精品解析：山西大同市博盛中学2026-2027学年第一学期九年级9月数学学情自测试卷

九年级数学 作答时间：120分钟 试题满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂壶齐名，有“南宜兴，北平定”的美誉．某生产商生产某款平定紫砂壶，这款茶壶7月份的产量为100套，9月份的产量为121套．设该生产商这款茶壶产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随增大而减小 8. 是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数和二次函数（为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数是_______． 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，则的长为_______． 13. 某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，如图，三次实验的最高熔点恰好在同一抛物线上，则该抛物线的顶点坐标为_________． 14. 位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 15. 如图，在矩形中，，点在边上，，动点，分别在边和上，且，点在上，则的面积的最大值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答下列问题： （1）用适当的方法解方程：． （2）下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，第一步 方程两边同时除以，得，第二步 移项、合并同类项，得．第三步 ①以上解方程的过程，从第___________步开始出错，错误的原因是___________． ②直接写出正确的解． 17. 受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度．在某次训练中，他将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）满足，求足球从踢出到落地的时间． 18. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 （1）观察表格，二次函数的顶点坐标为___________，的值为___________． （2）求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 19. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根为某直角三角形的两条直角边长，且该直角三角形的斜边长为，周长为，求这个直角三角形的面积． 20. 项目式学习 项目背景：某校有一块劳动实践基地，综合实践小组对该基地进行了调查与测算，形成了如下活动报告． 项目主题 劳动实践基地的调查与测算 驱动任务 测算实践基地的相关数据 活动过程 数据说明：劳动实践基地一侧依托围墙，且围墙长为，基地其余外围边界与内部隔断全部使用隔离带搭建，所有隔离带总长度为．整块基地被分割为三块矩形区域：①号地块为果蔬育苗区，②号地块为果蔬种植区，③号地块为果实采收分拣区．其中，．②号果蔬种植区与③号果实采收分拣区的面积之和为． 图示： 交流展示 请根据上述数据，计算的长． 21. 阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： （1）利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． （2）小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 22. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 23. 综合与探究 如图，在等腰直角三角形中，分别为边和边上的动点，，设的长为． （1）如图1，若四边形的面积为150，求的值． （2）如图2，过点作于点，过点作于点． ①当取何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？ ②将沿翻折得到与四边形重叠部分的面积记为S，当S的值为40时，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 作答时间：120分钟 试题满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、 是一元一次方程，不符合； B、 含有两个未知数，不符合； C、化简 得 ，是一元二次方程，符合； D、化简 得 ，是一元一次方程，不符合． 2. 将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由抛物线平移规律：“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2向下平移3个单位可得到函数， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键． 3. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，即， 解得． 5. 平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂壶齐名，有“南宜兴，北平定”的美誉．某生产商生产某款平定紫砂壶，这款茶壶7月份的产量为100套，9月份的产量为121套．设该生产商这款茶壶产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的增长率问题，核心规律为：若初始基数为，每期平均增长率为，经过期后数值为，则满足公式． 【详解】解：7月产量是初始基数套，月平均增长率为， 从7月到9月间隔2个月：8月产量为套，9月产量在8月基础上再次增长，即， ∴列式为． 6. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出、的值，代入即可得解． 【详解】解：对于方程，由根与系数的关系得，， ∴ ． 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质判断各选项． 【详解】解：在中，，抛物线开口向上，A正确； 顶点坐标为，对称轴为直线，B错误，C正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小，D正确． 8. 是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得. ∵ ， ∴ . 9. 如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的对称性可确定另一根的范围，再由题意进一步缩小范围即可． 【详解】解：， 对称轴为， 方程的一个根在1和之间， 另一个根在和之间， 当时，， 这个根在和之间， 这个根更接近． 10. 一次函数和二次函数（为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的开口方向和对称轴位置确定a、b的符号，进而得到一次函数图象经过的象限，即可得出答案． 【详解】解：当二次函数的图象开口向上，对称轴位于y轴右侧时，，，即， 此时一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选项A正确，符合题意，选项C、D错误，不符合题意； 当二次函数的图象开口向下，对称轴位于y轴右侧时，，，即， 此时一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选项B错误，不符合题意． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程一般形式，确定对应一次项系数即可得到结果． 【详解】解：将原方程整理为标准形式得， 因此可得该方程的一次项系数为． 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据抛物线与轴交点的特征求出点的坐标，再计算原点到点的距离，得到的长． 【详解】解：∵ 轴上点的横坐标为， ∴ 将代入， 得， ∴ 点的坐标为， ∵ 为坐标原点，坐标为， ∴ ． 13. 某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，如图，三次实验的最高熔点恰好在同一抛物线上，则该抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图象根据抛物线的性质即可解答． 【详解】解：三点恰好在同一抛物线上，点和点关于直线对称， 该抛物线的顶点坐标为． 14. 位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设函数的解析式为，由函数图象可得，初始水面宽且抛物线关于轴对称，可得初始水面与抛物线的两个交点的横坐标为和，由函数图象可得，抛物线经过和，根据待定系数法，求出抛物线解析式；根据水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即，求出，即可求解． 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， ∴抛物线的解析式为：， 由函数图象和题意可得，抛物线经过和， ∴ 解得：， ∴函数解析式为：； ∵水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即， ∴， 解得：； ∴此时水面宽度为：． 15. 如图，在矩形中，，点在边上，，动点，分别在边和上，且，点在上，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，设，根据矩形的性质，求出，根据等腰三角形的性质，推出，根据平行线的性质，推出，根据勾股定理求出，，根据三角形的面积公式，得到，根据函数的最值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，设． 四边形为矩形， ，，， ． ， ， ． ， ， ， 由勾股定理得． ， ， ， ，由勾股定理， ， 当时，存在最大值，最大值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答下列问题： （1）用适当的方法解方程：． （2）下面是小宣解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：等号左边因式分解，得，第一步 方程两边同时除以，得，第二步 移项、合并同类项，得．第三步 ①以上解方程的过程，从第___________步开始出错，错误的原因是___________． ②直接写出正确的解． 【答案】（1）， （2）①二；方程两边同时除以，需要满足． ②，． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 ①略 ②解：， ， ， ， ， ，． 17. 受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度．在某次训练中，他将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）满足，求足球从踢出到落地的时间． 【答案】足球从踢出到落地的时间为 【解析】 【详解】解：足球落地时， 由题意得， 解得（舍去），． 答：足球从踢出到落地的时间为． 18. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 （1）观察表格，二次函数的顶点坐标为___________，的值为___________． （2）求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】（1）；0 （2）；图象如图所示． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性求解即可； （2）利用待定系数法求二次函数表达式，再将各点在平面直角坐标系中描出来，用平滑曲线顺次连接． 【小问1详解】 解：观察表格可知，和时，对应的值都是3， ∴抛物线的对称轴为直线； 表格中时， ∴顶点坐标为； 根据二次函数的对称性，到对称轴的距离为，和它对称的点是， 已知时， ∴时的函数值． 【小问2详解】 解：已知抛物线顶点为，设二次函数的顶点式为（）， 把表格中代入解析式： ， 解得， 展开得解析式： 图像绘制方法： 在坐标系中先描出表格给出的点：、、、、、，再用平滑的曲线顺次连接这些点，即可得到开口向下的抛物线． 19. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根为某直角三角形的两条直角边长，且该直角三角形的斜边长为，周长为，求这个直角三角形的面积． 【答案】6 【解析】 【分析】设关于的一元二次方程的两个不相等的实数根为，，根据根与系数的关系得出，，根据直角三角形的斜边长及周长得出，即可求出，进而得出，即可得出直角三角形的面积． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个不相等的实数根为，， ∴，， ∵，为某直角三角形的两条直角边长，直角三角形的斜边为，周长为， ∴， ∴ 解得， ， 直角三角形的面积为． 20. 项目式学习 项目背景：某校有一块劳动实践基地，综合实践小组对该基地进行了调查与测算，形成了如下活动报告． 项目主题 劳动实践基地的调查与测算 驱动任务 测算实践基地的相关数据 活动过程 数据说明：劳动实践基地一侧依托围墙，且围墙长为，基地其余外围边界与内部隔断全部使用隔离带搭建，所有隔离带总长度为．整块基地被分割为三块矩形区域：①号地块为果蔬育苗区，②号地块为果蔬种植区，③号地块为果实采收分拣区．其中，．②号果蔬种植区与③号果实采收分拣区的面积之和为． 图示： 交流展示 请根据上述数据，计算的长． 【答案】 【解析】 【详解】解：设的长为，则， ， 由题意得， 即， 整理得， 解得． ， ， ， 的长是． 21. 阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： （1）利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． （2）小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①如图，点为所求． ② 【解析】 【分析】（1）根据题意确定、，以及确定、、的值，在中，根据勾股定理得的值，从而确定的值； （2）①作线段的垂直平分线，结合直径所对的圆周角是确定直角顶点的位置； ②根据题意确定、、、、的值，在中，根据勾股定理得到关于的一元二次方程，解方程，结合实际意义得到的值． 【小问1详解】 解：， ，，且 ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 整理得, 解得：，（舍）， ∴． 22. 综合与实践 【问题情境】：投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）【建立模型】求抛物线的解析式． （2）【应用分析】若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离的长）． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把代入，求出，即可求出抛物线的解析式； （2）令，得出，解方程求出符合题意的，根据即可得出答案； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为，由（2）可知，代入，解方程可求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度． ∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为，， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∵壶口的宽度， ∴． 【小问3详解】 解：∵仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变， ∴设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 把代入得，， 解得， ∴再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线的解析式为， 当时，，即， ∴时，箭刚好由点处擦边投入壶中， 由（2）可知，时，箭刚好由点处擦边投入壶中， ∴． 23. 综合与探究 如图，在等腰直角三角形中，分别为边和边上的动点，，设的长为． （1）如图1，若四边形的面积为150，求的值． （2）如图2，过点作于点，过点作于点． ①当取何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？ ②将沿翻折得到与四边形重叠部分的面积记为S，当S的值为40时，直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）①当时，四边形的面积最大，最大值为100；②的值为或 【解析】 【分析】（1）根据列出方程即可求解； （2）①证明四边形是矩形，易得是等腰直角三角形，由勾股定理求得，再求出，即可得四边形的面积关于x的函数关系式，由二次函数的性质即可求解； ②分以下两种情况：（i）当时；（ii）当时；根据重叠面积为40，建立关于x的方程并求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 整理得， 解得（负值已舍去）． 【小问2详解】 解：①， ， ． ， ， 四边形为平行四边形． ； 四边形为矩形． ∵， ∴， 的长为，则． 由勾股定理得． 设矩形的面积为， 则， 当时，四边形的面积最大，最大值为100． ②分以下两种情况： （i）当时，如图3，点在内部（含在边上）， 此时重叠面积，解得（负值舍去）． ， 符合条件． （ii）当时，如图4，点在的外部． 设此时的直角边分别与交于点和点， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 解得（舍去），． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $