3.6直线与圆的位置关系（题型专练）数学北师大版九年级下册

3.6直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（   ） A．B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（    ） A．1或2 B．2 C．0 D．1 4．（25-26九年级上·北京·阶段练习）在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 6．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数为（   ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法判断 7．（25-26九年级上·天津·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是 ． 题型二 已知直线与圆的位置关系求半径 1．（2025九年级上·山东·专题练习）直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（20-21九年级上·福建南平·期末）在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·青海西宁·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    7．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 题型三 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于 ． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 6．（24-25九年级下·全国·随堂练习）设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ． 题型四 求圆平移到与直线相切时运动的距离 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 3．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 4．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 5．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    6．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    7．（20-21九年级上·河北邯郸·期中）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 题型五 过圆外一点作圆的切线 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和外一点． 尺规作图：在图中，过点作的两条切线、，、为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 题型一 判断或补全条件使直线为切线 1．（18-19九年级下·全国·课后作业）下列直线是圆的切线的是（    ） A．经过半径外端的直线 B．垂直于半径的直线 C．与圆有公共点的直线 D．圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线 2．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 3．（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 5．（2021·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 6．（18-19九年级下·全国·课后作业）如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（    ） A． B． C．AC是直径 D．且 7．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 题型二 切线的性质定理 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的弦，与相切于点．圆心在线段上．已知，求的大小． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的内切圆，切点分别为D、E、F，，求的度数． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，点是斜边上的一点，以为半径的与边相切于点，连接．求证：平分． 5．（2025·安徽淮南·二模）如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 6．（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为10，，求的长． 题型三 证明某直线是圆的切线 1．（2025九年级上·北京·专题练习）为等腰三角形，O为底边的中点，腰与相切于点D．求证：是的切线． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 3．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 5．（江苏省南通市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，求的半径． 6．（广西壮族自治区柳州市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，四边形内接于，是直径，平分，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为4，长为7，求的长． 7．（江苏省徐州市区2025—2026学年九年级上学期期中联考检测数学试题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作．交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求． 8．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 题型四 切线的性质与判定的综合运用 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，是的直径，，点在上，连接，且，及的延长线与分别相交于点、． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为8，，求的长． 4．（2025·山东·模拟预测）如图，过菱形的顶点A，B，C，且切于点C，的延长线交于点M，且与的延长线交于点N． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 5．（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 题型五 三角形内切圆与外接圆综合 1．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）下图是由四个大小不同的等边三角形和三个大小不同的圆组成的图案．已知最大等边三角形的面积为128，则图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是（　　） A．2 B． C．4 D．8 3．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为3，则其内切圆半径的长为 ． 4．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    5．（23-24九年级下·上海·期中）已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时， 6．（2025·河北唐山·二模）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 7．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 题型一 圆的综合问题 1．（2025·云南临沧·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 2．（2025·广东深圳·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心． 为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于G点，G为中点． 请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)的长度为多少公分？ (2)判断与的长度何者较大？请说明理由． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，AB为的直径，C为上一点，D为弧BC的中点，连接AD、BC相交于E，过点B作的切线交AD的延长线于F； (1)求证：； (2)过点D作，垂足为H，求证：； (3)延长DH交于G，连接CG，交AD于N，，求的半径． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，能熟练地运用数量关系进行判断直线l与的位置关系是解答此题的关键. 根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小关系即可选出答案. 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，， ∴， ∴直线l与的位置关系是相交，且不过圆心. 故选：B. 2．（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知的半径为3，P为所在平面内某直线l上一点，，则过点P的直线与的公共点个数为（    ） A．1或2 B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据圆心到直线的距离d与半径R的关系判断直线与圆的位置关系，由于P在直线l上且，故，从而直线l与圆相切或相交，公共点个数为1或2，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵P在直线l上且， ∴ 圆心O到直线l的距离， ∵的半径， ∴， ∴ 直线l与相切或相交， ∴公共点个数为1或2， 故选：A 4．（25-26九年级上·北京·阶段练习）在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点在内 B．点在上 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系是解题的关键，过点作于，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可求出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项A、B进行判断，根据直线与圆的位置关系对C、D进行判断即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图， ∵ ∴， 在中，， ∵， ∴点在外，则A不符合题意； ∵， ∴点在外，则B不符合题意； ∴，， ∴直线与相切， 则C符合题意；D不符合题意； 故选：C． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 【答案】D 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决． 【详解】设圆心O到直线l的距离为d， 根据题意，在直线l上存在一点P，使得， 因为垂线段最短，所以圆心O到直线l的距离，即， 又因为圆的半径，所以， 当时，直线l与相切； 当时，直线l与相交， 故直线l和的位置关系可能是相切或相交 故选：D． 6．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数为（   ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离d，圆的半径r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交． 根据直线与圆的位置关系得到直线与相交，进而可知直线和有两个公共点. 【详解】解：， ， 直线与相交， 直线和有两个公共点， 故选：A． 7．（25-26九年级上·天津·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系．设圆心到直线的距离为，圆的半径为．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．反之亦然．熟练掌握是解题的关键． 圆心到直线上某一点的距离为，表明圆心到直线的距离可能小于或等于，结合圆的半径，判断直线与圆的位置关系． 【详解】∵圆的半径，圆心到直线上某一点的距离为， ∴圆心到直线的距离d满足， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相交或相切． 故答案为：相交或相切． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法（比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系）是解题的关键．先明确圆的半径和圆心到直线的距离，再通过比较两者的大小来确定直线与圆的位置关系． 【详解】解：的半径，圆心到直线的距离， ， 直线与相离， 故答案为：相离． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与的位置关系，根据直线与圆的位置关系的判定定理求解． 【详解】解：，，， ， 即， 该直线与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 题型二 已知直线与圆的位置关系求半径 1．（2025九年级上·山东·专题练习）直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直线l与相交， ∴点O到直线l的距离， 又∵， ∴． 故选：C． 2．（20-21九年级上·福建南平·期末）在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法， 熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 过点C作，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出的长，即为所求的r． 【详解】解：如图，过点C作， ∵在中，，，， ∴， ， ， 解得：， ∵以点C为圆心，r为半径的与直线相切， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 5．（2025·青海西宁·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据直线与相切得出，推出方程有两个相等的实数根，再根据即可求出的值． 【详解】解：的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切， ， 、是方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 7．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 【答案】当时，与射线没有公共点；当或时，与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点 【分析】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作于点N，求出，分情况讨论求解即可． 【详解】解：作于点N，如图， ∵， ∴， ∴当时，与射线OA只有一个公共点； 当时，与射线OA没有公共点； 当时，与射线OA有两个公共点； 当时，与射线OA只有一个公共点． ∴当时，与射线OA没有公共点；当或时，与射线OA只有一个公共点；当时，与射线OA有两个公共点． 题型三 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 2．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 6．（24-25九年级下·全国·随堂练习）设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得与直线a相离或相切，即可求解． 【详解】解：∵与直线a至多只有一个公共点， ∴与直线a相离或相切， ∵的半径为4， ∴． 故答案为： 题型四 求圆平移到与直线相切时运动的距离 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 2．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 3．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 4．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 5．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 6．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 7．（20-21九年级上·河北邯郸·期中）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 【答案】3或4/4或3 【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可． 