30.1直线与圆（分层作业，17大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 30.1 直线与圆 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据图象判断直线与圆的位置关系 题型02 已知d和r判断直线与圆的位置关系 题型03 切线的判定 题型04 切线的性质 题型05 切线长定理的应用 题型06 与切线有关的作图问题 B组 能力进阶 题型01 已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围 题型02 由直线与圆的位置关系求点到直线的距离 题型03 几何图形中，计算圆心到直线的距离判断位置关系 题型04 坐标系中，计算圆心到直线的距离判断位置关系 题型05 根据直线与圆的位置关系求参数范围 题型06 切线的性质与判定的综合 C组 思维拔高 题型01 新定义问题 题型02 动点、其他问题 题型03 圆与三角形综合 题型04 圆与四边形综合 题型05 其他综合问题 根据图象判断直线与圆的位置关系题型01 1．如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，， ∴这条直线与圆相交， 由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是． 故选C． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 2．如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是关键．直线与圆的位置关系的判断方法：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系的判断方法判断即可． 【详解】解：因为点O到一条直线的距离小于的半径， 所以该直线与相交， 由图可知只有直线与圆相交． 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为1，圆心O到一条直线的距离为2，即， ∴与该直线相离， ∴这条直线可能是， 故选：A． 已知d和r判断直线与圆的位置关系题型02 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断位置关系，当时直线与圆相离，时相切，时相交． 【详解】∵的半径，圆心到直线的距离，且，即， ∴与直线的位置关系是相离． 故选：A． 2．已知的直径为10，直线l与圆心O的距离为8，那么直线l与公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为10，圆心O到直线l的距离为8， ∵，即：， ∴直线l与的位置关系是相交． ∴与直线l有2个公共点， 故选：C． 【点睛】此题考查了判断直线与圆的位置关系及交点个数，正确掌握直线与圆的三种位置关系及对应的交点个数是解题的关键． 3．已知半径为10的⊙O和直线l上一点A，且，则直线l与⊙O的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相交或相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：OA垂直l和OA不垂直l，再根据OA与半径的大小比较的结果来确定位置关系． 【详解】解：若OA⊥l， 则圆心O到直线l的距离就是OA的长， 又∵OA=10=r， ∴直线l与⊙O相切； 若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于10，即小于半径，所以直线l与⊙O相交； 故选：D． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d的大小与半径r的大小关系解题，注意分情况讨论． 4．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值． 5．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是_________． 【答案】或 【分析】若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线过点结束（不包括直线l过点．当直线l和半圆相切于点时，根据直线l的解析式知直线l与轴所形成的锐角是，从而求得，即可求出点的坐标，进一步求得的值；当直线l过点A或点时，直接根据待定系数法求得的值即可． 【详解】解：根据题意可得：若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点或从直线l过点开始到直线l过点结束（不包括直线l过点， ∵直线l的解析式为y＝x+t， ∴直线l与轴所形成的锐角是， 过点C作CD⊥x轴于点D，则． 当直线l和半圆相切于点时，则垂直于直线l，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即点，， 把点的坐标代入直线解析式，得， 当直线l过点时，把点代入直线解析式，得； 当直线l过点时，把点代入直线解析式，得． 即当或时，直线l和半圆只有一个公共点， 故答案为：或． 【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系以及用待定系数法求解直线的解析式等知识，根据题意得到直线l与半圆只有一个交点的两种不同情况是解决本题的关键． 切线的判定题型03 1．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可． 【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大． 2．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【答案】A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 3．如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线． 【答案】证明：连接， 是的中点， ． ， ． 又， ． 是的切线． 【分析】连接，只要证得即可得到是的切线． 【详解】略 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，2.4为半径作．求证：是的切线． 【答案】 证明：过点作，垂足为 ∵，，     ∴ ∵     ∴ ∵的半径为    ∴     ∴是的切线． 【分析】本题考查了勾股定理，切线的判定定理；过点作，垂足为，根据勾股定理以及等面积法求得，即可得证． 【详解】略 5．（2025·湖北襄阳·模拟）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，根据等边三角形的性质得到，， ， ，得到，推出，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键∶ 切线的性质题型04 1．如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质．连接，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，与相切于点C，线段交于点A，过点A作的切线交于点D．若，，则的半径等于（　　）    A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【详解】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理．根据切线长定理得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径等于6， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（    ）    A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．    ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）用文字语言写出圆的切线的性质定理：__________________ 【答案】圆的切线垂直于过切点的半径 【分析】本题考查圆的切线的性质定理，掌握相关知识是解决问题的关键．圆的切线的性质定理是圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径． 5．【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 【答案】（1）4；无数个； （2） （3）如图： 【分析】（1）根据定义判断即可；经过圆上的任意一点，作圆的切线，经过圆上另外一点，作切线的平行线，与圆有一个交点，过这两个点作切线的垂线，构造的矩形符合题意，这样的点有无数个，故新定义矩形有无数个； （2）设与切点为E，连接并延长交于F，连接，设，则，，由勾股定理，得解答即可． （3）根据新定义，结合圆的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形，根据定义，判定有4个“友好圆”； 已知，如图，根据圆上有无数个点，故它有无数个“友好矩形”， 故答案为：4，无数． （2）解：如图，，，矩形， 则，，， 设与切点为E，连接并延长交于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 连接，设， 则，， 根据勾股定理，得， 故， 解得 （3）解：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 以点Q为圆心，以为半径作， 则即为所求． 证明：作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E， 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q， 则，，， 故， ， 故点B，C都在上，且是的切线， 故是过点B、C的“友好圆”． 【点睛】本题考查了新定义，切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线，基本作图，熟练掌握垂径定理，线段的垂直平分线性质，勾股定理是解题的关键． 切线长定理的应用题型05 1．如图，分别切圆O于A、B两点，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据切线的性质得出，即可求得结果． 【详解】解：连接， ∵分别切圆O于A，B两点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，作出辅助线根据切线长定理求解是解题的关键． 2．如图，、是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，先根据切线长定理得，，，再根据的周长，进而得出答案． 【详解】∵，是的切线，，是的切线， ∴，，． ∵的周长， ∴的周长． 故选：B． 3．如图，在中，，，若 与的三边分别相切于点，，，且的周长为，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据切线长定理可得：，，，再证明是等边三角形即可作答， 【详解】∵内切于， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键． 4．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数． 【详解】解：如下图 连OA、OB、OC ∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A ∴OB⊥PB，OA⊥PA 又∠P=50° ∴∠AOB=130° ∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C ∴DB=DC且OC⊥DC ∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC 同理得∠EOC=∠AOC ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC =∠BOC+∠AOC =(∠BOC+∠AOC) =∠AOB=×130° =65°． 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键． 5．（25-26九年级上·山西忻州·月考）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们探讨有关不同情况下扇形与圆的关系问题． 【初步探究】 （1）如图1，已知的半径为10，扇形的顶点，，都在上，扇形ABC的圆心角，求扇形的半径． 【深入探究】 （2）“智慧小组”提出问题：如图2，扇形的圆心角，半径为10，若与扇形的两条半径，及都相切，求的半径． 【拓展探究】 （3）“创新小组”突发奇想，提出问题：如图3，在正方形中，与扇形相切，与边，相切，若扇形的半径为10，请直接写出的半径． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）在根据勾股定理中得到，再根据即可求解； （2）过点G作于点M，设与的切点为，由切线的性质可得，由切线长定理得到平分，即，从而，根据求出，即可解答； （3）过点作于点F，连接，根据正方形的性质得到，，，．根据切线长定理得到，因此点在上．设的半径为r，与扇形相切于点H，则，，根据切线的性质得到，进而在中求出，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵的半径为10， ∴， ∵， ∴， ∴， 即扇形的半径为． （2）过点G作于点M，设与的切点为， ∵是的切线， ∴是的半径， ∴， ∵，是的切线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 即的半径为． （3）过点作于点F，连接， ∵扇形的半径为10， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∴在中，． ∵与边，相切， ∴， ∴点在上， 设的半径为r，与扇形相切于点H， 则，， ∵，与边相切， ∴是的半径，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，即， ∴， ∴的半径为． 与切线有关的作图问题题型06 1．当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 2．（2026·陕西·模拟）如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，直线即为所求． 【详解】略 3．（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，已知和外一点P．求作射线，，使，分别与相切于点A，B． 作法：①连接；②分别以点O，P 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；③作直线，交于点 C；④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点；⑤作射线，．则射线，与分别相切于点A，B． (1)请根据上述作法在图9中完成尺规作图； (2)请根据作图过程证明，是的切线； (3)若，的半径为5，请直接写出，的长． 【答案】(1) 如图， (2) 证明：连接，， ∵以为圆心长为半径，交于，两点，是直径， ∴， ∵与是的半径， ∴与是的切线； (3) 【分析】（1）根据作法作出图形即可； （2）根据切线的判定证明； （3）先证明，再利用30度角的三角函数求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵与是的切线， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，应用切线长定理求解，过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 4．古希腊数学家欧几里得（约公元前325-公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果从圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线为边所构成的正方形的面积． 命题解读：直线为的切线，直线为圆的割线，以为边构造正方形，以为边构造矩形，可得正方形的面积等于矩形的面积，由此可得． 根据以上问题，完成尺规作图并计算．                    (1)尺规作图步骤如下： ①以点B为圆心，小于的长为半径作弧，交射线于P，Q两点； ②分别以P，Q为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E； ③作射线，射线与射线交于点A； ④可得直线为的切线．请按描述完成作图； (2)依据所作图形，若以为边的正方形的面积为24，，则以为边的矩形的周长为________． 【答案】(1) 作图如下： (2)22 【分析】本题主要考查了尺规作图、解一元二次方程等知识点，理解题意成为解题的关键． （1）根据作图步骤作图即可； （2）根据题意设，则得，；由题目知，，由此求得x的值，则可求得周长的值． 【详解】（1）略 （2）解：由，设， 则，； ，， ， 解得（负值已舍去） 则以为边的矩形的周长为； 故答案为：22． 5．（25-26九年级·期中）综合与实践． 【活动目标】已知及外一点P，求作直线，使与相切于点D（图1）． 【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，E； ④作直线，，则直线即为所求． 【证明与作图】 (1)根据以上的作图方法，请证明与相切； (2)连接，若半径为5，，求的长； (3)已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M，你有其他的作图方法吗？请利用尺规在图1进行作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】(1) 证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； (2) (3) 如图，直线PM即为所求． 【分析】（1）首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切； （2）首先由切线长定理得，平分，得到，所以进而发现是直角三角形的一条高，在已知直角三角形的两条直角边的情况下，利用勾股定理和等面积法求解即可； （3）首先以点为圆心，以长为半径，作弧，以点为圆心，以直径长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，连接即为所求；此时，，利用等腰三角形“三线合一”的性质，即可判断． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点F，由切线长定理得，平分， ∴垂直平分， ∴， 在中，，，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查切线的证明、等腰三角形的判定与性质、勾股定理和尺规作图、三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定与性质、圆的切线长定理知识点，熟练以上知识点是是解题的关键． 已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围题型01 1．已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为． ①直线和相交 ②直线和相切 ③直线和相离． 根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解． 【详解】解：和直线相交， ， 又圆心到直线的距离为， ， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围． 【详解】解：， ∴， ∵原点O在圆A的外部， ∴，即， ∵圆A与x轴相交， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键． 3．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24， ∴， ∵BO＝2OA， ∴OA＝10，OB＝20， 过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E， ∴∠BEO＝∠C＝∠ADO， ∵∠A＝∠A，∠B＝∠B， ∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC， ∴，， ∴，， ∴OE＝16，OD＝6， 当⊙O过点C时，连接OC，根据勾股定理得， 如图，∵以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点， ∴r＝6或10或16或， 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键． 5．如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”． (1)在平面直角坐标系中，的半径为2，以下各点属于“弦心衍生点”的有_____； (2)平面直角坐标系中，若的半径为1，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是___； (3)在（2）的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为____． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）由题意可得圆心到的“弦心衍生点”的距离，据此即可判断； （2）由题意得点到线段上的点的距离，，，过点作于点，则，则，，，则，即可求解； （3）设，的半径为，当与圆心重合时，的取值范围与的衍生点的范围一致，即：；当时，可得，综合两种情况，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，当的半径为时，设圆心到弦的距离为，则， 又∵射线， ∴ ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴圆心到的“弦心衍生点”的距离， ∵，，，， ∴属于“弦心衍生点”的有． （2）解：∵的半径为1， 设点到线段上的点的距离为， ∵线段上的点都是“弦心衍生点”， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点， ∴，， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵线段上的点都是“弦心衍生点”， ∴，，， ∴，，， ∴，即， 当时，，当时，， 两条抛物线的形状，如下图所示， ∴，，，， ∴或． （3）解：设，的半径为，“弦心衍生点”与圆心的距离为m， 半径为1，m的范围：， 当与圆心重合时，r的取值范围与m一致，即：， 当在圆周之外时，即时， ，即 综上所述，且． 由直线与圆的位置关系求点到直线的距离题型02 1．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 2．已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆相切可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵， ， 或， ，， 的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线l相切， 的半径，即， 故选：B． 3．已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为___________个． 【答案】3 【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数． 【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即， ∴， 在上截取，过点D作，交于A、B两点， ∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C， 故答案为：3．    【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键． 4．已知圆的直径为，直线l和圆只有一个公共点．求圆心到直线l的距离． 【答案】 【分析】根据直线和圆只有一个公共点，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得出结果. 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的半径为， ∵直线和圆只有一个公共点， ∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即为. 5．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5． （1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？ 【答案】（1）；（2） ；（3） 【详解】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案； （2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果； （3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离． 详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处， 如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F， 设⊙O与直线l切于点D，连接OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l， 由切线长定理可知C′E=C′D， 设C′D=x，则C′E=x， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=x，∠OFD=45°， ∴△OFD也是等腰直角三角形， ∴OD=DF， ∴x+x=1，则x=-1， ∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-（-1）=5-， ∴点C运动的时间为； 则经过秒，△ABC的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处， A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F， ∵CC′=2t，DD′=t， ∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t， 由（1）得：4-t=-1， 解得：t=5-， 答：经过5-秒△ABC的边与圆第一次相切； （3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t， 由（1）得：4-1.5t=-1， 解得：t=， ∴点B运动的距离为2×=． 点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力． 几何图形中，计算圆心到直线的距离判断位置关系题型03 1．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 2．在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再利用三角形的面积公式求得点C到AB的距离，进而判定圆与AB的位置关系. 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴点C到AB的距离=， 则该圆与AB的位置关系是相离. 故选C. 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 3．已知中，，，，以点为圆心，为半径作． （1）若与斜边有且只有一个公共点，则的取值范围是___________． （2）若与斜边有两个公共点，则的取值范围是__________． （3）若与斜边没有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 或 或 【分析】（1）（2）（3）设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案． 【详解】解：（1）如图，利用三角形面积，求得斜边上的高，与斜边有且只有一个公共点，存在以下两种情况： 当圆与相切时，； 当点在圆内部，点在圆上或圆外时，，即． （2）若与斜边有两个公共点，则的取值范围是：． （3）若与斜边没有公共点，当圆与相离时，的取值范围是； 当在圆内部时，的取值范围是， 综上所述，若与斜边没有公共点，则的取值范围是或． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，直线与圆的位置关系，矩形的性质，含直角三角形的性质，三角形的面积计算；若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，等价于将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，连接、、，过作，、，则四边形为矩形，当时，点M是线段上唯一在上的点，设，则，分类讨论：①当，即时，利用建立方程求解；②当，即时，利用求解. 【详解】解：由旋转的性质可得： ∵若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上， ∴将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，如图1所示， ∵点、点分别为、所在直线上的动点，由图可知当点在点C右侧或点在点C下方时，线段与没有交点， ∴点、点分别为射线、射线上的动点， 连接、、，过作，、，则四边形为矩形， ∵的半径与的半径相同为， ∴当时，点M是线段上唯一在上的点， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 设，则， ①当，即时，则，，如图1所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图1可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ②当，即时，则，，如图2所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图2可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴. 综上：或时线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上. 故答案为：或. 5．如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 【答案】当与相离时，；当与相切时，；当与相交时，． 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，含角的直角三角形，关键是掌握直线与圆的位置关系的判定方法． 判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离,由此即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． ． ①当与相离时，有，即，解得． 又点O在上（不与点重合），，； ②当与相切时，有，即，解得； ③当与相交时，有，即，解得． 又． 综上所述，当与相离时，； 当与相切时，； 当与相交时，． 坐标系中，计算圆心到直线的距离判断位置关系题型04 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系(    ) A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握点到直线的距离与半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的关键．根据，可判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：点到轴的距离为， ， 点为圆心，为半径的圆与轴相切， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】D 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，圆与直线的距离，勾股定理，利用分类讨论的关系解决问题是关键．由题意可知，圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：圆心的坐标为， 圆心到轴的距离为4，到轴的距离为3， 当圆与轴相切时，与轴相交，此时圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 当圆经过原点时，圆与坐标轴有且只有3个公共点，， 即r的值是4或5， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 4．已知关于的二次函数（，为常数）的图象的顶点为． (1)若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (2)已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆． ①的半径________． ②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与的位置关系． 【答案】(1) (2)2；点在外 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）根据题意可得，求出的值即可； （2）①由所给的三角形三边为勾股数，可知三角形是直角三角形，再由等积法求半径即可； ②先求顶点为，再由“完美点”定义可得，可确定点，由①知，的半径为2，则点在外． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ， ； （2）解：①以5，12，13为边长的三角形是直角三角形， ， 解得； 故答案为：2． ②， 顶点为， 点是“完美点”， ， 解得， 点， 由①知，的半径为2，则点在外． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． (1)【探究】由勾股定理得，，，． 在中，，所以． 化简得：．同理可得： ． 所以、为方程的两个实数根． (2)【运用】在图中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点、． (3)已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． (4)【拓展】 在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是 ． 【答案】(1) (2) 如图， (3)⊙C与x轴的位置关系为相切 (4) 【分析】（1）连接，，利用题干中的解题方法解答即可； （2）作出，，，以点为圆心，为半径画圆，与轴交于，点，则点、为轴上以方程两根为横坐标的点； （3）由题意得：与轴的交点的横坐标为一元二次方程的根，解方程得到一元二次方程的根，则与轴只有唯一的公共点，利用直线与圆相切的定义解答即可； （4）设，，则，，利用题干中的解题方法解答即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，，，， 在中，，所以． 化简得：， 连接，，如图， 由勾股定理得，，，， 在中，，所以． 化简得：， 所以、为方程的两个实数根． 故答案为：； （2）作出，，，以点为圆心，为半径画圆，与轴交于，点， 则点、为轴上以方程两根为横坐标的点； （3）⊙与轴的位置关系为相切．理由： 点、，以为直径作， 则与轴的交点的横坐标为一元二次方程的根， 一元二次方程的根为， 与轴只有唯一的公共点， 与轴的位置关系为相切． （4）以为直径的圆与轴有两个交点、， 设，， ，，， 由勾股定理得，，， 在中，，所以． 化简得：， 同理可得：， 所以、为方程的两个实数根． 以点、的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的根，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键，正确理解题干中的解题方法并熟练运用是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系求参数范围题型05 1．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么___；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是___；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是___． 【答案】 或 【分析】根据轴与圆的位置关系，推出圆心到轴的距离和半径之间的关系即可得解． 【详解】解：∵⊙M与y轴相切， ∴； 即； ∴如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是； 如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是或． 故答案为：；；或． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键． 2．若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】先分析点为圆心、为半径的圆与轴相交，得出横坐标的范围，根据函数对称轴位置确定当取何值时取到最值，得到的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，确定符号即可得出结论． 【解答】解：， ∴二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线， 在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交， ∴， ∵抛物线开口向上，， ∴当，时，， 当，时，，且此时圆与轴相切，故不可取到． ． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性和直线与圆的位置关系，解答关键是根据数形结合思想讨论的取值范围． 3．如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm． （1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？ （2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围 【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm． 【分析】（1）由切线的判定与性质和平移的性质即可得出结果； （2）由（1）的结果即可得出答案． 【详解】解：（1）∵⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm， ∴将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切； （2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于12cm， ∴2cm＜x＜12cm， x的取值范围为：2cm＜x＜12cm． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、直线与圆的位置关系等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以速度向点移动，连接，点的运动时间为． (1)当的面积等于时，求的值； (2)以为圆心，为半径画． ①当与线段所在直线相切时，求的值； ②当与线段有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①或； ②． 【分析】（1）由题意得，，，，，则可用代数式表示出的面积，再将的面积代入即可求解； （2）①分两种情况讨论：当时；时，根据圆与直线相切即为圆与直线的距离等于半径列出方程即可求解； ②与线段有两个公共点即为与线段的距离小于半径且，列出一元二次不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：依题得：，，，， ， 当的面积等于时， 即， 解得，， 故或； （2）解：①当时，点在点处，点在点处， 此时， 且根据矩形性质可得， 则此时以为圆心，为半径画，即为以为圆心，为半径画，与线段所在直线相切， 故满足条件； 当时，作交于点， 与线段所在直线相切， ， 在矩形中，， 又， 四边形是矩形， ， 即， 中，， ， 解得，（舍）， 综上，当与线段所在直线相切时，或； ②与线段有两个公共点， ，即，， ，即， 解得或（舍）； 连接， 由图得，当时，与线段才有两个公共点， ， 在矩形中，，， 中，， 即， 又， ， 解得或（舍）． 综上，当与线段有两个公共点时，． 【点睛】本题考查的知识点是动态几何问题(一元二次方程的应用)、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、矩形的判定与性质、勾股定理、二次函数与不等式综合，解题关键是将直线和圆的位置关系转化为半径与直线和圆距离的数量关系． 5．在平面直角坐标系中，对于及其外部一点，给出如下定义：过点作的一条切线，将点绕这条切线与的切点旋转得到点，若点可以落在以此切点为端点的的直径上，则称点为关于切点的“径上点”． (1)已知的半径为1． ①在点，，，中，关于切点的“径上点”是______； ②点在直线上，且点是关于切点的“径上点”，求点横坐标的取值范围； (2)已知点，的半径为2，直线与轴、轴分别交于，两点．若线段上所有的点都是关于切点的“径上点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】（1）①由切线性质得，结合点绕切点旋转的性质、，推出在直线上，再根据落在以为端点的直径上，得到，在中由勾股定理，结合是圆外点的条件，推导出“径上点”满足，最后计算各点到原点的距离，验证是否符合该范围即可判断是否为“径上点”． ②设直线上点的坐标为，用两点间距离公式表示出，结合“径上点”的范围，先分析得出对任意实数恒成立，再解不等式，将其整理为一元二次不等式，因式分解后求解该不等式，即可得到点横坐标的取值范围． （2）类比（1）的推导过程，得到的“径上点”满足，即；先求出直线与轴、轴的交点、，设线段上任意一点，用两点间距离公式表示并整理为开口向上的二次函数，根据其对称轴的位置分类讨论，求出在时恒成立的取值范围；再根据开口向上的二次函数当或时，取得最大值，得到的不等式组，解不等式组，再与的的范围结合，即可得到最终的取值范围． 【详解】（1）①解：根据题意，的半径，过点作的切线，切点为，由切线的性质得． 将点绕旋转得到，由旋转的性质得，． ∵，， ∴在直线上． ∵落在以为端点的的直径上， ∴，即． 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，即． 又∵是外一点， ∴，即． 对于，，不符合，不是“径上点”； 对于，，符合，是“径上点”； 对于，，不符合，不是“径上点”； 对于，，符合，是“径上点”； 综上，关于切点的“径上点”是，； ②解：设点的坐标为，由“径上点”的要求得， 由，得， ∴为任意实数． 由，得，即， 因式分解得， ∴或， 解得， 即点横坐标的取值范围为； （2）解：的半径，同理可得，的“径上点”满足，即 对于直线，令，得，令，得， ∴，， 设线段上任意一点，则， 则， 这是开口向上的二次函数，对称轴为． 先求当时，一定成立， ①当，即， 当时，函数随着的增大而增大， 当时，取得最小值，为， ∴，解得(舍去)； ②当，即， 当时，取得最小值，为， ∴，解得(舍去)， ∴； ③当，即， 当时，函数随着的增大而减小， 当时，取得最小值，为， 此时，解得， ∴． 综上，或． 再求当时，一定成立， ∵函数开口向上， ∴当或时，取得最大值， ∴， 解得； 综合和，的取值范围或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中新定义问题的理解与转化，圆的切线性质、旋转的性质，勾股定理与平面内两点间距离公式的应用，一次函数的图象与坐标轴交点求解，二次函数的图象与性质(开口方向、对称轴、取值范围内的最值)，一元二次不等式与含参数二次函数恒成立问题的求解，核心考查了几何条件向代数条件的转化能力．关键是准确解读“径上点”的新定义，结合切线、旋转的几何特征推导出点到圆心的距离取值范围，将几何问题转化为代数的函数与不等式问题求解． 切线的性质与判定的综合题型06 1．如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（    ） A．36° B．30° C．27° D．45° 【答案】A 【分析】由切线的性质可得∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算出∠POA=72°，最后根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及等边对等角即可求出∠B． 【详解】解：∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAB=90°， ∵∠P=18°， ∴∠POA=90°-18°=72°， ∵∠POA =∠OCB+∠B，OC=OB， ∴∠B=∠OCB==36°， 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键． 2．有下面三个语句： ①是的半径；②；③直线切于点． 以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题：________________． 【答案】由①③得②，或由②③得① 【分析】本题考查了切线的判定定理和性质定理，命题，掌握知识点是解题的关键． 根据切线的判定定理和切线的性质定理，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵是的半径，直线切于点， ∴； 即由①③得② ∵，直线切于点， ∴是的半径； 即由②③得①． 故答案为：由①③得②，或由②③得①． 3．如图，已知平分是上任意一点，与相切于点．求证：与相切． 【答案】 解：如图，连接，过点作于点． 与相切于点，． 又是平分线上一点， ，即是的半径， 与相切． 【分析】根据切线的判定定理，证明圆心到的距离等于圆的半径．结合角平分线的性质以及与⊙相切的条件来推导． 【详解】略 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质，解题关键是熟练运用切线的判定与性质定理，结合角平分线的性质，将证明切线的问题转化为证明点到直线的距离等于半径的问题． 4．（24-25九年级·期末）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； (2)． 【分析】（）连接，由切线性质可得，即，又，，所以，，则有，即，然后通过切线的判定方法即可求证； （）连接，，过作于点，先证明是的中线，所以，从而可得是等边三角形，所以，则，，由直角三角形性质可得，然后通过勾股定理求，然后求出，，最后通过即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，过作于点， ∴，， ∵，， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．已知：抛物线经过、两点，最高点的纵坐标为4，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若的外接圆交轴不同于点C的点，的弦平行于轴，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，并判定直线与的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)直线解析式为； (3)存在点，使与相似，其坐标为，，，，，，，，只有直线与相切，直线、、都与相交 【分析】（1）根据、两点的坐标即可得出抛物线的对称轴解析式，也就可得出抛物线顶点的坐标，然后根据顶点和、这三个点的坐标即可求出的抛物线的解析式； （2）根据圆的对称性可知，与关于抛物线的对称轴对称，已知、、的长，可根据切割线定理求出的长，进而可得出、点的坐标，然后可根据、的坐标用待定系数法求出直线的函数解析式； （3）求点的坐标要分类进行讨论：①当，即，由于轴，因此直线与轴的交点就满足点的条件，设此点为，关于轴的对称点也符合这样的条件；②当时，即，可根据相似三角形得出的对应成比例线段求出的长，即可得出点的坐标．（同①一样轴左右各有一个符合条件的点）如图：可过作的垂线设垂足为，由于是锐角，因此，所以与圆的相交，同理可得出，也与圆相交．由于，而，那么，因此只有与圆相切，，，都与圆相交． 【详解】（1）解：由对称性可知抛物线的最高点的横坐标是3，所以抛物线的最高点坐标为， ，解得， 抛物线解析式为； （2）如图所示： ， ， 如图，连接AD，BC， ∵ ∴ ∴ ， ， ， 直线垂直平分， ， 轴， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线解析式为； （3）假设存在点，使与相似， ， ， ， ， 或， 当时，，所以； 当时，，所以； 存在点，使与相似，其坐标为，，，，，，，， ， ， 直线与相切， ， 直线经过圆心， 直线与相交， 点在线段上， 为锐角， 作，垂足为，如图所示： ， 直线与相交， 同理：直线与相交， 故只有直线与相切，直线、、都与相交． 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识点，这是一个函数、圆及相似的综合题目，难度较大，熟练掌握相关知识点的性质是解决问题的关键． 新定义问题题型01 1．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O是以原点为圆心，半径为 圆，则⊙O的“整点直线”共有（    ）条 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】由题意可得圆上的整点个数为4个，分直线与圆有两个交点和一个交点两种情况讨论，可求解． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆上的整数点有四个：（2，2），（2，−2），（−2，2），（−2，−2）， 若直线与圆有两个交点，则两点确定一直线，可以画6条， 若直线与圆只有一个交点，则分别过这四个点画圆的切线，可以有4条， ∴一共有10条， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，读懂题意并能运用新知识解决问题是本题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点． (1)若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标_______． (2)若关于的一元二次方程为． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点的坐标． ②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值． (3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) ①证明：∵， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根， ∴， ∴，， ∴该方程的衍生点的坐标为； ②∵以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切， ∴， 解得， ∴， ∴； ② (3)， 【分析】（）解方程即可求解； （）①求出根的判别式的值可证该方程总有两个不相等的实数根，再求出方程的根即可得到衍生点的坐标；②根据相切可得，求出的值即可得到的值； （）由直线经过点，可得方程的两个根，，代入方程得到关于的方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴该方程的衍生点的坐标为， 故答案为：； （2）①略 （3）解：存在． ∵直线 ∴当时，， ∴无论为何值，直线始终经过点， ∴关于的方程的衍生点的坐标为， ∴方程的两个根为，， ∴，， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，直线与圆相切，一次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，理解题意是解题的关键． 3．对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)①，② 【分析】（1）由题意得出轴，则可根据“最小距离”的定义得出答案； （2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案； （3）①过点C作于点H，由直角三角形的性质可得出答案； ②由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴轴， ∴， 故答案为：3； （2）如图所示，表示与线段有交点，    此时, ∴； （3）①当时，点C恰好落在x轴上，如图，    过点C作，垂足为H， ，， ，， 点C落在x轴上， ， ； ②存在两个不同的值使得，即线段在旋转的过程中与有两个交点，如图，    此时，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点． 4．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． 例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． （1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ； （2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积； （3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ． 【答案】（1）（-1，0）；（2）；（3）5、（3，-2）或（-1，-2）． 【分析】（1）只需根据新定义画出图形就可解决问题； （2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（1，2）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“位置矩形”ABCD面积； （3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题 【详解】（1）如图1， 点D的坐标为（-1，0）． 故答案为（-1，0）； （2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2． ∵点A的坐标为（1，2）， ∴AC=AO=，AF=1，OF=2． ∵点A（1，2）在直线y=kx+1上， ∴k+1=2， 解得k=1． 设直线y=x+1与y轴相交于点G， 当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1， ∴FG=OF-OG=2-1=1=AF， ∴∠FGA=45°，AG=． 在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=． 在Rt△ABC中，BC=． ∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC=； （3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y， 则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10． ∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0， ∴xy≤5． 当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形． ①当点D在第四象限时，如图3， 过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N， ∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DAN， 在RtAMB和Rt△DNA中， ， ∴RtAMB≌Rt△DNA， 则有AN=BM=2，DN=AM=1， ∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）． ②当点D在第三象限时，如图4， 过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M， 同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA， 则有DM=AN=1，AM=BN=2， ∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）． 故答案为5、（3，-2）或（-1，-2）． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了用待定系数法求直线的解析式、圆的定义、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想，运用公式（x-y）2=x2+y2-2xy推出当“位置矩形”是正方形时面积最大是解决第3小题的关键． 5．（24-25上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个函数永远没有交点，则称这两个函数为“相离”函数． (1)当满足什么条件时，函数与为“相离”函数； (2)已知关于的函数，，，，其中与为“相离”函数，与为“相离”函数，请求出的值和的取值范围； (3)已知关于的函数与函数和都不是“相离”函数，且函数与轴负半轴交于点，抛物线向右平移5个单位再向上平移个单位后与轴分别交于，两点，当的外接圆的面积最小时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先判断正比例函数的图象所在象限，再判断反比例函数图象所在象限满足条件，进而可求解； （2）根据两个一次函数的图象是直线，根据题意，当两条直线平行时永远无交点可求得k值；再根据题意判断出当二次函数图象与x轴无交点时满足题意，进而利用判别式小于0求解即可； （3）注意到函数和的图象可以由平移得到，进而可求得k值，根据抛物线的平移和对称性可得的外接圆的圆心在其对称轴上，进而得到当的外接圆与y轴相切时，即半径最小为5时，的外接圆的面积最小，进而求得点A坐标，进一步求解可得结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象在第一、三象限，又函数与为“相离”函数， ∴函数的图象在第二、四象限时，两函数图象永远无交点， ∴，解得； （2）解：∵关于的函数与为“相离”函数， ∴且， 解得； ∵函数与为“相离”函数， ∴函数的图象与x轴无交点，即方程无实数解， ∴，又， ∴； （3）解：当关于的函数与函数不是“相离”函数时，则两个函数的图象相交或相切， 当两函数图象相切时，由得， ∴， 解得或， 当时，函数图象与函数图象相切； 当时，函数图象与函数图象相切，将两函数图象同时向左平移4个单位时，则变为函数与函数图象相切， ∴， ∵函数与轴负半轴交于点， ∴， ∵抛物线向右平移5个单位再向上平移个单位后与轴分别交于，两点， ∴平移后的抛物线的解析式为，则新抛物线的对称轴为直线， 如图，设对称轴与x轴交点为D，的外接圆圆心为I，则圆心在抛物线的对称轴上，， 由题意，当的外接圆与y轴相切时，即半径最小为5时，的外接圆的面积最小，此时， ∴， ∴， ∴点， 将代入中，得， 解得． 【点睛】本题考查新定义下的一次函数、反比例函数和二次函数的性质与图象问题，涉及函数图象的平移和交点问题、三角形的外接圆与切线问题、勾股定理等知识，综合性强，有难度，解决的关键是熟练掌握各函数的图象与性质，以及平移之间的关系． 动点、其他问题题型02 1．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，点是矩形内一动点， ∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， 如图所示，取的中点，则    ∴点到的最短距离为， ∴面积的最小值为， 故选：C． 2．如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 ___个单位后圆与x轴交于点（2，0）． 【答案】1或9 【分析】结合勾股定理和平移的性质进行计算． 【详解】解：设将沿轴向下平移个单位后，根据题意作图， ， 由勾股定理：， ， 解得或9， 应将沿轴向下平移1或9个单位后圆与轴交于点． 故答案为：1或9． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系及平移的性质，解题的关键是运用方程的思想解决更简单． 3．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 4．（2025·广东东莞·二模）【问题背景】 已知抛物线（k是实数）与x轴有交点，将此抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到新的抛物线E，设抛物线E与x轴的交点为B、C，如图． 【构建联系】 （1）求k的值，并求抛物线E所对应的函数关系式及其顶点A的坐标． （2）连接，把所在的直线平移，使它经过点C，得到直线l，点P是l上一动点（与点C不重合）．设以点A，B，C，P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当时，求出S关于t的函数关系式，并求出t的取值范围． 【深入探究】 （3）点Q是直线l上的另一个动点，以点Q为圆心，R为半径作⊙，当R取何值时，⊙与直线相切？相交？相离？直接给出结果． 【答案】（1），，坐标为；（2）；（3）当时相切，时相交，时相离 【深入探究】（1）首先根据抛物线与轴有交点，则判别式，据此即可求得的值，函数的解析式即可求得，然后根据将此抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到新的抛物线，即可求得的解析式以及顶点坐标； （2）首先求得、的坐标，然后利用待定系数法即可求得，的解析式，分在轴下方和上方，两种情况利用的横坐标表示出四边形的面积，再根据得出t的范围即可得到S关于t的函数关系式，求得的范围； （3）过点作，为垂足，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用直线与圆的位置关系的判定方法，即可写出结果． 【详解】解：（1）抛物线是实数）与轴有交点， 则判别式， 则， 因而抛物线的解析式是：， 将此抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线是：， 即： 即， 顶点坐标为； （2）令，得， 解得：， 所以，，， 设直线的函数关系式为、 ，， ，解得， 直线且过点， 可设直线的函数关系式为， 直线过点， ，解得：， 直线的函数关系式为， 点是上一动点且横坐标为， 点坐标为， 当在轴下方时， ． ， ， ， 又， ， 当在轴上方时， 作轴于，设对称轴与轴交点为．则 ， ， ， ， 又， ， 综上所述，； （3）因为，， 所以， 过点作，为垂足， 所以， 因为平行线间距离处处相等，所以点到直线的距离等于， 所以当时相切，时相交，时相离． 【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线解析式以及直线与圆的位置关系的判定，并且用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏． 5．（25-26九年级·期末）如图1，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，过点的直线与抛物线在对称轴右侧的部分有唯一的交点． ①点的坐标为__________． ②求直线的表达式和的面积． (3)如图3，将抛物线沿直线平移，设平移过程中抛物线与直线交于，两点，平移过程中抛物线的顶点的横坐标为．当轴上存在唯一的一点使得时，请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)①；②直线的表达式为，的面积为 (3)或或或 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据二次函数的平移规律求出抛物线的解析式，进而求出顶点的坐标； ②设直线的解析式为，与抛物线联立，得到关于的一元二次方程，由于只有一个交点，因此判别式，结合点在抛物线右侧，求出的值．将分别代入直线的解析式与抛物线的解析式，求出函数与轴的交点的坐标，利用割补法求出的面积； （3）根据平移规律可得直线的斜率为，结合点的坐标，求出的解析式，从而表示出点的坐标，以及平移后的抛物线的解析式．联立直线与抛物线，解方程求出点和点的坐标．以为直径作圆，根据圆周角定理可知，点必定在圆上，分两类情况讨论，圆与轴相切或者圆与轴相交，且点或点落在轴上，根据切线的定义和交点坐标构造方程，解出的值． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①， ∵抛物线由抛物线向右平移3个单位长度得到， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为； ②将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 当直线与抛物线相交时，则有， 化简，得， ∵直线与抛物线有唯一的交点， ∴判别式， 化简，得， 解得或， ∵点在抛物线的对称轴的右侧， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入方程，得， ， 解得， 将代入，得， ∴点的坐标为， 如图，设直线交轴于点， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ； （3）解：设平移过程中的抛物线的顶点为点，直线的解析式为， ∵抛物线沿着直线平移， ∴， ∴， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴平移过程中抛物线， 当直线与抛物线相交时， ， 化简，得， 因式分解，得， 解得，， ∴点坐标为，点坐标为， 由勾股定理可得，， 如图，以线段为直径作圆， 由圆周角定理可知，使得的点必定在圆上， ①当圆与轴相切时，此时只有唯一的点使得，符合题意， ∵点为的中点， ∴点的坐标为， ∵圆与轴相切， ∴， ∴， 解得或； ②当圆与轴相交时，设直线与轴交于点， 如图，当圆过点时，点与点或点重合，即存在唯一的点使得，符合题意， 当点与点重合时，，解得； 当点与点重合时，，解得； 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的平移问题，二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，圆周角定理，切线的判定与性质，直线围成的三角形面积问题，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 圆与三角形综合题型03 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，   ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·月考）在中，，，，则它的外接圆半径为_________；内切圆半径为_________． 【答案】 1 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆半径的计算方法，关键在于运用勾股定理求出斜边长度．首先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据外接圆半径等于斜边的一半，以及内切圆半径的公式求解． 【详解】解：在中，，， ， 直角三角形的外接圆的圆心是斜边中点，设外接圆的半径为，内切圆的半径为， ， 即：， . 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，圆心为（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为______． 【答案】(1) 解：如图即为所求； (2) 【分析】本题主要考查作图：画三角形的内切圆及三角形内切圆半径的计算. （1）内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，只需要作出两个角的平分线，其交点即为圆心，再作出圆心到一条边的距离，即得到半径； （2）设内切圆的半径为，先根据勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）设内切圆的半径为， 在中，，，， ， ，， 又，即， ， 故答案为：． 4．【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离．    【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程；    【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值；    【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值．    【答案】【初步探究】 证明：∵，，， ∴； 【直接运用】长度的最小值为； 【构造运用】线段的最小值为． 【分析】初步探究：本题考查连点间线短距离最短，根据两点间线短距离最短结合半径相等即可得到答案； 直接运用：本题考查圆外一点与圆上点最小距离问题，连接圆心与圆外点交圆于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案； 构造运用：先证明得到定角，即可得到点P的路径是一段以为直径的弧，结合最短距离问题及勾股定理即可得到答案； 【详解】初步探究：略； 直接运用： 解：取的中点E，连接，交半圆于，在半圆上任取P1，连接，，可见，，即是的最小值．      在中，，，， ∴， ∵， ∴； 即长度的最小值为． 构造运用： 解：如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴； 由于点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 设的中点为Q，连接交弧于点P，此时的长度最小， 在中，， ∴． 答：线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查圆外一点到圆上点最小距离问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是找到最小距离点及定直角得到动点在圆上． 5．如图，在中，直径弦，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，作弦交于点E，交于点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵直径弦， ∴弧弧， ∴， (2) 证明：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由垂径定理可得弧弧，可得； （2）由余角的性质可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可得结论； （3）先证明，，利用相似三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，，过点B作于H，      ∵，， ∴， ∵弧弧， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键． 圆与四边形综合题型04 1．下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 2．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式． 【详解】略 3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC ． (1)若∠DFC=40º，求∠CBF的度数． (2)求证: CD⊥DF ． 【答案】（1）50º； （2）证明：令，则， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴，即， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据圆周角定理及三角形的外角，等腰三角形的知识进行角度的换算即可得； （2）根据圆的内接四边形对角互补的性质进行角度计算即可证明． 【详解】解:(1)∵∠BAD=∠BFC， ∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∠BFC=∠BAC+∠ABF, ∴∠CAD=∠ABF 又∵∠CAD=∠CBD, ∴∠ABF=∠CBD ∴∠ABD=∠FBC， 又 ， ， ， ， ． (2)略 【点睛】本题主要考查圆的性质与三角形性质综合问题，难度适中，解题的关键是能够灵活运用圆及三角形的性质进行角度的运算． 4．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． (1)求证：AF=CE； (2)若BF=2，，求⊙O的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C． ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ADE=90°． ∵AD∥BC， ∴∠CED=∠ADE=90°． ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA=90°． ∴∠AFD=∠CED=90°． 在△DAF和△DCE中，， ∴△DAF≌△DCE（AAS）． ∴AF=CE． (2) 【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证； （2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接AH，DF， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD=∠DFA=90°． ∵AD=AB，， ∴． 在Rt△ADF和Rt△BDF中， 由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2， ∴AD2－AF2=BD2－BF2． ∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2． ∴． ∴AD=5． ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题． 5．圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】（1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，再分类讨论，第一种情况是，第二种情况是，结合三角函数以及勾股定理进行列式作答即可； （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径，，， ∴， ①当时，连接，如图： ∵，为的直径， ∴， ∴，垂直平分． ∴ ∴； ②当时，连接，过点作，交于点．如图： 此时为等腰直角三角形，． 在中，∵，， ∴ ∴ 在中，∵，， ∴， ∴． 综上可知，或； （3）如图，连接，． ∵，， ∴垂直平分 ∵为中点， ∴为的中位线，有，． 设， 则，，， 在中， 在中， 于是有： 整理得，， ∴ 当时， 【点睛】本题是圆的综合题，涉及勾股定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、三角函数、三角形中位线定理等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 其他综合问题题型05 1．（25-26九年级上·河北保定·月考）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 2．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度． 【详解】解：作OC⊥AB， 又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm ∴BO＝5，BC＝4， ∴由勾股定理得OC＝3cm， ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键． 3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）    A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒 【答案】D 【分析】作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答． 【详解】解：作PH⊥CD于H， 在Rt△OPH中，∠AOC＝30°， ∴OP＝2PH， 当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点P运动的距离为6﹣4＝2， ∴⊙P运动的时间是2秒， 当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点P运动的距离为6+4＝10， ∴⊙P运动的时间是10秒， 故选：D．    【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 5．（2025·北京·模拟）点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题综合考察了函数图象的性质，最值问题，难度较大，综合运用函数图象，几何图形性质是解题的关键． （1）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M，先求b值，再确定，由，得到，从而求得； （2）设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作，当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度，由，先求得，再求出，最后得到t的范围； （3）先由直线恒过定点，得到，即在直线上，因为，所以直线和正方形相交，分点F在上和点E在上两种情况，求出m的取值范围． 【详解】（1）解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则，， ∴，， 如图1，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M， 由题意得：与反比例函数只有一个交点，故， 整理得：， 则， 解得：（负值已舍去）， 则， 解得：， 故点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故； （2）解：如图2，设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作， 当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度， ∵，的半径为， ∴， 由，可知， ，， 在中， ∵， ∴， 则， 在中， ， ∵， ∴，即， 解得：或； （3）解：∵直线恒过定点， ∴， 整理得：， ∴且， 解得：且，即， ∴在直线上， ∵， ∴直线和正方形相交， ∵点， ∴点E在直线上运动； ①当点E所对顶点F在上时，如图3， 即点E、F关于原点对称， ，， ∵点F在上， ∴， 解得：， 当点E向上运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向下运动， ∴； ②当点E运动到时，如图4， ， 将E点坐标代入的表达式得：， 解得：， 当点E向下运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向上运动， ∴； 综上，或． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 30.1 直线与圆 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据图象判断直线与圆的位置关系 题型02 已知d和r判断直线与圆的位置关系 题型03 切线的判定 题型04 切线的性质 题型05 切线长定理的应用 题型06 与切线有关的作图问题 B组 能力进阶 题型01 已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围 题型02 由直线与圆的位置关系求点到直线的距离 题型03 几何图形中，计算圆心到直线的距离判断位置关系 题型04 坐标系中，计算圆心到直线的距离判断位置关系 题型05 根据直线与圆的位置关系求参数范围 题型06 切线的性质与判定的综合 C组 思维拔高 题型01 新定义问题 题型02 动点、其他问题 题型03 圆与三角形综合 题型04 圆与四边形综合 题型05 其他综合问题 根据图象判断直线与圆的位置关系题型01 1．如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 已知d和r判断直线与圆的位置关系题型02 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．已知的直径为10，直线l与圆心O的距离为8，那么直线l与公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知半径为10的⊙O和直线l上一点A，且，则直线l与⊙O的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相交或相离 D．相切或相交 4．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是_________． 切线的判定题型03 1．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 2．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 3．如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线． 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，2.4为半径作．求证：是的切线． 5．（2025·湖北襄阳·模拟）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 切线的性质题型04 1．如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与相切于点C，线段交于点A，过点A作的切线交于点D．若，，则的半径等于（　　）    A．4 B．5 C．6 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（    ）    A． B．7 C． D． 4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）用文字语言写出圆的切线的性质定理：__________________ 5．【认识】 如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好圆”，矩形是圆的“友好矩形”． 【理解】 （1）如图①，四边形是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知，则它有___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）； 【思考】 （2）如图③，矩形中，，，是矩形中经过点C、B的“友好圆”，求的半径． 【探究】 （3）如图④，已知矩形，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，不写步骤） 切线长定理的应用题型05 1．如图，分别切圆O于A、B两点，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，、是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 3．如图，在中，，，若 与的三边分别相切于点，，，且的周长为，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 5．（25-26九年级上·山西忻州·月考）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们探讨有关不同情况下扇形与圆的关系问题． 【初步探究】 （1）如图1，已知的半径为10，扇形的顶点，，都在上，扇形ABC的圆心角，求扇形的半径． 【深入探究】 （2）“智慧小组”提出问题：如图2，扇形的圆心角，半径为10，若与扇形的两条半径，及都相切，求的半径． 【拓展探究】 （3）“创新小组”突发奇想，提出问题：如图3，在正方形中，与扇形相切，与边，相切，若扇形的半径为10，请直接写出的半径． 与切线有关的作图问题题型06 1．当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 2．（2026·陕西·模拟）如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（25-26九年级上·青海西宁·期末）如图，已知和外一点P．求作射线，，使，分别与相切于点A，B． 作法：①连接；②分别以点O，P 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；③作直线，交于点 C；④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点；⑤作射线，．则射线，与分别相切于点A，B． (1)请根据上述作法在图9中完成尺规作图； (2)请根据作图过程证明，是的切线； (3)若，的半径为5，请直接写出，的长． 4．古希腊数学家欧几里得（约公元前325-公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果从圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线为边所构成的正方形的面积． 命题解读：直线为的切线，直线为圆的割线，以为边构造正方形，以为边构造矩形，可得正方形的面积等于矩形的面积，由此可得． 根据以上问题，完成尺规作图并计算．                    (1)尺规作图步骤如下： ①以点B为圆心，小于的长为半径作弧，交射线于P，Q两点； ②分别以P，Q为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E； ③作射线，射线与射线交于点A； ④可得直线为的切线．请按描述完成作图； (2)依据所作图形，若以为边的正方形的面积为24，，则以为边的矩形的周长为________． 5．（25-26九年级·期中）综合与实践． 【活动目标】已知及外一点P，求作直线，使与相切于点D（图1）． 【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，E； ④作直线，，则直线即为所求． 【证明与作图】 (1)根据以上的作图方法，请证明与相切； (2)连接，若半径为5，，求的长； (3)已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M，你有其他的作图方法吗？请利用尺规在图1进行作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知直线与圆的位置关系确定半径取值范围题型01 1．已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 5．如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”． (1)在平面直角坐标系中，的半径为2，以下各点属于“弦心衍生点”的有_____； (2)平面直角坐标系中，若的半径为1，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是___； (3)在（2）的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为____． 由直线与圆的位置关系求点到直线的距离题型02 1．已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 2．已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．1 3．已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为___________个． 4．已知圆的直径为，直线l和圆只有一个公共点．求圆心到直线l的距离． 5．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5． （1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？ （3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？ 几何图形中，计算圆心到直线的距离判断位置关系题型03 1．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3．已知中，，，，以点为圆心，为半径作． （1）若与斜边有且只有一个公共点，则的取值范围是___________． （2）若与斜边有两个公共点，则的取值范围是__________． （3）若与斜边没有公共点，则的取值范围是___________． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为_______． 5．如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 坐标系中，计算圆心到直线的距离判断位置关系题型04 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系(    ) A．与x轴相切 B．与x轴相离 C．与y轴相切 D．与y轴相交 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．已知关于的二次函数（，为常数）的图象的顶点为． (1)若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (2)已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆． ①的半径________． ②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与的位置关系． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． (1)【探究】由勾股定理得，，，． 在中，，所以． 化简得：．同理可得： ． 所以、为方程的两个实数根． (2)【运用】在图中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点、． (3)已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． (4)【拓展】 在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是 ． 根据直线与圆的位置关系求参数范围题型05 1．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么___；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是___；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是___． 2．若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是______． 3．如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm． （1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？ （2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以速度向点移动，连接，点的运动时间为． (1)当的面积等于时，求的值； (2)以为圆心，为半径画． ①当与线段所在直线相切时，求的值； ②当与线段有两个公共点时，求的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，对于及其外部一点，给出如下定义：过点作的一条切线，将点绕这条切线与的切点旋转得到点，若点可以落在以此切点为端点的的直径上，则称点为关于切点的“径上点”． (1)已知的半径为1． ①在点，，，中，关于切点的“径上点”是______； ②点在直线上，且点是关于切点的“径上点”，求点横坐标的取值范围； (2)已知点，的半径为2，直线与轴、轴分别交于，两点．若线段上所有的点都是关于切点的“径上点”，直接写出的取值范围． 切线的性质与判定的综合题型06 1．如图，AB是圆O的直径，PA切圆O于点A，PO交圆O于点C，连接BC，若∠P＝18°，则∠B等于（    ） A．36° B．30° C．27° D．45° 2．有下面三个语句： ①是的半径；②；③直线切于点． 以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题：________________． 3．如图，已知平分是上任意一点，与相切于点．求证：与相切． 4．（24-25九年级·期末）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 5．已知：抛物线经过、两点，最高点的纵坐标为4，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若的外接圆交轴不同于点C的点，的弦平行于轴，求直线的解析式； (3)在轴上是否存在点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，并判定直线与的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由． 新定义问题题型01 1．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O是以原点为圆心，半径为 圆，则⊙O的“整点直线”共有（    ）条 A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点． (1)若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标_______． (2)若关于的一元二次方程为． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点的坐标． ②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值． (3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 3．对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 4．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． 例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． （1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ； （2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积； （3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ． 5．（24-25上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个函数永远没有交点，则称这两个函数为“相离”函数． (1)当满足什么条件时，函数与为“相离”函数； (2)已知关于的函数，，，，其中与为“相离”函数，与为“相离”函数，请求出的值和的取值范围； (3)已知关于的函数与函数和都不是“相离”函数，且函数与轴负半轴交于点，抛物线向右平移5个单位再向上平移个单位后与轴分别交于，两点，当的外接圆的面积最小时，求的值． 动点、其他问题题型02 1．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 ___个单位后圆与x轴交于点（2，0）． 3．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______． 4．（2025·广东东莞·二模）【问题背景】 已知抛物线（k是实数）与x轴有交点，将此抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到新的抛物线E，设抛物线E与x轴的交点为B、C，如图． 【构建联系】 （1）求k的值，并求抛物线E所对应的函数关系式及其顶点A的坐标． （2）连接，把所在的直线平移，使它经过点C，得到直线l，点P是l上一动点（与点C不重合）．设以点A，B，C，P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当时，求出S关于t的函数关系式，并求出t的取值范围． 【深入探究】 （3）点Q是直线l上的另一个动点，以点Q为圆心，R为半径作⊙，当R取何值时，⊙与直线相切？相交？相离？直接给出结果． 5．（25-26九年级·期末）如图1，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，过点的直线与抛物线在对称轴右侧的部分有唯一的交点． ①点的坐标为__________． ②求直线的表达式和的面积． (3)如图3，将抛物线沿直线平移，设平移过程中抛物线与直线交于，两点，平移过程中抛物线的顶点的横坐标为．当轴上存在唯一的一点使得时，请直接写出符合条件的的值． 圆与三角形综合题型03 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·月考）在中，，，，则它的外接圆半径为_________；内切圆半径为_________． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，圆心为（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为______． 4．【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离．    【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程；    【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值；    【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值．    5．如图，在中，直径弦，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，作弦交于点E，交于点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，求的半径． 圆与四边形综合题型04 1．下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 2．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC ． (1)若∠DFC=40º，求∠CBF的度数． (2)求证: CD⊥DF ． 4．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． (1)求证：AF=CE； (2)若BF=2，，求⊙O的半径． 5．圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 其他综合问题题型05 1．（25-26九年级上·河北保定·月考）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）    A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒 4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 5．（2025·北京·模拟）点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $