30.1 直线与圆·章节练习卷·2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026—2027学年上学期九年级数学章节练习卷 30.1　直线与圆 （人教版（2024）新教材　九年级上册　满分100分　考试用时90分钟） 学校：______________　班级：______________　姓名：______________　学号：______________　得分：______________ 注意事项： 1. 本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上；在试题卷、草稿纸上作答无效。 2. 考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1．已知直线l与⊙O有且只有一个公共点，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离　　　　B．相切 C．相交　　　　D．无法确定 2．云南某公园修建一条环形健身步道，把步道看成⊙O，其半径为400 m。规划新建的一条笔直道路到步道圆心O的距离为300 m，则这条道路所在直线与步道所在圆的位置关系是（　　） A．相离　　　　B．相切 C．相交　　　　D．无法确定 3．火车车轮在笔直的铁轨上行驶。把车轮看成一个圆，铁轨看成一条直线。若车轮的半径为5 dm，则车轮中心到铁轨的距离为（　　） A．4 dm　　　　B．5 dm C．10 dm　　　　D．2.5 dm 4．下列命题中，正确的是（　　） A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．经过半径的外端的直线是圆的切线 C．与圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离小于圆的半径时，这条直线是圆的切线 5．如图，AB切⊙O于点B，OA＝13，OB＝5，则AB的长为（　　） A．8　　　　B．10 C．12　　　　D．13 6．在平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（2，1），半径为1，则直线x＝3与⊙M的位置关系是（　　） A．相交　　　　B．相切 C．相离　　　　D．无法确定 7．如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，点C在直线l上，连接BC。若∠ABC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．55°　　　　B．60° C．65°　　　　D．75° 8．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（4，0）。以原点O为圆心、r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是（　　） A．≤r≤4　　　　B．3≤r≤4 C．＜r≤4　　　　D．≤r＜4 9．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离d满足d2－6d＋8＝0，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交　　　　B．相切 C．相交或相切　　　　D．相离 10．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠APB＝60°，⊙O的半径为2，则弦AB的长为（　　） A．2√3　　　　B．4 C．2√2　　　　D．2√6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．某公园有一个圆形花坛（⊙O），半径为6 m。园丁沿一条直线行走去浇灌花坛，该直线到花坛圆心O的距离为7 m，则园丁行走的直线与花坛的位置关系是________（填“相交”“相切”或“相离”）。 12．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。若∠APB＝50°，则∠AOB＝________°。 13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO交⊙O于点C，连接BC。若∠A＝36°，则∠ABC＝________°。 14．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，直线y＝x＋2与x轴、y轴分别交于点A、B，则直线AB与⊙O的位置关系是________。 15．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B。若PA＝6，∠APB＝60°，则⊙O的半径为________。 三、解答题（本大题共6小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分7分） 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6。以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。 （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求DE的长。 17．（本题满分8分） 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP、OA、OB。已知∠APB＝60°，OP＝6。 （1）求∠AOP的度数； （2）求PA的长； （3）求弦AB的长。 18．（本题满分8分） 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B。 （1）求点A、B的坐标； （2）判断直线AB与以原点O为圆心、半径为2√2的圆的位置关系； （3）若直线AB与⊙O相切，求切点P的坐标。 19．（本题满分10分） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点O在AB边上，以点O为圆心、OB为半径的圆与AC相切于点D。 （1）求证：BD平分∠ABC； （2）求⊙O的半径； （3）设⊙O与AB的另一个交点为E，求AE的长。 20．（本题满分10分） 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，OP交AB于点M。已知∠APB＝90°，PA＝4。 （1）求证：OP⊥AB，且AM＝BM； （2）求⊙O的半径； （3）求AB的长。 21．（本题满分12分） 如图，PA是⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点B、C（点B在点P与点O之间），连接AB、AC。 （1）求证：∠PAB＝∠ACB； （2）若∠APB＝30°，PB＝4，求⊙O的半径； （3）求AB的长。 参考答案与评分标准 说明：解答题中，如学生用其他正确方法解答，参照评分标准酌情给分。作图题以所作图形正确为准。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．B　　2．C　　3．B　　4．C　　5．C 6．B　　7．C　　8．A　　9．C　　10．A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．相离 12．130 13．27 14．相交 15．2√3 三、解答题（共55分） 16．解：（1）如图，连接OD。 ∵ OB＝OD，∴ ∠OBD＝∠ODB。 ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB，即∠OBD＝∠ACB， ∴ ∠ODB＝∠ACB，∴ OD∥AC。 ∵ DE⊥AC，∴ DE⊥OD。又OD是⊙O的半径， ∴ DE是⊙O的切线。………… 3分 （2）∵ AB是⊙O的直径，点D在⊙O上， ∴ ∠ADB＝90°，即AD⊥BC。 ∵ AB＝AC，∴ BD＝DC＝BC＝3。 在Rt△ABD中，AD＝√(AB2－BD2)＝√(25－9)＝4。 ∵ S△ADC＝DC·AD＝AC·DE， ∴ DE＝＝＝， 即DE的长为。………… 4分 17．解：（1）∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴ PA＝PB，∠APO＝∠APB＝30°。 在Rt△AOP中，∠OAP＝90°， ∴ ∠AOP＝90°－∠APO＝60°。………… 2分 （2）在Rt△AOP中，∠APO＝30°，OP＝6， ∴ OA＝OP＝3（30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴ PA＝√(OP2－OA2)＝√(36－9)＝3√3。………… 3分 （3）∵ PA＝PB，OA＝OB， ∴ 点P、O都在线段AB的垂直平分线上， ∴ OP垂直平分AB，∠AOB＝2∠AOP＝120°。 过点O作OM⊥AB于点M，则∠AOM＝60°， ∴ AM＝OA·sin60°＝3×＝， ∴ AB＝2AM＝3√3，即弦AB的长为3√3。………… 3分 18．解：（1）在y＝x＋4中，令y＝0，得x＝－4；令x＝0，得y＝4， ∴ A（－4，0），B（0，4）。………… 2分 （2）在Rt△AOB中，AO＝BO＝4，AB＝√(AO2＋BO2)＝4√2。 设点O到直线AB的距离为d，由等面积法， S△AOB＝AO·BO＝AB·d， ∴ d＝＝＝＝2√2。 ∵ ⊙O的半径为2√2，d＝2√2＝r， ∴ 直线AB与⊙O相切。………… 3分 （3）由（2）知直线AB与⊙O相切，设切点为P，则OP⊥AB。 ∵ 直线AB的斜率为1，且OP过原点， ∴ 直线OP的表达式为y＝－x。 联立y＝x＋4与y＝－x，解得x＝－2，y＝2， ∴ 切点P的坐标为（－2，2）。………… 3分 19．解：（1）连接OD。∵ ⊙O与AC相切于点D， ∴ OD⊥AC。又∠ACB＝90°，即BC⊥AC， ∴ OD∥BC，∴ ∠ODB＝∠CBD。 ∵ OB＝OD，∴ ∠OBD＝∠ODB， ∴ ∠OBD＝∠CBD，即BD平分∠ABC。………… 3分 （2）在Rt△ABC中，AB＝√(AC2＋BC2)＝√(64＋36)＝10。 设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，AO＝10－r。 ∵ OD∥BC，∴ △AOD∽△ABC， ∴ ＝，即＝， 解得r＝。 ∴ ⊙O的半径为。………… 4分 （3）∵ 点E是⊙O与AB的另一个交点， ∴ OE＝OB＝r，点E在点A与点O之间， ∴ AE＝AO－OE＝(10－)－＝， 即AE的长为。………… 3分 20．解：（1）∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴ PA＝PB。又OA＝OB， ∴ 点P、O都在线段AB的垂直平分线上， ∴ PO是线段AB的垂直平分线， ∴ OP⊥AB，且AM＝BM。………… 4分 （2）∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴ OA⊥PA，且∠APO＝∠APB＝45°。 在Rt△AOP中，∠AOP＝45°，∴ OA＝PA＝4， ∴ ⊙O的半径为4。………… 3分 （3）由（2）知OA＝OB＝4，且∠AOP＝45°， ∴ ∠AOB＝2∠AOP＝90°。 在Rt△AOB中，AB＝√(OA2＋OB2)＝√(16＋16)＝4√2， 即AB的长为4√2。………… 3分 21．解：（1）连接OA。∵ PA是⊙O的切线，A为切点， ∴ OA⊥PA，即∠OAP＝90°， ∴ ∠PAB＋∠OAB＝90°。 ∵ OA＝OB，∴ ∠OAB＝∠OBA＝∠ABC， ∴ ∠PAB＝90°－∠ABC。 ∵ 点B、C在⊙O上，且O在BC上，∴ BC是⊙O的直径， ∴ ∠BAC＝90°，∴ ∠ACB＝90°－∠ABC， ∴ ∠PAB＝∠ACB。………… 4分 （2）设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OP＝OB＋PB＝r＋4。 ∵ ∠APB＝30°，即∠APO＝30°，在Rt△AOP中∠OAP＝90°， ∴ OP＝2OA＝2r， ∴ 2r＝r＋4，解得r＝4， ∴ ⊙O的半径为4。………… 4分 （3）在Rt△AOP中，∠APO＝30°，∴ ∠AOP＝60°。 ∵ 点B在点P与点O之间，即点B在射线OP上， ∴ ∠AOB＝∠AOP＝60°。 又OA＝OB＝4， ∴ △AOB是等边三角形， ∴ AB＝OA＝4。………… 4分 附：双向细目表（教师参考） 题号 题型 考查内容 能力层级 分值 预估难度 1 选择题 直线与圆的位置关系（公共点个数） 理解 3 易 2 选择题 d与r的大小关系判定位置关系（情境） 掌握 3 易 3 选择题 相切时d＝r（性质应用） 掌握 3 易 4 选择题 切线的判定方法辨析 理解 3 易 5 选择题 切线的性质与勾股定理 运用 3 易 6 选择题 坐标系中直线与圆的位置关系 运用 3 中 7 选择题 切线的性质与直径所对圆周角 综合 3 中 8 选择题 圆与线段有公共点（距离与半径） 综合 3 中偏难 9 选择题 位置关系与一元二次方程（分类） 综合 3 中 10 选择题 切线长定理与弦长的计算 综合 3 中 11 填空题 d与r的大小关系判定位置关系（情境） 掌握 3 易 12 填空题 切线长定理与四边形内角和 运用 3 易 13 填空题 切线的性质与等腰三角形 综合 3 中 14 填空题 坐标系中直线与圆的位置关系 运用 3 中 15 填空题 切线长定理与直角三角形边角关系 综合 3 中 16 解答题 切线的判定（连半径证垂直）与等面积法 综合 7 中 17 解答题 切线长定理与直角三角形计算 综合 8 中 18 解答题 一次函数与直线和圆的位置关系 综合 8 中 19 解答题 切线性质、相似三角形与线段计算 综合 10 中偏难 20 解答题 切线长定理、垂直平分线与计算 综合 10 中 21 解答题 切线性质、圆周角定理与综合计算 综合 12 难 注：难度按分值统计——基础约28分，中等约47分，中偏难约13分，提高约12分，梯度合理，适合章节练习。 学科网（北京）股份有限公司 $