【详解】∵直线AB⊥l， ∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s； 当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键． 题型五 过圆外一点作圆的切线 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，圆周角定理的应用，切线的判定． （1）如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，可得为所在圆的圆心． （2）如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 【详解】（1）解：如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，则为所在圆的圆心． （2）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 理由如下： ∵为直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查尺规作图，（1）连接并延长，以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，再分别以点A、C为圆心，大于线段的长度为半径作弧，交于点D，再作直线即可； （2）连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线即可． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求； （2）如图，连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线，直线即为所求，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和外一点． 尺规作图：在图中，过点作的两条切线、，、为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，过圆外一点作圆的切线，合理利用圆周角定理，构造全等三角形，辅助圆解决问题是解决本题的关键．作法通过过点作辅助圆，、为新作圆的圆周角，根据直径所对的圆周角等于即可得证直线、为的切线；作法通过构造等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一，底边上的中线即为高线，即可得证直线、为的切线． 【详解】解：作法： 连接，作的垂直平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作圆交于点，， 作直线，，则直线，即为所求． 连接、， 根据作法可知，为的直径， ，即，， 、为的半径， 、为的切线； 作法： 作射线，与交于点和点； 以点为圆心，以为半径作； 以点为圆心，以为半径作圆，与交于点和点，连接和，分别与交于点和点； 作直线和直线，则直线，即为所求． 连接、， 根据作法可知，，，， 点是的中点，点是的中点， 根据等腰三角形三线合一可知，，， 、为的半径， 、为的切线． 题型一 判断或补全条件使直线为切线 1．（18-19九年级下·全国·课后作业）下列直线是圆的切线的是（    ） A．经过半径外端的直线 B．垂直于半径的直线 C．与圆有公共点的直线 D．圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定定理进行判断即可. 【详解】解：A. 经过半径外端的直线，但直线不一定垂直半径，故不能判断该直线是圆的切线； B. 垂直于半径的直线，但直线不是经过半径外端，故不能判断该直线是圆的切线； C. 与圆有公共点的直线，直线与圆相交也有公共点，故不能判断该直线是圆的切线； D. 圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线，能判断该直线是圆的切线. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，圆的切线必须与半径垂直，且过半径的外端. 2．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 3．（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 4．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 5．（2021·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 6．（18-19九年级下·全国·课后作业）如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（    ） A． B． C．AC是直径 D．且 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可. 【详解】解：A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切； B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切； C. AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切； D. 当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切. 故选D. 【点睛】本题主要考查切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 7．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 题型二 切线的性质定理 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    【答案】/31度 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据切线的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵与相切于点，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的弦，与相切于点．圆心在线段上．已知，求的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质；连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 相切于点， ， ， ， ， ． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的内切圆，切点分别为D、E、F，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，．由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得，由圆周角定理可求得． 【详解】解：如图所示；连接，． ，， ， 是圆的切线， ， 同理， ， ， ． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，点是斜边上的一点，以为半径的与边相切于点，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质（圆的切线垂直于过切点的半径）是解题的关键． 要证明 平分 ，可连接 ，利用切线的性质得到 ，再结合 推出 ，进而通过角的关系证明 ． 【详解】解：连接 ． 以 为半径的 与边 相切于点 ， ． ∵， ∴， ． ． ， ． ， ∴ 平分 ． 5．（2025·安徽淮南·二模）如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、平行线分线段成比例、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接．由切线的性质可得，再根据圆周角定理、等边对等角以及等量代换可得，即，再根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线分线段成比例可得，进而得到设，则．在中，根据勾股定理列方程可求得x的值，进而确定直径AB的长． 【详解】（1）证明：如图：连接， 为的切线， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）知， ． ，， 设，则． 在中，， 解得（负值舍去）， ． 6．（2025·浙江丽水·二模）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）连接，则和，根据题意得，即有，可得，则有即可判定角平分线； （2）过点O 作于点E，连接，则，判定四边形为矩形，有，结合圆的性质和等腰三角形的性质求得，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则，， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：过点O 作于点E，连接，如图， 则， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为10， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质、切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、角平分线的判定、矩形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉常规辅助线的做法． 题型三 证明某直线是圆的切线 1．（2025九年级上·北京·专题练习）为等腰三角形，O为底边的中点，腰与相切于点D．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 过点O作于点E，连结，，根据切线的性质得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出是的平分线，根据角平分线的性质得出，从而证得结论． 【详解】证明：过点O作于点E，连接，， 与相切于点D， ， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线， ，即是的半径， 经过的半径的外端点且垂直于， 是的切线． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦是直径，先证明是的直径，再证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：连接，如图， ， 是的直径， ，， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线． 3．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】本题考查切线的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键． （1）连接并延长交于H，连接、，先证明为线段的垂直平分线得到，，根据平行线的性质可得，然后根据切线的判定可得结论； （2）设，先在中，利用勾股定理求解，再在中，利用勾股定理列方程求得r即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于H，连接、，则， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，又是的半径， ∴为的切线； （2）解：设， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， 在中，， ∴， 则， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为5． 5．（江苏省南通市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径是． 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得，结合题意推出，从而由平行线的判定得到，进而利用平行线的性质进行证明即可； （2）连接，在中根据勾股定理求得，根据直角三角形边之间的关系推出，从而根据平行线的性质推出，得出是等边三角形，进而求得的半径； 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线为的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是． 6．（广西壮族自治区柳州市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，四边形内接于，是直径，平分，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为4，长为7，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的切线的判定方法，等腰三角形的性质，圆周角定理． （1）连接，先根据角平分线和等腰三角形得到，那么，即可证明； （2）先由圆周角定理得到，在中由勾股定理求解，再证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴. 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 7．（江苏省徐州市区2025—2026学年九年级上学期期中联考检测数学试题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作．交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，垂径定理的推论，勾股定理，圆周角的性质及含直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定，垂径定理的推论，勾股定理，圆周角的性质及含直角三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得点是的中点，则有，根据平行线的性质可得，进而问题可求解； （2）过点作于点，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据含直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵的平分线交于点， ∴， ∴，即点是的中点， ∵是半径， ∴， ∵， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：过点作于点，如图所示： ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂直平分线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得为直径，再证，即可得解； （2）先证垂直平分，再利用等面积求出长即可． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 四边形内接于， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线，即与相切； （2）解：如图，记、交于点， ， ， ， 为直径， 垂直平分， ， ， ， 根据等面积可得， ． 题型四 切线的性质与判定的综合运用 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，熟练掌握与运用平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，是做题的关键． （1）连接并延长与交于点，连接，通过证明三角形全等可得，进一步证明直线是的切线； （2）设与相切于点，连接并延长与交于点，同理（1）得是的切线，再根据切线长定理得，，再进一步可得，即可证明是菱形． 【详解】（1）证明：如图， 连接并延长与交于点，连接， 是的对称中心， ， ， 又， ， ， 与相切于点， 与相切于点， 即直线是的切线． （2）解：是菱形． 理由：如图， 设与相切于点，连接并延长与交于点， 同理（1），得是的切线，． 由切线长定理得，， ， ． ， 是菱形． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，是的直径，，点在上，连接，且，及的延长线与分别相交于点、． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为8，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查圆的切线判定定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，即，再由，为半径，得到是的切线，即可解答； （2）连接，证明是等边三角形，得到，继而推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，如图 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∵，为半径， ∴是的切线． （2）解：连接，如图 ∵是的直径 ∴， 则 ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴． 4．（2025·山东·模拟预测）如图，过菱形的顶点A，B，C，且切于点C，的延长线交于点M，且与的延长线交于点N． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，先根据菱形的性质可得，根据圆的切线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，记与的另一个交点为，连接，先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵切于点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：如图，连接，，记与的另一个交点为，连接， ∵为的直径， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵切于点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 5．（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可．由三角形的内角和定理可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和为，结合已知条件可得，于是得证； （2）连接，根据切线长定理可得，由全等三角形的判定与性质可得，于是可得，由勾股定理可求得的长，最终利用等边三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， 切于点， ， ， 四边形的内角和为， ， ， 又点是上的一点， 是的切线； （2）解：如图，连接， 、是的切线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，切线的性质，垂线的性质，多边形的内角和，切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键． 题型五 三角形内切圆与外接圆综合 1．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）下图是由四个大小不同的等边三角形和三个大小不同的圆组成的图案．已知最大等边三角形的面积为128，则图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的内接圆与外接圆的性质，相似三角形的性质与判定，设等边的外接圆圆心为O，过点O作于D，连接，可证明，，则等边的边长是其内接圆半径的倍，等边的外接圆半径是其内接圆半径的2倍；设最小的圆的半径为，则第二大的圆的半径为，则最大的圆的半径为，则最大的等边三角形的边长为，最小的等边三角形的边长为，则可得最大的等边三角形的边长是最小的等边三角形的边长的8倍，根据最大的等边三角形与最小的等边三角形相似，得到最大的等边三角形与最小的等边三角形的面积之比为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的外接圆圆心为O，过点O作于D，连接， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴等边的边长是其内接圆半径的倍，等边的外接圆半径是其内接圆半径的2倍， 如题干图所示，设最小的圆的半径为，则第二大的圆的半径为，则最大的圆的半径为， ∴最大的等边三角形的边长为，最小的等边三角形的边长为， ∴最大的等边三角形的边长是最小的等边三角形的边长的8倍， ∵最大的等边三角形与最小的等边三角形相似， ∴最大的等边三角形与最小的等边三角形的面积之比为， ∵最大等边三角形的面积为128， ∴图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是2， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为3，则其内切圆半径的长为 ． 【答案】/ 【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心．等腰三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为3， ∴此直角三角形的斜边长为6， 设等腰两条直角边为， 则， ∴， ∴它的内切圆半径为：， 故答案为． 4．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【答案】130 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·上海·期中）已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时， 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接三角形，圆周角定理，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接，先证明，得到，由直角三角形的性质求出，再根据垂径定理求出，，利用勾股定理求出，进而求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接， 则， ∵线段过圆心O，长为2，即是的直径， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 6．（2025·河北唐山·二模）如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 7．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)点是图中的外心，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： ∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 题型一 圆的综合问题 1．（2025·云南临沧·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和平行线的判定定理得到，再利用平行四边形的判定定理解答即可； （3）连接与交于点H，利用垂径定理得到，利用三角形的中位线定理得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：连接，与交于点，如图， 的半径为， ，． 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ，， 为的中位线， ， ． ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的关键． 2．（2025·广东深圳·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心． 为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于G点，G为中点． 请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)的长度为多少公分？ (2)判断与的长度何者较大？请说明理由． 【答案】(1)30公分 (2)，见解析 【分析】（1）由，可求得公分，再根据中点性质即可求得答案； （2）根据为大圆的直径可得公分，再根据勾股定理可得公分，进而可得公分，比较160与的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分， 公分， 为中点， 公分； 答：的长度为30公分． （2）解：，理由如下： 由题意得：大圆的直径公分， 如图3，延长、交于点O，延长、交于点，则公分， （公分）， （公分）， ， ， （公分）， ， ， 即 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，中点性质等，难度适中，构造直角三角形是解题关键． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，AB为的直径，C为上一点，D为弧BC的中点，连接AD、BC相交于E，过点B作的切线交AD的延长线于F； (1)求证：； (2)过点D作，垂足为H，求证：； (3)延长DH交于G，连接CG，交AD于N，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等弧所对应的圆周角相等求出，再根据切线性子定理以及直径所对应的圆周角为直角，推出，从而证明． （2）根据等弧所对应的圆周角相等推出，根据垂径定理推出，利用证明和全等，推出，从而证明． （3）根据等弧所对应的圆周角相等推出，再根据垂径定理逆定理推出，推出，从而证明，再利用圆内接四边形对角互补推出相等，证明和求出长度，再利用正切求出对应比例值，从而求出长度，即可求解的半径． 【详解】（1）证明：连接AC， 为的直径， ， ， 切于点B， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：连接OC，OD交BC于点M， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：连接AC、AG、DC，作的延长线于 ， ， ， 直径， ， ． ． ． ． ． ． 在和中， ． ． ， 在和中， ， ， ． 在中，． ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是圆综合题，涉及到的知识点有圆周角定理、垂径定理、切线的性质、利用正切值概念求边长以及全等三角形的判定．解题的关键能否利用已知条件作对辅助线． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $