专题03 等腰三角形常考几何问题14大题型79题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03 等腰三角形常考几何问题 基础·固本强基 题型1 等腰三角形的三线合一模型 题型2 角平分线+平行线构造等腰三角形 题型3 等腰三角形的手拉手模型 题型4 等腰三角形的等距离模型（等积法） 题型5 等腰三角形的存在性问题（两圆一线） 题型6 等腰三角形中的半角模型 题型7 等腰三角形中的一线三垂直模型 题型8 等腰三角形中的斜边中点模型 题型9 等腰三角形中的倍长中线模型 题型10 等腰三角形中的截长补短模型 题型11 等腰三角形中的垂直平分线模型 题型12 等腰三角形中的最值模型（含将军饮马） 提升·进阶突破 题型13 等腰三角形常考几何问题进阶练 拔高·压轴破难 题型14 等腰三角形常考几何问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 等腰三角形的三线合一模型（共4小题） 【模型】遇等腰求垂直、证线段或角相等，优先考虑三线合一转化条件。 【步骤】等腰△两腰相等，知顶角平分线、底边上中线、高其一，直接推出另外两个。 【易错】遇等腰求垂直、证线段或角相等，优先考虑三线合一转化条件。 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）（1）如图，在中，，垂足为，，证明根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （2）如图，在中，平分，，证明． （3）在中，是的一点，下列说法正确的______．（填写所有正确的选项） A．若且，则； B．若平分且，则； C．若且、，则； D．若平分且、，则． 【答案】 （1）证明：如图，分别延长至，使得，，连接， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，分别在上取点，使得，， ∵， ∴， 即 ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）A、B、C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （）如图②，分别延长至，使得，，连接，可得，进而证明，得到，即可得，得到，即可求证； （）分别在上取点，使得，，同理证明，得到，即得，进而可得，即可得，即可求证； （）仿照（）、（）的方法，分别画出图形分别证明即可求解． 【详解】（）略 （）略 （）、如图，在上取，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，延长，使，，连接， ∵， ∴， 即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵、， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴，故选项正确； 、如图，取的中点，连接， ∵平分， ∴， 因条件无法证明， 故无法得到， ∴无法得到，故选项错误； ∴正确的说法是， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，分别是高，M为的中点，N为的中点，求证：． 【答案】 证明：如图，连接，， 由分别是高可得，， ∵M为的中点， ∴，即为等腰三角形， ∵N为的中点， ∴． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质，正确作出辅助线． 连接，，根据直角三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】略 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三线合一、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练运用以上知识点是解决本题的关键．连接，根据作图可得，再根据等腰三角形的判定和性质可得，进而根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：连接，如图： 以为圆心，为半径画弧，交于点． ， ∴是等腰三角形， 是的中点， ， 是的中点，， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； (2) 证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 题型2 角平分线+平行线构造等腰三角形（共4小题） 【模型】角平分线加平行线可构造等腰三角形，利用等角对等边得到两条线段相等。 【步骤】角平分线得两角相等，平行线推出内错角相等，等量代换，证等角对等边。 【易错】缺少角平分线或平行线任一条件不成立，注意区分内错角，勿混淆角。 5．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作，交于点M，交于点N，若，，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质和平行线的性质，根据平行线的性质，角平分线的性质可推出，，则有，，从而得到的周长． 【详解】解：平分，，则， ∴， 同理， ∴． 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，由角平分线定义可得，又，则，可得，所以，同理得， 然后通过线段和差即可求解，熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ， 故选：． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角平分线的定义和性质得，则选项B不符合题意；再证明，得，则选项C不符合题意；然后在中，由勾股定理求出，则，选项D不符合题意；进而证明不是等腰直角三角形，得，则选项A符合题意；即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ∴，故选项D不符合题意； ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键． 8．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的定义以及平行线的性质等知识，由平行线的性质得，，再证明，，然后证明，，即可得出结论． 【详解】解：， ，， 和的平分线分别交于点，， ，， ，， ，， ，， ． 故答案为：． 题型3 等腰三角形的手拉手模型（共4小题） 【模型】共顶点两个等腰三角形，顶角相等，可证一组全等，得到等线段、夹角等于顶角。 【步骤】由等腰得两组边相等，顶角同加减公共角，SAS 证全等，推线段与角相等。 【易错】必须共顶点且顶角相等，不是底角相等，别找错对应边和对应角。 9．（25-26八年级上·江苏南京·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 【答案】(1) 平行，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴， ∴； (2) 证明： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； (3) ，理由如下： 在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵都是等边三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的性质得，然后根据平行线的判定定理得出结论； 对于（2），根据题意可知，再证明，可得，进而得出答案； 对于（3），在线段上取一点H，使得，再证明，可得，然后证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，结合图形可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 10．（2026·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【答案】(1) 证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：； 深入研究：； 拓展延伸：解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 略 12．（24-25八年级下·河南郑州·期中）在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”． 【熟悉模型】 问题1：如图1，已知和均为等腰三角形，，，且，求证：． 【运用模型】 问题2：如图2，P为等边内一点，且，则线段，，之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想并进行证明． 【深化模型】 问题3：如图3，在四边形中，，，，请直接写出线段的长度． 【答案】 问题1：证明：， ，即， ，， ， ； 问题2：；证明如下： 将绕点B逆时针旋转到，连接、，如图所示： 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 问题3： 【分析】问题1：证明，即得； 问题2：将绕点B逆时针旋转到，连接、，证明，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，根据勾股定理得出即可； 问题3：过点C作，取，连接、，证明，根据勾股定理求出，，证明，得出． 【详解】问题1：略 问题2：略 问题3：过点C作，取，连接、，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用“手拉手全等模型”作辅助线，构造全等三角形． 题型4 等腰三角形的等距离模型（等积法）（共4小题） 【模型】腰三角形底边上一点到两腰距离之和，等于一腰上的高，可用等面积法证明。 【步骤】连接顶点与该点，分割成两个小三角形，面积相加列式化简得到线段关系。 【易错】点在底边延长线上时，是距离之差等于腰上高，不可直接套用和的结论。 13．（26-27八年级上·全国·期中）如图，是的平分线，，分别是和的高，垂足为，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：，分别是和的高， ，， 是的平分线， ； (2) 【分析】（1）由，分别是和的高得，，结合是的平分线由角平分线的性质得； （2）先把面积拆成两个小三角形面积之和求出，再利用角平分线得，在中利用角所对的直角边是斜边一半求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，，， ， ， ， ，是的平分线， ， ． 14．（26-27八年级上·广西桂林·期中）综合与探究 【提出问题】 如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形，并标注，，然后让同学们提出有效问题并解决． 请你结合同学们提出的问题给予解答． 【初步探究】 (1)甲同学提出：__________°． (2)乙同学提出：的面积为__________． 【深入探究】 (3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形中，取边的中点，过点分别作，，垂足为，．求的值． 【类比探究】 (4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形中，在边上任取一点，过点分别作，，过点作，垂足为，，．求证．请你帮助丁同学写出证明过程． 【答案】(1) (2)25 (3)5 (4)证明：连接， ∵，，， ，，， ，， ， 即：， ． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可； （2）过点B作，交于点H，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）先证明，根据，得出，即，即可解答； （4）连接，根据三角形的面积公式得出，，，根据，得出，即，即可证明． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：过点B作，交于点H，则， ，， ， ； （3）解：连接， ，点D为边的中点， 平分， ，， ． ∵， ，， ∴ 由（2）知， ， ； （4）略 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：在中，，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)求证：是直角三角形； (2)若的面积是15，求的面积． 【答案】(1) 证明：，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， 是直角三角形． (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的证明，所对的直角边是斜边的一半等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得，再根据垂直平分线的性质，可证，从而，进而可证，即证； （2）根据“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”，可得，从而，进而，，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ． ， ，即， ， 又， ． 16．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）阅读并完成下面的问题． 专题学习：等积法与角平分线综合运用 【初步探究】利用三角形面积相等求解的方法称为等积法，等积法是解决几何问题的常用方法之一． （1）如图1所示，在中，，，的高与的比是多少？ 【拓广探索】在解题时，多次使用等积法，可以起到意想不到的效果． （2）如图2，在中，平分，求证：； 【迁移应用】请利用（2）的结论，解答如下题目． （3）如图3，过等边的顶点作射线，在线段上取一点，在射线上取一点，使得，连接、、，且交于点．若，，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：过点分别作，，垂足分别为，，过点作，垂足为， ∵， ， ， ∵， ， ， 平分，且，， ， ，即． （3）． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）利用等积法求解即可； （2）过点分别作，，过点作，在中，利用等积法得出，在中，利用等积法得出，根据角平分线的性质得出，即可得出结论； （3）根据平行线的性质及等边三角形的性质得出，利用证明，得出，，进而证明是等边三角形，得出，根据平分，结合（2）中结论，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ， ， （2）略 （3）解：是等边三角形， ，， ∵， ∴， 在和中，， ， ，， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ∴平分， 在中，由的结论可得， ，，， ， ∴， ． 题型5 等腰三角形的存在性问题（两圆一线）（共4小题） 【模型】两圆一线用来找动点，使三点构成等腰三角形，分三类：PA=PB，PA=AB，PB=AB。 【步骤】分别以两点为圆心画圆，作中垂线，求交点，检验三点不能共线。 【易错】求出交点务必检验三点共线情况，舍去无效点，不漏分类。 17．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． (1)当时，若是等腰三角形，求的值； (2)求为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或或时，为等腰三角形 (3)或1或6或 【分析】（1）先求出，再结合是等腰三角形，，得出，进而得出，求解即可； （2）分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可； （3）分两种情况：当时，，；当时，，；分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ∴； （2）解：当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，为等腰三角形， ∵， ∴，即， 解得：； 综上所述，或或时，为等腰三角形； （3）解：∵与全等， ∴当时，，， ∵， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 当时，，， 当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 综上所述，当与全等时，或1或6或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、全三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 18．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)的长为_____； (2)若点在边的垂直平分线上，求此时的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据题意得，结合垂直平分线的性质得，利用勾股定理得，即可求得； （3）过点B作于点D，利用等面积法，解得，结合等腰三角形得，依据题意得，且，利用勾股定理得解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：如图， 由题意知，， ∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，即，解得； （3）解：存在，，理由如下， 过点B作于点D，如图， 则，解得， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∵点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得（负值已舍）． 19．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 【答案】(1)点M、N运动12秒后重合 (2)当点M、N运动4秒时，是等边三角形 (3)存在，当点M、N运动16秒时，是等腰三角形 【分析】本题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． （1）首先设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要三角形就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）设点M、N运动t秒后重合， 则， 解得， ∴点M、N运动12秒后重合； （2）设点M、N运动t秒后，是等边三角形， 如图1，，， 当时，是等边三角形， 即， 解得， ∴当点M、N运动4秒时，是等边三角形； （3）能得到以为底边的等腰三角形；理由如下： 如图2， 设点M、N运动t秒， 则，， 假设是等腰三角形， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴当点M、N运动16秒时，是等腰三角形． 20．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)存在，或． 【分析】（1）根据，点P的运动速度即可得出代数式； （2）根据折叠的性质及平行线的性质即可得出结论 （3）先证，得，根据折叠性质得，根据勾股定理得，可得结论； （4）分两种情况：点E在矩形的内部时，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，先求解，求解，再建立方程求解即可；当点E在矩形的外部，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ， ， 故答案为：． （2）∵沿着翻折得到， ∴， ∵在长方形中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，，， ∴， ∴在中，，，， ∴， ∴ ∴； （4）存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时， 如图，如图，过点P作于H，过点Q作于G， ， ∵， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ， 解得：； 经检验，符合题意， 当点E在矩形的外部时 如图， ∵， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（此时P与C重合），      综上，存在这样的t值，使得，t的值为秒或5秒． 【点睛】本题考查长方形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题． 题型6 等腰三角形中的半角模型（共4小题） 【模型】等腰三角形顶角为两倍小角，通过旋转构造全等，推导线段和差关系。 【步骤】旋转三角形使两腰重合，得到全等，转化线段，证和差等式。 【易错】半角必须是顶角一半，旋转要对应腰，不要随意套用到底角。 21．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 22．（15-16八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】 【初步探索】； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】略 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可； （3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴点，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 24．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，是边所在直线上与点，不重合的两点． (1)如图，当，时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，当，时，已知，，求线段的长； (3)如图，当，时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， 理由如下： 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示： ，，，， ，， ∴， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， 即． (2)7 (3)， 理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，， ∴， 根据旋转可得：，，，，， ， ， ， ∵，， ∴， ， 在中，， ， ． 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得出，根据勾股定理，即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，根据旋转的性质得出，，，，证明，，再根据勾股定理求出结果即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转得出，，，，，证明，得出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，如图所示， ，， ， 根据旋转可得：，，，， ， ， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ∴（负值舍去）， ． （3）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 题型7 等腰三角形中的一线三垂直模型（共4小题） 【模型】等腰直角三角形过直角顶点作直线，向直线作垂线，形成 K 型全等三角形。 【步骤】利用互余推导等角，结合两直角与腰相等，AAS 证明全等，转化线段长。 【易错】模型前提为等腰直角三角形，普通等腰三角形不能直接套用此全等结论。 25．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【答案】(1) (2)，全等三角形的对应边相等 (3)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明和都是直角三角形，再证明，即可得解； （3）过点作于点，由题意可得为直角三角形，证明为等腰直角三角形，得出，同（1）证明：，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 与的数量关系是；依据是全等三角形的对应边相等， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； （3）解：过点作于点，如图所示： 在中，， 是直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，且， 同（1）证明：， ∴，， ∴， ∴． 26．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【模型呈现】 “数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 【答案】(1)； (2) ①证明：作交直线于E，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由可证明，可得，即可求解 （2）①由可证，可得，由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，，由面积关系可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 由． 故答案为：；． （2）解：①略 ②作交直线于E，则， 由①得，，， ，，， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 27．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 【答案】（1）①；②3；（2）8 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关键． （1）①根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案， ②同理①证明即可得到答案； （2）过作于E，证明即可得到答案． 【详解】（1）①解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：过作于E， ∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． （1）根据等边三角形的性质及和角关系，可得； （2）根据正方形的性质及和角关系，可得，由全等三角形的性质即可求得的长； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明，由全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 题型8 等腰三角形中的斜边中点模型（共4小题） 【模型】等腰直角三角形斜边中点，连中线，中线等于斜边一半，分出两个小等腰直角三角形。 【步骤】连接斜边中点与直角顶点，利用直角三角形斜边中线性质，推导边角关系。 【易错】仅限等腰直角三角形，普通等腰三角形无此结论，别乱用斜边中线性质。 29．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直角三角形中，分别是斜边上的高和中线，，则的值是（    ） A．15 B．12 C． D．5 【答案】A 【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出长度，并判定是等边三角形，再由三线合一得到长度，最后数形结合表示出要求的线段，代入值计算即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，则， ， ， 则是等边三角形， ， 由三线合一可得是边上的中线，则， ． 30．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，四边形中，相交于点分别是、的中点，，，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 31．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1) 证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． (2)9 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 32．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）问题探究： （1）课本原题：如图①，在等腰中，，D是的中点，，点E，F分别在，上，求证：； 某校八年级学生非常聪明，他们发现在这个图形中，除了，还存在其他边、角的数量关系，数学老师要求同学们把能找出的关系找出来，某同学就发现了以下问题： （2）如图②，连接，交于点G，则与有怎样的数量关系？请写出结论并证明． 【答案】 （1）证明：连接，如图： ， 在等腰中， ∵， ∴， ∵D是中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴即， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：如图： ，，理由如下： ∵，， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵， ∴ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三线合一，中点的性质，外角的概念和全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）连接，根据等腰三角形中三线合一的知识，得到，，，然后根据全等三角形的判定知识即可求解； （2）根据等腰直角三角形的知识可得，然后再根据外角的知识即可求解 【详解】（1）略 （2）略 题型9 等腰三角形中的倍长中线模型（共4小题） 【模型】延长中线至两倍长，构造全等三角形，转移边角，常用来构造等腰三角形。 【步骤】倍长中线，标记相等线段，对顶角相等，SAS 证全等，转化边与角。 【易错】不是见到中线就倍长，目的是转移边，注意看清目标等腰三角形。 33．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，通过倍长中线，使，可求出的取值范围，请直接写出的取值范围：________． （2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长到点，使，连接． 是的中线， ． 在与中， ， ，． ， ． ， ， ， 即． 【分析】本题考查了倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三边关系，等边对等角，等角对等边．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解是边上的中线，得，再结合，，证明，根据三角形三边关系进行列式计算，即可作答． （2）与（1）同理，证明，得出，．因为，得，又因为，即，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 即， 即． （2） 略 34．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）阅读与思考 数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题 ×年×月×日  星期日  晴 巧用中线构造全等数学问题 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 是边上的中线，． 在和中， ，，． ，． …… 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是________． （2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长． 迁移应用： （3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的三边关系等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）根据定理即可得； （2）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，根据的长为奇数求解即可得； （3）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后证出，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴小亮判断的依据是， 故答案为：． （2）如图，延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴， ∵的长为奇数， ∴边的长为或或或． （3）∵，， ∴， 如图，延长至点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 35．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是的中线，与分别交于点，．求证：． 【答案】[问题解决]B； [初步应用] C； [探究发现] 证明：延长至点，使，连接． ∵是的中线， ∴． 在和中， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【探究发现】先得，结合，，则； 【初步应用】同理证明，结合三角形三边关系，则； 【问题解决】 同理证明，则，因为，所以，．结合，即，进行作答即可． 【详解】解：【探究发现】∵延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：B． 【初步应用】如图，延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 故答案为：C． 【问题解决】略 36．（24-25八年级上·全国·期末）在解答几何题目时，常常用到“中线倍长法”． (1)证明体验：如图，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：． (2)迁移应用：如图，在中，，是的中点，是边上一点，连接交于点．若．求的长． 【答案】(1) 证明：∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（）利用证明即可； （）延长到，使得，连接，同理（）可得，得到，，进而可证明，设，则，，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长到，使得，连接， 由（）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中由勾股定理得，， ， 解得， ． 题型10 等腰三角形中的截长补短模型（共4小题） 【模型】求证线段和差时，在长线段截取或延长短线段，构造等腰三角形证全等。 【步骤】截长 / 补短构造等线段，结合已知角相等，利用全等转化线段完成证明。 【易错】截长补短不万能，要匹配角条件，不可随意截取线段强行构造等腰。 37．（25-26七年级上·山东烟台·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)FC＝CD+CE 【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论； （2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECG＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ， ∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF， ∴CD＝CG+DG＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GDAB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 38．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵点O是线段垂直平分线l上的一个动点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）根据垂直平分线段，得到，，根据是等边三角形，得到，，推出，当点O在上时，，推出，推出，，推出垂直平分，推出，得到； （2）在上截取，连接，根据证明，得到，根据 推出，得到，根据证明，得到，，推出，得到是等边三角形，得到，推出． 【详解】（1）∵点O是线段垂直平分线l上的一个动点， ∴， ∵以为边作等边， ∴，， ∴， ∴， 当点O在上时，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 故答案为： （2）略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，含30°的直角三角形，等边三角形，全等三角形等，解决问题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的边的性质，等边三角形的边角性质，全等三角形判定和性质等． 39．（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】 证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解： 【方法初探】略 【方法应用】略 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 40．（24-25七年级上·山东威海·期末）截长补短法是一种在几何证明中常用的方法，它通常通过构造辅助线，将一条线段截短或补长，使其与另一条线段相等或具有某种特定关系，从而简化证明过程． (1)例如，如图1，在中，，，，求．此题就可以利用截长补短法．如图2，延长至点，使得，即可求出______． (2)如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； (3)如图，为等腰直角三角形，，点为外一点，连接，，，其中交于点．且，则，，的数量关系为______． 【答案】(1) (2) 证明：如图，在上取一点，使得， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，即， ， ， ； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）求得证明，即可解答； （2）在上取一点，使得，证明，即可解答； （3）在上取一点，使得，证明，即可解答； 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，在上取一点，使得， ，， 为等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 题型11 等腰三角形中的垂直平分线模型（共4小题） 【模型】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端距离相等，天然形成等腰三角形。 【步骤】已知垂直平分线，直接得到两组线段相等，再利用等腰性质推导角相等。 【易错】分清点在线段垂直平分线上，不要误把垂线直接当作垂直平分线使用。 41．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为23，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为37 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴的周长． 42．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）连接，证明，根据直角三角形的性质，得，等量代换证明即可； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可； 【详解】（1）证明：连接． 因为是的垂直平分线， 所以． 所以． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． （2）解：是等边三角形．理由如下： 因为是的垂直平分线， 所以． 因为，， 所以． 所以． 又因为， 所以是等边三角形． 43．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； （）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴平分， ∴， ∴． 44．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)若，，求的长； (2)延长，与直线相交于点，连接．若，试说明是等边三角形． 【答案】(1) (2) 解：如图所示． 的垂直平分线分别交，于点，， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，由的垂直平分线分别交，于点，，可得，已知，，，利用勾股求得，设，则，利用勾股定理求得即可． （2）由的垂直平分线分别交，于点，，可得，由，可得，根据等角的余角相等，可得，进一步证得，所以，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图所示． 在中，，，， ． 的垂直平分线分别交，于点，， ． 设，则， ， ， ， ． （2）略 题型12 等腰三角形中的最值模型（含将军饮马）（共4小题） 【模型】将军饮马利用轴对称转化线段，等腰背景下求折线段最短，两点之间线段最短。 【步骤】作定点对称点，连接对称点与另一点，连线和直线交点即为取最值位置。 【易错】分清动点所在直线，对称点找错会出错，注意等腰条件辅助角度计算。 45．（25-26八年级上·广东阳江·期末）综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； (2)若（1）中的，，求的最小周长． 【答案】(1) 点B和C即为所求： (2)10 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，掌握作对称点构造将军饮马模型是解题的关键． （1）作点关于、的对称点，，连接交相交于，则点B，C即为所求； （2）根据对称性可得，，即可得到为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）连接 ． 由对称性可知是的垂直平分线， ∴，   ∴为等腰三角形，， 同理可证得：是的垂直平分线，是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接，则， ∴， 由两点之间，线段最短可知，此时最小， ∴的周长最小值为． 46．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】(1) (2) 如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 路程为 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）如图2，连接，由题意可知点B关于直线的对称点为C，可得，当E，P，C三点共线且时取得最小值，结合等边三角形性质可求得最小值； （2）如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，， ∵等边中， 是的平分线， ∴，平分线段， ∴是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为C，， ∴， 当E，P，C三点共线时，取得最小值为， 当时，取得最小值， 是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 由对称的性质，得， ，，，， ∴， ∵草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 47．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC的长为10cm，面积是40cm2，AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小为_____cm． 【答案】13 【分析】根据ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，可得出再根据三角形的面积公式求出AD的长，根据EF是AB的垂直平分线，可知点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， 解得：AD＝8（cm）， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短， 即（BM+MD）+BD＝AD+BC＝8+5＝13（cm）． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形的三线合一性质是解此题的关键． （24-25七年级下·广东佛山·期中）【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 48．小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 【答案】任务一：，，； 任务二：500 任务三： 【分析】任务一：根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到△的周长的最小值为，再证得△为边长为500的等边三角形即可得出答案； 任务三：过点作交于点，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质得到，这时有最小值，即的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】任务一：证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在△中， ， ． ， 即最小， 故答案为：，，； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ，， 的周长为， 此时的周长取得最小值，且最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， △为边长为500的等边三角形， ， △的周长的最小值为500米， 故答案为：500； 任务三：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 是的平分线． ， ， 这时有最小值，即的长度， ，，，， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查轴对称，三角形的面积公式，三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，角平分线的性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． 提升·进阶突破 题型13 等腰三角形常考几何问题进阶练（共15小题） 1．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴. 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，根据一线三垂直模型证得，得到，套用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为边上的高，是等腰三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，，P是内部的一点，点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N，连接．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴的周长是． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短是解题的关键． 先利用轴对称性质，将转化为，根据两点之间线段最短，当、、共线且时，取得最小值．再结合等边三角形的角度与边长，通过解直角三角形求出的长度． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、，过点作于， ∵等边的边长为，， ∴． ∵点关于直线的对称点为，， ∴，在的延长线上，， ∴．， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． 当与重合时，取最小值，即最小， ∴取最小值时，． 故选：． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【分析】由旋转的性质证明，确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，利用含角的直角三角形性质算出最小值． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 6．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 【答案】16 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，先证出，则，再求出的长，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【答案】10 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，于E，于D．，，______ 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 证明，根据全等三角形的对应边相等即可证得，，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知和均为等边三角形，点是的中点，点在射线上，连接，若，则的最小值______． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质；根据等边三角形的性质可得，，根据可证，可得，当时，的长度最小，根据直角三角形的性质可求的最小值． 【详解】解：是等边三角形，点是的中点， ， 和均为等边三角形， ，，， ，且，， ， ， 当时，的长度最小， ， 最小值， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时，________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、等腰三角形三线合一性质．熟悉直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质：等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键． 连接辅助线，，根据直角三角形斜边中线定理得到是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而根据勾股定理得到此时的长度． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∴点是线段的中点， ∴， ∴在中，， ∴此时线段． 故答案为：． 11．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴是等边三角形， ； (2)①证明：如图2所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图2所示，过点作于， ， ， 为等边三角形， ∴， ； ∵， ； ∵， ∴， 又∵， ， ， ， ∴； (3)结论①成立；结论②不成立，新的数量关系为 【分析】（1）证明是等边三角形，即可证明； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，得到，则可证明；再证明，即可证明；②过点作于，先证明；再证明，得到，据此可得结论； （3）过点作交延长线于点，证明是等边三角形，得到，证明，得到，求出，证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3所示，过点作交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，； ， ， 是等边三角形， ， ， ，即； 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 12．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，为锐角三角形，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ， ∴； (2) (3)证明：∵， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ，， ， 平分． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证，可知； （2）根据得到，结合三角形的内角和定理和对顶相等可知； （3）过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，根据得到，可知平分． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ，， ， ； （3）略 13．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； (3)4 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： (1)如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长至点M，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 是的中线，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即； (3)20 【分析】（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，将、、转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求的取值范围； （2）同（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，结合的条件推导边和角的等量关系，再证明包含和的三角形全等，进而得到角相等； （3）先采用“倍长中线法”构造全等三角形，求出、，再证明，将转化为，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 的取值范围是； （2）略； （3）解：如图3，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ． 15．（25-26七年级下·山西太原·期中）【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型初探】 (1)如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，则线段之间的数量关系为________________． 【变式运用】 (2)如图2，在中，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，若，求的长． 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，．直接写出的面积_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证，则，．由，可得； （2）先证．则．由，可得的长度； （3）证明，．可得．则可求． 【详解】（1）解：，理由如下， ， ． ，， ． ． ． 在和中 ． ，． ， ． （2）解：，， ． ． ， ． 在和中 ． ，． ， ； （3）解∶过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示∶ ． 是边上的高， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． 同理可证明∶． ． ． ． 拔高·压轴破难 题型14 等腰三角形常考几何问题压轴练（共15小题） 16．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定．在上截取，连接，证明得出，，进而可得，，再证明得出，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 17．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论； ②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论； ③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，且最小值为，根据等积法求出即可； ④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果． 【详解】解：①，是的角平分线， ，， 垂直平分， ， ， ， ，故①正确； ②， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③根据解析①可知，， 当最小时，最小， 过点A作于点M，如图所示： 当点P在与交点上时，，且最小值为， 是的角平分线， ， ， ， ， 即的最小值是，故③正确； ④过点P作于点N，如图所示： 平分，， ， ， ， ，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质． 19．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键； 由可证明，从而可判断①正确；证明得，结合可判断⑤正确；由得，当时，，从而，否则，可判断②错误；由⑤及可判断③正确；分别是△和△的外角，结合，，可得，进而判断④正确． 【详解】解：①和都是等边三角形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ⑤， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， △是等边三角形， 故结论⑤正确； ②∵， ∴， 当时，， ∴， 当不垂直时，， ∴， 故结论②错误； ③△是等边三角形， ， ， ， 故结论③正确； ④是△和△的外角， ， 又， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④⑤，共4个． 故选：． 20．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 21．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【分析】如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．（26-27八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 【答案】3 【分析】延长，使，连接，证明，根据全等三角形的性质，等边对等角，结合等角对等边，以及线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图，延长，使，连接， 是的中线， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， . 23．（26-27八年级上·江苏·期中）如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 【答案】 【分析】设的中点为点F，连接，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值． 【详解】解：如图，设的中点为点F，连接，则， ∵， ∴， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，取最小值，为， ∴长的最小值为． 24．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是________，当的周长最小时，的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数． 【详解】解： 、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：；． 25．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有_______． 【答案】①②③④⑤ 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：平分，PB平分， ，， ，故①正确； ∵平分， ∴P到，的距离相等， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分 (三线合一)，故③正确； ∵与的平分线相交于点P， ∴点P到，的距离相等，点P到，的距离相等， ∴点P到，的距离相等， ∴点P也位于的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故④正确； 由④得：， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ，故⑤正确； 综上可知，①②③④⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 26．（2026八年级上·江苏徐州·竞赛）如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)的值为或 (2)的值为5或20 【分析】（1）先由等边三角形性质得，结合动点速度写出，的线段表达式；分两种直角情况讨论，套用含直角三角形边长规律列一元一次方程，求解并验证符合范围； （2）按动点两段运动区间分类：第一段利用“有一个角、邻边相等可判定等边三角形”列方程求值；第二段分析端点重合的特殊情况算出，汇总所有符合条件的结果． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 当时，点在线段上（不含端点）， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴当，且为直角三角形时，的值为或； （2）当时，即在线段上（不含端点）， ∵，，， ∴当时，为等边三角形， ∴， 解得， 当时，即在线段上（含端点）， ∵为等边三角形， ∴， ∵在线段上（含端点）且，， ∴点与点重合， ∴， 综上所述，当为等边三角形时，的值为5或20． 27．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)12 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 28．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）【问题背景】同学们，我们知道角是一种特殊角，在一些图形中经常出现，掌握它的一些特殊性质可以解决许多问题，今天就让我们一起来认识一下”角． 【问题探究】 (1)在图1网格中用无刻度的直尺作图：以已知线段为一边画一个的角； (2)如图2，四边形是正方形，点为边上一点，请用圆规和无刻度直尺作图：在边上求作一点，使得；(保留作图痕迹，不写作法) 【问题拓展】 (3)小明在完成(2)的作图后，将图形简化为图，即四边形是正方形，点为边上一点，点为边上一点，．他把绕着点顺时针转，并作下列探究： ①用直尺和圆规作出旋转后的； ②小明判断所画图形中有轴对称图形不包含原正方形，请用阴影把轴对称图形标记出来； ③若图中正方形边长为，面积为，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③25 【分析】（1）以为腰，点为直角顶点，作等腰直角三角形，即可； （2）过点作，作的角平分线，则； （3）①作，截取，连接， ②根据轴对称图形的性质，用阴影部分标记即可； ③依题意，进而确定，设，，则，，得出，进而根据完全平方公式变形求得的值，即可求解． 【详解】（1）以为腰，点为直角顶点，作等腰直角三角形，则；图略 （2）首先过点作，再作直角的角平分线，则；图略 （3）①作，截取，连接， 则就是求作的图形；图略 ②略 ③， ， ， ， ， 设，，则，， ，即． ， ， ． 29．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）全等三角形可以为几何探索提供相等的边或角，在几何图形的问题解决中有着非常重要的作用． 【问题背景】如图1、图2，在中，，，点D是射线上的一个动点（点D不与点C重合），过点B作，垂足为点E，交直线于点P． (1)【初步探究】 如图1，当点D在线段上运动时， ①求证：； 证明：∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 完成上述填空，并继续完成后面的证明过程如下： ； ②直接写出线段，，之间满足的数量关系式为 ； (2)【类比探究】 如图2，当点D在线段的延长线上运动时． ①直接写出线段、、之间满足的数量关系为 ； ②当恰好为的一条中线时，请直接写出此时的面积为 ； (3)【深入思考】 在图1、图2中，分别连接，探索：当点D在射线上运动时，的大小是否为定值？若是，任选图1或图2，求出其大小；若不是定值，也请说明理由． 【答案】(1)①， 又∵， ∴； ② (2)①；② (3)的大小是定值，大小为 【分析】（1）①得到，然后利用证明； ②由全等三角形的性质得到，然后等量代换求解即可； （2）①同（1）①证明，得到，然后等量代换求解即可； ②如图，过点C作于点G，过点C作于点F，首先求出，证明，得到，设，则，根据全等三角形对应边上的高相等得到，证明，是等腰直角三角形，得到，然后根据三角形面积得到，，然后求出，进而求解即可； （3）根据全等三角形对应边上的高相等得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：①略； ②∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点C作于点G，过点C作于点F， ∵恰好为的一条中线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图1，过点C作于点G，过点C作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，过点C作于点G，过点C作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的大小是定值，大小为． 30．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）将两块三角板和按图1所示的方式摆放，其中，，，点，，，在同一条直线上，在的上方． (1)如图1，将绕点顺时针旋转，当第一次与平行时， °； (2)将图1中的绕点逆时针旋转一周．当时，连接，求的度数； (3)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形是轴对称图形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)15 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将绕点顺时针旋转至第一次，延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和定理，以及对顶角相等即可求出结果； （2）①绕点逆时针旋转时，会出现两次，分情况讨论即可； （3）分两种情况：当D在射线上时；点D在射线上时，连接，根据平移性质和等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转至第一次，延长交于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当绕点逆时针旋转第一次时，由题意可得在同一条直线上，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴； 当绕点逆时针旋转第二次时，如图所示，由题意可得在同一条直线上， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴， 综上，的度数为或； （3）解：由题意，以、、为顶点的三角形是轴对称图形时，为等腰三角形， 当D在射线上时，连接， 根据平移性质，，， 当时，如图，，则是等腰三角形，符合题意； 当时，如图，，则是等腰三角形，符合题意； 当时，如图，，则是等腰三角形，符合题意，此时，点F与点B重合； 点D在射线上时，由平移性质得， 当时，如图，，则是等腰三角形，符合题意； 综上，满足条件的的度数为或或或． 31．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知与等腰如图摆放，、、、四点在同一直线上，点与点重合．，，，．如图，点从点出发沿着边向点匀速运动，速度为；从点出发沿着向点匀速运动，速度为，当点到达点时，整个运动停止．在运动过程中，与的交点是．设运动时间为，解答下列问题： (1)用含的代数式表示______ (2)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)当为何值时，为直角三角形？ (4)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先判断当时，点在的右侧，再根据列式即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，从而可表示出、，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时和当时，根据含角的直角三角形的性质列式计算即可； （4）根据等腰三角形三线合一可得，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，点在的右侧，此时； （2）解：点在的垂直平分线上， ， 在中，，，， ， ， 由题意得，，， ，解得， 当点到达点时，整个运动停止，此时， ； 满足题意， 即当时，点在的垂直平分线上； （3）解：如图，当时， ， ， ， ，解得， 如图，当时， ， ， ， ，解得， 综上，当或时，为直角三角形； （4）解：当时，点在的右侧，此时，不符合题意； 当时，此时， ，， ， ，解得， 即当时，． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形常考几何问题 基础·固本强基 题型1 等腰三角形的三线合一模型 题型2 角平分线+平行线构造等腰三角形 题型3 等腰三角形的手拉手模型 题型4 等腰三角形的等距离模型（等积法） 题型5 等腰三角形的存在性问题（两圆一线） 题型6 等腰三角形中的半角模型 题型7 等腰三角形中的一线三垂直模型 题型8 等腰三角形中的斜边中点模型 题型9 等腰三角形中的倍长中线模型 题型10 等腰三角形中的截长补短模型 题型11 等腰三角形中的垂直平分线模型 题型12 等腰三角形中的最值模型（含将军饮马） 提升·进阶突破 题型13 等腰三角形常考几何问题进阶练 拔高·压轴破难 题型14 等腰三角形常考几何问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 等腰三角形的三线合一模型（共4小题） 【模型】遇等腰求垂直、证线段或角相等，优先考虑三线合一转化条件。 【步骤】等腰△两腰相等，知顶角平分线、底边上中线、高其一，直接推出另外两个。 【易错】遇等腰求垂直、证线段或角相等，优先考虑三线合一转化条件。 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）（1）如图，在中，，垂足为，，证明根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （2）如图，在中，平分，，证明． （3）在中，是的一点，下列说法正确的______．（填写所有正确的选项） A．若且，则； B．若平分且，则； C．若且、，则； D．若平分且、，则． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，分别是高，M为的中点，N为的中点，求证：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，以A为圆心，为半径画弧，交于点D．若M、N分别是、的中点，则的长为________． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 题型2 角平分线+平行线构造等腰三角形（共4小题） 【模型】角平分线加平行线可构造等腰三角形，利用等角对等边得到两条线段相等。 【步骤】角平分线得两角相等，平行线推出内错角相等，等量代换，证等角对等边。 【易错】缺少角平分线或平行线任一条件不成立，注意区分内错角，勿混淆角。 5．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作，交于点M，交于点N，若，，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为______． 题型3 等腰三角形的手拉手模型（共4小题） 【模型】共顶点两个等腰三角形，顶角相等，可证一组全等，得到等线段、夹角等于顶角。 【步骤】由等腰得两组边相等，顶角同加减公共角，SAS 证全等，推线段与角相等。 【易错】必须共顶点且顶角相等，不是底角相等，别找错对应边和对应角。 9．（25-26八年级上·江苏南京·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 10．（2026·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 11．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 12．（24-25八年级下·河南郑州·期中）在数学课上，陈老师介绍了如下几何模型：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为从顶点出发的两组腰可形象化地看作是四条“胳膊”，腰的末端端点相连则是“手拉手”． 【熟悉模型】 问题1：如图1，已知和均为等腰三角形，，，且，求证：． 【运用模型】 问题2：如图2，P为等边内一点，且，则线段，，之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想并进行证明． 【深化模型】 问题3：如图3，在四边形中，，，，请直接写出线段的长度． 题型4 等腰三角形的等距离模型（等积法）（共4小题） 【模型】腰三角形底边上一点到两腰距离之和，等于一腰上的高，可用等面积法证明。 【步骤】连接顶点与该点，分割成两个小三角形，面积相加列式化简得到线段关系。 【易错】点在底边延长线上时，是距离之差等于腰上高，不可直接套用和的结论。 13．（26-27八年级上·全国·期中）如图，是的平分线，，分别是和的高，垂足为，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．（26-27八年级上·广西桂林·期中）综合与探究 【提出问题】 如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形，并标注，，然后让同学们提出有效问题并解决． 请你结合同学们提出的问题给予解答． 【初步探究】 (1)甲同学提出：__________°． (2)乙同学提出：的面积为__________． 【深入探究】 (3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形中，取边的中点，过点分别作，，垂足为，．求的值． 【类比探究】 (4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形中，在边上任取一点，过点分别作，，过点作，垂足为，，．求证．请你帮助丁同学写出证明过程． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：在中，，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)求证：是直角三角形； (2)若的面积是15，求的面积． 16．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）阅读并完成下面的问题． 专题学习：等积法与角平分线综合运用 【初步探究】利用三角形面积相等求解的方法称为等积法，等积法是解决几何问题的常用方法之一． （1）如图1所示，在中，，，的高与的比是多少？ 【拓广探索】在解题时，多次使用等积法，可以起到意想不到的效果． （2）如图2，在中，平分，求证：； 【迁移应用】请利用（2）的结论，解答如下题目． （3）如图3，过等边的顶点作射线，在线段上取一点，在射线上取一点，使得，连接、、，且交于点．若，，求的值． 题型5 等腰三角形的存在性问题（两圆一线）（共4小题） 【模型】两圆一线用来找动点，使三点构成等腰三角形，分三类：PA=PB，PA=AB，PB=AB。 【步骤】分别以两点为圆心画圆，作中垂线，求交点，检验三点不能共线。 【易错】求出交点务必检验三点共线情况，舍去无效点，不漏分类。 17．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． (1)当时，若是等腰三角形，求的值； (2)求为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 18．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，动点从点出发沿到的方向以的速度向终点运动，同时，另一动点从点出发，沿到再到的方向以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)的长为_____； (2)若点在边的垂直平分线上，求此时的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)当点M、N在上运动时，连接、，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时点M、N运动的时间． 20．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 题型6 等腰三角形中的半角模型（共4小题） 【模型】等腰三角形顶角为两倍小角，通过旋转构造全等，推导线段和差关系。 【步骤】旋转三角形使两腰重合，得到全等，转化线段，证和差等式。 【易错】半角必须是顶角一半，旋转要对应腰，不要随意套用到底角。 21．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 22．（15-16八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    23．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 24．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，是边所在直线上与点，不重合的两点． (1)如图，当，时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，当，时，已知，，求线段的长； (3)如图，当，时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型7 等腰三角形中的一线三垂直模型（共4小题） 【模型】等腰直角三角形过直角顶点作直线，向直线作垂线，形成 K 型全等三角形。 【步骤】利用互余推导等角，结合两直角与腰相等，AAS 证明全等，转化线段长。 【易错】模型前提为等腰直角三角形，普通等腰三角形不能直接套用此全等结论。 25．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 26．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【模型呈现】 “数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 27．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，．求的面积． 28．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 题型8 等腰三角形中的斜边中点模型（共4小题） 【模型】等腰直角三角形斜边中点，连中线，中线等于斜边一半，分出两个小等腰直角三角形。 【步骤】连接斜边中点与直角顶点，利用直角三角形斜边中线性质，推导边角关系。 【易错】仅限等腰直角三角形，普通等腰三角形无此结论，别乱用斜边中线性质。 29．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直角三角形中，分别是斜边上的高和中线，，则的值是（    ） A．15 B．12 C． D．5 30．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，四边形中，相交于点分别是、的中点，，，则的值为_____． 31．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 32．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）问题探究： （1）课本原题：如图①，在等腰中，，D是的中点，，点E，F分别在，上，求证：； 某校八年级学生非常聪明，他们发现在这个图形中，除了，还存在其他边、角的数量关系，数学老师要求同学们把能找出的关系找出来，某同学就发现了以下问题： （2）如图②，连接，交于点G，则与有怎样的数量关系？请写出结论并证明． 题型9 等腰三角形中的倍长中线模型（共4小题） 【模型】延长中线至两倍长，构造全等三角形，转移边角，常用来构造等腰三角形。 【步骤】倍长中线，标记相等线段，对顶角相等，SAS 证全等，转化边与角。 【易错】不是见到中线就倍长，目的是转移边，注意看清目标等腰三角形。 33．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，通过倍长中线，使，可求出的取值范围，请直接写出的取值范围：________． （2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：． 34．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）阅读与思考 数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题 ×年×月×日  星期日  晴 巧用中线构造全等数学问题 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 是边上的中线，． 在和中， ，，． ，． …… 解后反思： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是________． （2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长． 迁移应用： （3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数． 35．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是的中线，与分别交于点，．求证：． 36．（24-25八年级上·全国·期末）在解答几何题目时，常常用到“中线倍长法”． (1)证明体验：如图，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：． (2)迁移应用：如图，在中，，是的中点，是边上一点，连接交于点．若．求的长． 题型10 等腰三角形中的截长补短模型（共4小题） 【模型】求证线段和差时，在长线段截取或延长短线段，构造等腰三角形证全等。 【步骤】截长 / 补短构造等线段，结合已知角相等，利用全等转化线段完成证明。 【易错】截长补短不万能，要匹配角条件，不可随意截取线段强行构造等腰。 37．（25-26七年级上·山东烟台·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 38．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 39．（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 40．（24-25七年级上·山东威海·期末）截长补短法是一种在几何证明中常用的方法，它通常通过构造辅助线，将一条线段截短或补长，使其与另一条线段相等或具有某种特定关系，从而简化证明过程． (1)例如，如图1，在中，，，，求．此题就可以利用截长补短法．如图2，延长至点，使得，即可求出______． (2)如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； (3)如图，为等腰直角三角形，，点为外一点，连接，，，其中交于点．且，则，，的数量关系为______． 题型11 等腰三角形中的垂直平分线模型（共4小题） 【模型】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端距离相等，天然形成等腰三角形。 【步骤】已知垂直平分线，直接得到两组线段相等，再利用等腰性质推导角相等。 【易错】分清点在线段垂直平分线上，不要误把垂线直接当作垂直平分线使用。 41．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为23，求的周长． 42．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 43．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 44．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)若，，求的长； (2)延长，与直线相交于点，连接．若，试说明是等边三角形． 题型12 等腰三角形中的最值模型（含将军饮马）（共4小题） 【模型】将军饮马利用轴对称转化线段，等腰背景下求折线段最短，两点之间线段最短。 【步骤】作定点对称点，连接对称点与另一点，连线和直线交点即为取最值位置。 【易错】分清动点所在直线，对称点找错会出错，注意等腰条件辅助角度计算。 45．（25-26八年级上·广东阳江·期末）综合与实践： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让李明想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？ 可以转化为数学模型：如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 已知：如图2，点A是锐角内部任意一点， 在的两边，上各取一点B，C，组成三角形，使的周长最小． (1)借助直角三角板在图2中找出符合条件的点B和C； (2)若（1）中的，，求的最小周长． 46．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． (2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 47．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC的长为10cm，面积是40cm2，AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小为_____cm． （24-25七年级下·广东佛山·期中）【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 48．小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 提升·进阶突破 题型13 等腰三角形常考几何问题进阶练（共15小题） 1．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，，P是内部的一点，点P关于的对称点是M，点P关于的对称点是N，连接．若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 6．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，于E，于D．，，______ 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知和均为等边三角形，点是的中点，点在射线上，连接，若，则的最小值______． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，是对角线上的动点，当时，________． 11．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 12．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，为锐角三角形，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 13．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： (1)如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 15．（25-26七年级下·山西太原·期中）【模型提出】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型初探】 (1)如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，则线段之间的数量关系为________________． 【变式运用】 (2)如图2，在中，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，若，求的长． 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，．直接写出的面积_______． 拔高·压轴破难 题型14 等腰三角形常考几何问题压轴练（共15小题） 16．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，等边中，为上一点，连接，且，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 19．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 21．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 22．（26-27八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 23．（26-27八年级上·江苏·期中）如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 24．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是________，当的周长最小时，的度数是________． 25．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有_______． 26．（2026八年级上·江苏徐州·竞赛）如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 27．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 28．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）【问题背景】同学们，我们知道角是一种特殊角，在一些图形中经常出现，掌握它的一些特殊性质可以解决许多问题，今天就让我们一起来认识一下”角． 【问题探究】 (1)在图1网格中用无刻度的直尺作图：以已知线段为一边画一个的角； (2)如图2，四边形是正方形，点为边上一点，请用圆规和无刻度直尺作图：在边上求作一点，使得；(保留作图痕迹，不写作法) 【问题拓展】 (3)小明在完成(2)的作图后，将图形简化为图，即四边形是正方形，点为边上一点，点为边上一点，．他把绕着点顺时针转，并作下列探究： ①用直尺和圆规作出旋转后的； ②小明判断所画图形中有轴对称图形不包含原正方形，请用阴影把轴对称图形标记出来； ③若图中正方形边长为，面积为，则的值为 ． 29．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）全等三角形可以为几何探索提供相等的边或角，在几何图形的问题解决中有着非常重要的作用． 【问题背景】如图1、图2，在中，，，点D是射线上的一个动点（点D不与点C重合），过点B作，垂足为点E，交直线于点P． (1)【初步探究】 如图1，当点D在线段上运动时， ①求证：； 证明：∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 完成上述填空，并继续完成后面的证明过程如下： ； ②直接写出线段，，之间满足的数量关系式为 ； (2)【类比探究】 如图2，当点D在线段的延长线上运动时． ①直接写出线段、、之间满足的数量关系为 ； ②当恰好为的一条中线时，请直接写出此时的面积为 ； (3)【深入思考】 在图1、图2中，分别连接，探索：当点D在射线上运动时，的大小是否为定值？若是，任选图1或图2，求出其大小；若不是定值，也请说明理由． 30．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）将两块三角板和按图1所示的方式摆放，其中，，，点，，，在同一条直线上，在的上方． (1)如图1，将绕点顺时针旋转，当第一次与平行时， °； (2)将图1中的绕点逆时针旋转一周．当时，连接，求的度数； (3)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形是轴对称图形时，请直接写出的度数． 31．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知与等腰如图摆放，、、、四点在同一直线上，点与点重合．，，，．如图，点从点出发沿着边向点匀速运动，速度为；从点出发沿着向点匀速运动，速度为，当点到达点时，整个运动停止．在运动过程中，与的交点是．设运动时间为，解答下列问题： (1)用含的代数式表示______ (2)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (3)当为何值时，为直角三角形？ (4)当为何值时，？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $