描述不规范；选错截 / 补短方式；不会利用全等转移线段，混淆线段之间的加减关系。 17．（26-27八年级上·河南安阳·期中）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①； ②证明：∵， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ． (2)解：． 理由：如图，延长至点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． 【分析】（1）①根据角的和差计算即可； ②证明即可； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而证明，得到，根据可知． 【详解】（1）①解：∵，， ； ②略 （2）略 18．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 19．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，且，求证：． 【答案】证明：在上截取，连接． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【分析】采用截长法，在AB上截取，连接；先利用角平分线条件证明，推导出对应角相等；再结合平行线、垂直的条件推导角的等量关系，证明，得到；最后通过线段和差等量代换证出． 【详解】略 20．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) （1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 题型6 一线三等角（内k、外k）（共4小题） 【模型】同一直线上存在三个相等的角，利用外角定理推导出两组等角，构造全等或相似三角形，多用于求线段长、证明线段相等。 【步骤】先在直线上找出三个等角，利用外角证明角相等，确定对应边角，选用判定定理证全等或相似，再计算求解。 【易错】不会利用外角推导等角；混淆全等与相似；对应顶点写错，错把无关角当作模型内的相等角使用。 21．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积_______． 【答案】50 【分析】证明，，即可求得，，，，即可求得梯形的面积和，，，的面积，即可得解． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 梯形的面积 ， ∴，， 图中实线所围成的图形的面积． 22．（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 又， ， ． (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）探究解题 (1)如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 (2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ② (2)花坛内区域的面积为． 【分析】（1）①根据，，，得，再由同角的余角相等得出，即可证得； ②由，得，，即可求得的长． （2）由平分，得，再证得，得，然后，证得，得，最后，由面积公式即可求得区域的面积． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴，， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 答：花坛内区域的面积为． 24．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】(1)， (2) (3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； （3）略 题型7 手拉手模型（共4小题） 【模型】共顶点的两个等腰三角形构成手拉手模型，顶角相等，两腰对应相等，可证 SAS 全等，拉手线相等，两拉手线夹角等于公共顶角。 【步骤】找到公共顶点，由等腰推出两组等边，推导旋转顶角相等，利用 SAS 证全等，转化边角，求解线段长度与夹角度数。 【易错】找错对应 “拉手边”；直接默认夹角等于顶角；书写全等顶点不对应，忽略角度需要推导证明。 25．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) 解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论； （2）证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 26．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究： （2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）①证明：由（1）， ∴，BD， ， ， ∵， ； 5 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）①由，可得，BD，结合，可得，最后根据，可得结论；②在上截取，连接，先证明，可得，再证明，从而得到，那么有． 【详解】（1） 略 （2）① 略 如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． ． 27．（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． (1)问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证． ①请你帮助小明证明． ②如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了．则_____ (2)类比探究 在图2的基础上，当时，如图3．根据上述思路判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明： ． 在和中， ； ② (2) 解：． 理由：由（1）可知 ． 且 在与中 ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握手拉手全等模型是解题的关键． （1）①根据等式的性质可得出，然后根据证明即可； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，则，根据证明，根据全等三角形的性质得出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）由（1）可知，得出，然后根据三角形的内角和定理可求出，即可得证． 【详解】（1）①略 ②解：，， 是等边三角形， ， 点，D、E在一条直线上， ， ． 在和中， ， ． 故答案为：； （2）略 28．（24-25八年级上·山东济南·期中）综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解]如图1，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰．，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)[深入探究]如图2，在中，，，，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，求的长； (3)[延伸应用]如图3，在中，，点D为平面内一点，连接，，满足，，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)8 【分析】（1）结论：，只要证明，即可解决问题； （2）根据等腰直角三角形的性质推出，，，证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据题意推出，根据勾股定理求解即可； （3）以为边在右侧作等边，连接，根据等边三角形的判定与性质得出，，，，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差求出，根据勾股定理及等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴； （2）∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，以为边在右侧作等边，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 题型8 半角模型（共4小题） 【模型】半角模型：正方形或等腰三角形中，共顶点大角内包含一个等于其一半的小角，通过旋转构造全等，实现线段转移，证明线段和差关系 【步骤】将三角形旋转，构造等角等边，证明得到一组全等三角形，进行线段等量代换，结合已知条件完成证明或长度计算。 【易错】忽略大角与半角的数量关系；旋转后找错对应边角；不验证点的位置，直接套用模型结论。 29．（2024·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1），理由见解答；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，根据勾股定理解出即可； （3）（3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 30．（25-26九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】 解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质；根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 31．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 32．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）略 题型9 对角互补模型（共4小题） 【模型】对角互补模型，四边形一组对角相加为 180°，常搭配邻边相等，作垂线或旋转构造全等，实现角与线段的等量转化。 【步骤】识别对角互补、邻边相等条件，作双垂线或旋转构造三角形全等，代换边角，进而证明线段相等、求解角度。 【易错】无邻边相等直接套用；不会利用补角推导等角；辅助线构造不当，搞错全等的对应边角。 33．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 34．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点作于，则的值为_____． 【答案】7 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7 35．（25-26八年级下·山西运城·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    (1)【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； (2)【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； (3)【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 【答案】(1)①；②绕点A逆时针旋转得到 (2)①见解析；②见解析； (3) 【分析】（1）①由题意可得，，，即可得； ②根据旋转的定义可得出答案； （2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明； ②由①直接可证明； （3）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解． 【详解】（1）解：①， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ②∵， ∴绕点A逆时针旋转得到． （2）解：①延长至，使，连接，如图2，   四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （3）解：延长至，使，连接，如图3，   四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ， 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键． 36．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确的结论有______（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作于于，只要证明，即可一一判断， 【详解】解：作于于． ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴定值，故③正确， ∵到的距离相等， ∴，故④正确； 定值，故②正确； ，是等腰三角形， ∵P固定不动，M和N在动， ∴和长度会变，导致底边长度是变化的，故①错误． 故答案为：②③④ 题型10 角平分线模型（共4小题） 【模型】角平分线模型，利用角相等构造全等。常见三种辅助线：向两边作垂线、截等线段、作平行线，得到相等边角，用于线段、角度证明。 【步骤】先识别角平分线，选择合适辅助线，标记相等角与线段，结合判定定理证明全等，完成线段等量代换与角度计算。 【易错】角平分线性质定理条件漏写垂直；辅助线描述不规范；找错对应边角，直接主观认定线段相等缺少证明。 37．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】2 【分析】连接、，过点作，垂足为，由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再分别证明，，得到，，从而推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为， 为边的中点，， 垂直平分， ， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 38．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积用含和的代数式表示为________． 【答案】/ 【分析】如图：过D作于G，利用角平分线的性质定理可得，再证明、可得、，再结合图形利用面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：过D作于G， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 39．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 40．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，设，由角平分线的性质可得，根据建立方程并求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，设， ∵平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 题型11 动点型全等模型（共4小题） 【模型】动点型全等模型，点在线段、射线或坐标轴上移动，动态改变图形，分类讨论不同位置，寻找满足全等的边角条件，求动点位置或时间。 【步骤】分析动点运动路程与速度，分类列出全等的边角组合，设未知数列式计算，最后检验结果是否符合图形位置，舍去不合理答案。 【易错】漏写动点多情况讨论；忽略动点取值范围；全等顶点对应搞错，算出结果不检验，保留不合理解。 41．（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，求t的值． 【答案】1秒或3.5秒或12秒 【分析】由已知可得与都是直角三角形，则当与全等时，，分当P在上，Q在上时；当P、Q在上重合时；当Q到达A点后，点P运动到上时三种情况分别求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴，解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴，解得； 当Q到达A点后，点P运动到上时，，， ∴，解得． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒或3.5秒或12秒． 42．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，一条线段，P、Q两点分别在直线和的垂线上移动，点P从A点开始向左移动且移动的速度为，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则时间t的值为（     ） A．3 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】D 【分析】根据题意可知只存在和这两种情况，根据全等三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∴当以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或4． 43．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，，，，，点为边的中点，点在边上由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，连接、．当时，点运动的路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，点为边的中点，求得，由，得，而，则，即点运动的路程为，于是得到问题的答案． 【详解】解：，点为边的中点， ， ， ，， ， ， ， 点运动的路程为． 44．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当P在上时 ，当P在上时 ．（用含t的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)， (2)Q的运动速度为或 【分析】（1）利用题目所给条件推导即可； （2）由可得，，设点Q的运动速度为，分①当点P位于，点Q位于上时和②当点Q位于，点P位于上时两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：动点P的速度为，运动时间为， 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； （2）解：设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，， ， ，， ，， 解得：，， 此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，， ， ，， ，， 解得：，， 此时点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或． 题型12 全等模型综合（共4小题） 45．（26-27八年级上·云南昆明·期中）综合实践 (1)问题1：如图1，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得到的线段，，之间的数量关系是___________________________________． (2)【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形中，，．，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点．使，连接，如图2， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)问题1的结论不成立，理由如下： 在上取一点G，使，连接，如图3， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点,使．连接，先证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）同（1）方法，延长到点，使，连接，先证明，再证明得到，进而可得结论； （3）在上取一点G，使，连接，同理先证明，再证明，得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：延长到点．使，连接，如图1， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 46．（2026八年级上·江苏·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图①，延长至点，使，连接． 是边上的中点， ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． 在和中， ， ， 即平分． (2)解：．理由如下： 如图②，延长至点，使，连接． ． 由（1）可知，， ． ， ． 平分， ． ， ， ， ． 【分析】（1）延长至点，使，连接．在和中，用SAS证，得、．使用了三角形外角定理，在和中，由SAS证，得，则问题可证． (2)延长至点使，连接，由SAS证，得．在和中，由AAS证，得． 【详解】（1）略 （2）略 47．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程 ； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)， 理由：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； (2)①；②或 (3)存在值，当或秒时，与全等 【分析】（1）根据题意先推出，再由，，即可证明，即可得结论； （2）①根据速度、时间、路程的关系可得；②根据题意，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在射线上时，综合两种情况即可得到的面积为10时，的值； （3）根据题意，分为两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，根据全等可反推出，然后列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，点的运动时间为，点的运动路程为：； ②如图1，由（1）知，， ， 当点在线段上时， ， ， 解得； 当点在射线上时， ， ， 解得； 综上所述，当或秒时，； （3）解：存在； 由（1）知，， ， ， 即， ①如图2，当点在线段上时， ，且， 当时，， 此时，， ， 解得， ②如图3，当点在的延长线上时， ，且， 当时，， 此时，， ， 解得， 综上所述，当或秒时，与全等． 48．（26-27八年级上·吉林四平·期中）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)． 证明：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． (2) (3)所有满足条件的的长为或或． 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（共15小题） 49．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 50．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知，且为公共边，即． A．添加． ，，， ，不符合题意． B．添加，此时为，，，属于，不能判定，符合题意． C．添加． ，，， ，不符合题意． D．添加． ， ，即． ，，， ，不符合题意． 51．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 52．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论当或时，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：由题意知，，设运动时间为，点Q的运动速度为， 则，，， ∵， ∴要使与全等，则有或， 当时，， 即，解得； 当时，， 即， 解得， 综上所述，点Q的运动速度为或． 53．（26-27八年级上·广西玉林·期中）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为__________________． 【答案】 【分析】根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：∵点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，且、同时从出发， ∴出发秒后，米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴ 解得， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴ 解得， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为． 54．（26-27八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在四边形中，，点E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为6，则四边形的面积为______． 【答案】12 【分析】利用平行线的性质和中点定义证明，从而得出面积相等及线段相等，将四边形面积转化为三角形面积，最后利用中线平分三角形面积的性质求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，的面积为6， ∴是的中线， ∴， ∴ ． 55．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】延长交于点，利用“角边角”判定，得到，从而可证明，即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴ ． 56．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 57．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为________． 【答案】 【分析】延长 交 的延长线于点 ，连接，通过证明 将梯形面积转化为 的面积，利用三角形中线性质及面积公式求解． 【详解】解：延长交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， 是 的中线， ， ，，， ， ∴． 58．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 59．（26-27八年级上·湖北襄阳·期中）如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 60．（26-27八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2)证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解． （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 61．（26-27八年级上·河南安阳·期中）阅读内容，完成解答． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲： ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得__________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙： ①在水池外过点作的垂线，在上取点、，使得． ②过作的垂线，使点、、在同一条直线上． ③测量的长即可． (1)甲的方案中，横线上的内容是__________，涉及到的全等判定依据是__________（用字母表示）； (2)判断乙方案是否可行． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)乙的方案可行 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，结合已知条件添加即可； （2）由，，得，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）解：添加，理由， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可． （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 因此测量出的长度，即可得出池塘两端、的距离． 故乙的方案可行． 62．（26-27八年级上·天津南开·期中）如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 【答案】(1)解：，，理由如下： ， ， ∵点与点的运动速度相等，且， ∴， ， ， ； ， ， ， ， ； (2)的值为或 【分析】（1）利用，，可根据“”证明；则，然后证明，从而得到； （2）分两种情况：①若，则，，即，；②若，则，，即，，然后分别求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴，， 又∵点的运动速度为， ∴，， 解得，； ②∵， ∴，， 同理可得，，， 解得，． 综上所述，当与全等时，的值为或． 63．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（共17小题） 64．（25-26八年级上·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再结合B点距地面的高度求出点E距地面的高度，由此即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵B处距地面， ∴D处距地面， ∴点E距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是． 65．（25-26八年级上·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 66．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先证明，得到，再证明，得到，从而得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 67．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 68．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q，再证明，利用割补法可得答案． 【详解】解：如图，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q， ∴， ∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 69．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为___________． 【答案】或 【分析】由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 运动的速度之比为， 设，， ， ∴， ①当，时，， ， 解得：， ； ②当，时，， ， 解得：， ； 综上，线段的长为或． 70．（2026八年级上·江苏·期中）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 71．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，根据，即可求解． 【详解】解∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ ． 72．（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 73．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，中，，，点在的延长线上，连接．以为边作，使，连接交于点，若，则的长度为______． 【答案】3.6 【分析】过点作，交的延长线于，先通过一线三垂直证明，得到，再证明，分别表示出与，利用面积等式列方程求出，最后计算． 【详解】解：过点作，交的延长线于． ， ，即． ， ， ． 在和中： ， ， ． 设，则， ∴， ， 又， ， ∴， ∴， 代入面积条件： ， 解得， ． 74．（26-27九年级上·北京海淀·期中）在中，为的角平分线． (1)如图，．求证：； (2)若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1)证明：在上截，连接， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； (2)当时， 当时， 的度数为或 【分析】（1）在上截，连接，证明，可得，再根据线段的加减即可解答； （2）分三种情况，即当时，当时，当时，分别画出图形，再求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，图1为示意图，延长到，使，连接， ， ，． 为的角平分线， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，且， ，解得； ②当时，图2为示意图，延长到，使，连接， 同理可得， ， ， ， 在中，且， ，解得； ③当时， 根据三线合一，为的高， ， ， 即与无交点，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 75．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 76．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿边向终点运动；动点从点出发沿边向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，设运动时间为秒，当点到达终点时，点也随之停止运动． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)分别过点和点作于点，于点，则当________秒时，与全等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，结合路程速度时间求解即可； （2）在（1）所求线段基础上，由三角形面积公式表示出，根据列方程求解即可； （3）由题意得出需要与有一组对应边相等即可确定与全等，从而得到，由此列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意可得，； （2）解：如图所示： ，， 当时，，解得； （3）解：如图所示： ，， ， 则， 在中，，则， ， 由两个三角形全等的判定定理，只需要与有一组对应边相等即可确定与全等， 当时，，此时， ，解得． 77．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 78．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 79．（25-26八年级上·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 80．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）解答以下问题 (1)如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； (2)如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点是的中点，理由如下： 证明：如图2：作于，于， 由（1）可得：△△，△△， ，， ， ，， △△， ，即点是的中点． 【详解】（1）证明：已知和，，， 点，，在同一直线上， ， 由，得． 又， ， ，； （2）略 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $