3.5 一元一次不等式组【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区）

3.5 一元一次不等式组【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节常见考查方式有：判断一个数是不是不等式组的解、理解解集是各不等式解集的公共部分；按「先分别解、再取公共部分」解一元一次不等式组，并把解集在数轴上规范表示（端点虚实、方向）；求不等式组的整数解（个数、全部整数解、最大 / 最小整数解）；由「有解 / 无解」或「整数解恰有 n 个」反求字母的取值范围，由解集区间反求字母的值；由解集求相关代数式（如 2x−1）的取值范围；以及用不等式组解决分配、生产安排、租车方案等实际问题，在若干限制下数出可行方案并比较最优。命题趋势上，以小题考查「公共部分」与端点虚实的判断，以中档题考查完整解组与数轴表示的规范性，以压轴题考查临界点取舍、由解集反求参数与方案设计，「解完忘取公共部分」「公共部分找错端点」「临界点该不该取等号」「分配问题里隐含的『至少分到一本』漏列」是本节最高频的失分点。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．由不等式 与 组成的不等式组，去分母后得到的式子是（　　） A． 与 　B． 与 C． 与 　D． 或 【答案】A 去分母就是把第一个不等式的两边同乘分母 2：左边 ，右边 ，得 ； 第二个不等式 没有分母，保持原样不动。 B 错在右边的 1 没有乘 2（去分母漏乘不含分母的项）； C 错在把没有分母的第二式的右边也乘了 2 —— 去分母只处理有分母的那一个； D 把「与（并且）」写成了「或」—— 不等式组里的两个不等式要同时满足，是「并且」的关系。故选 A。 2．如图，数轴上表示的是某个不等式组的解集，则这个不等式组是（　　） A． 与 　B． 与 C． 与 　D． 与 【答案】D 由图可知，解集是从 1 到 4 之间的一段： 1 处是实心点，表示解集包含 1，即 ； 4 处是空心圈，表示解集不包含 4，即 。 所以组成这个不等式组的两个不等式是 与 ，解集为 。故选 D。 A 的两个端点都是空心，与图中 1 处的实心点不符； B 的 4 处应是实心，与图中空心圈不符； C 的两个不等式方向相同，公共部分是 ，根本不是一段区间。 这类题就盯两处：端点画在哪、是实心还是空心。 3．下列不等式组中，解集是 的是（　　） A．由 与 组成　B．由 与 组成 C．由 与 组成　D．由 与 组成 【答案】B 把每个选项的两个不等式分别解出来，再看公共部分： A： 与 ，解集是 ，左端不对； B： 与 ，解集是 ，符合； C： 与 ，大数在前、小数在后，公共部分不存在，无解； D： 与 ，解集是 ，左端不对。 故选 B。解这类题要逐个把公共部分写出来对照，特别留意左端是 −1 还是 −2、−0.5。 4．由 与 组成的不等式组的解集是（　　） A．　B．　C．　D．无解 【答案】B 分别解出两个不等式： ：两边都减去 ，得 ，再两边都加 1，得 ； ：两边都减去 ，得 ，即 。 两个解集都向右（都是「大于」），公共部分取较大的那个界：。 故选 B。口诀「大大取大」—— 两个都大时，取更大的那个。 易错点：选 A 的同学只看了第一个不等式的解集，忘记与第二个求公共部分。 5．由 、 与 组成的不等式组的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 三个不等式分别解出来： 得 ； 得 ； 得 。 取三个解集的公共部分：可以先把前两个合起来得 ， 再看 —— 里的每一个数都满足 ，所以公共部分不变，解集就是 。故选 B。 小技巧：三个解集里，「向右的取最大的界，向左的取最小的界」；如果一个界被另一个完全盖住（如 被 盖住），它就不起作用。 6．关于 的不等式组由 与 组成。若它的整数解恰有 3 个，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 由 知整数解从 0 开始：0，1，2，…；由 知解集在 a 的左边截断。 「整数解恰有 3 个」就是 0，1，2 这三个： 　2 必须是解 → （若 ，则 ，2 取不到）； 　3 必须不是解 → （若 ，如 3.5，则 会把 3 包含进去）。 合起来得 。故选 A。 临界点检验： 时解集 ，整数解 0，1，2，恰 3 个，符合； 时 ，只有 0，1 两个，不符合 —— 所以左端不取等号、右端取。 7．下列不等式组中，解集为空（没有解）的是（　　） A．由 与 组成　B．由 与 组成 C．由 与 组成　D．由 与 组成 【答案】D 分别解出每个选项的公共部分： A： 与 ，公共部分 ，有解； B： 与 ，公共部分 ，有解； C： 与 ，公共部分 ，有解； D： 与 ，一个要求比 2 大、一个要求比 −1 小，没有任何数能同时满足 —— 公共部分不存在，解集为空。故选 D。 判断有无解，就看两个界：向右的界若到了向左的界的右边（或相等），公共部分就被挤没了，这就是口诀里的「大大小小找不到」。 8．若由 与 组成的不等式组的解集是 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 分别解出两个含字母的不等式： ：移项得 ，两边都除以正数 2，得 ； ：得 。 所以不等式组的解集是 。 题目说解集是 ，对照右端点：，所以 。故选 A。 检验： 时， 即 ，与 合起来正是 。 9．若 满足由 与 组成的不等式组，则代数式 的取值范围是（　　） A．　B． C．　D． 【答案】A 先解出不等式组： 与 ，即 。 求 的范围，就是把这段区间「整体变换」： 各端点同乘正数 2（方向不变），得 ； 再各端点都减 1，得 。故选 A。 B 错在只对左端做了平移、忘了同乘 2； C 错在右端先减 1 再乘 2，顺序错了； D 错在左端直接照抄了 的下界再减 1。 关键：变换要作用在每一个端点上，顺序是「先乘除、后加减」。 10．对于实数 ，，定义运算 a☆b = a+2b，例如 3☆1 = 3+2×1 = 5。则由 ☆1 与 ☆(−1) 组成的不等式组的解集是（　　） A．　B．　C．　D．无解 【答案】B 按定义 a☆b = a+2b 把两个式子翻译成普通不等式： ☆1，即 ，得 ，即 ； ☆(−1)，即 ，得 ，即 。 取公共部分：。故选 B。 新定义题的第一步永远是「照抄题给法则、把式子翻译成普通代数式」，本题特别要注意 −1 也要按法则乘 2，得 −2，漏掉负号就会把第二个不等式解成 ，从而错选 D。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．解不等式组时，先分别解出每个不等式，再取它们的公共部分。 (1) 若由不等式 ① 得 ，由不等式 ② 得 ，则不等式组的解集是　　　　　； (2) 若由不等式 ① 得 ，由不等式 ② 得 ，则不等式组的解集是　　　　　。 【答案】(1) ；(2) 无解 (1) 与 ，一个向右、一个向左，公共部分夹在中间：。这就是「大小小大中间找」。 (2) 与 ，向右的界（5）跑到了向左的界（2）的右边，没有任何数能既大于 5 又小于 2，公共部分不存在，所以不等式组无解。这就是「大大小小找不到」。 可以把两个界画在数轴上：两条射线若没有重叠的一段，组就无解。 填空时无解要写「无解」两个字，不能画斜杠或留空。 12．若 是由 与 组成的不等式组的解，则 的取值范围是　　　　　。 【答案】 「 是不等式组的解」= 3 同时满足两个不等式： 代入 ：，恒成立，不用管； 代入 ：，即 。 所以 的取值范围是 。 反过来检验：取 ，不等式组为 与 ， 且 ，3 确实是解；取 ，不等式组为 与 ，3 不满足 ，不是解 —— 所以 不行，等号取不到。 这类题的思路：把已知的数代进每一个不等式，逐个翻译成关于字母的条件。 13．由 与 组成的不等式组，其解集在数轴上表示如图，则它的整数解共有　　　　　个。 【答案】5 分别解出两个不等式： ：移项得 ，两边都除以正数 2，得 ； ：移项得 。 所以解集是 ，正是图中那段：−2 处空心（取不到）、3 处实心（取得到）。 在 里数整数：−1，0，1，2，3，共 5 个。 提醒：−2 取不到，不能数进去；3 取得到，必须数进去 —— 端点的虚实直接决定第一个和最后一个整数算不算。 14．若由 与 组成的不等式组无解，则 的取值范围是　　　　　。 【答案】 先把两个解集画在数轴上想： 向右、 向左。 「有解」要求向右的界在向左的界的左边，即 ，此时公共部分是 ； 反过来「无解」就是 。 特别要看清临界点： 时，不等式组为 与 ，没有任何数能既大于 3 又小于 3，确实无解 —— 所以等号要取到。 这是「无解」与「有解」的分界线，检验临界点是最好的习惯。 15．把一批书分给几名同学，若每人分 4 本，则剩余 9 本；若每人分 6 本，则最后一名同学分到的书不足 3 本。则学生共有　　　　　名。 【答案】7 设学生有 名，则书的总数是 本。 按每人 6 本分时，前 名各得 6 本，最后一名分到 本。 「不足 3 本」：，解得 ； 最后一名同学至少分到 1 本（不然就分不到了）：，两边都减 15 得 ，两边都除以负数 并改变方向，得 。 两个方向合起来：，学生数是整数，所以 ，即学生共有 7 名。 检验：书共 本；按每人 6 本分，前 6 名得 36 本，最后一名分到 1 本，确实不足 3 本。 本题的第二个不等式（至少分到一本）是题目没明说的隐含条件，漏列它就只能得到 ，人数定不下来 —— 这是本题最大的坑。 16．若由 与 组成的不等式组的解集是 ，则 的取值范围是　　　　　。 【答案】 先解第一个不等式：，移项（两边都减去 、加上 1）得 ，即 （两边都除以 时改变了方向，得到的是「小于」）。 于是两个解集都向左： 与 。 两个同向左的解集取公共部分，取较小的那个界（靠里的）： 组解集是 ，说明 这条必须「罩得住」， 即 ，解得 ，两边都除以负数 并改变方向，得 。 检验： 时第一个不等式即 ，组解集 ，符合； 时第一个不等式为 ，组解集变成 ，不符合。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）解由 与 组成的不等式组，并写出它的所有整数解。 (1) 解这个不等式组； (2) 写出它的所有整数解。 【答案】(1) ；(2) 整数解为 3，4 (1) 分别解两个不等式： ：移项得 ，两边都除以正数 3，得 ； ：两边都乘正数 2，得 。 取公共部分，得不等式组的解集为 。 (2) 在 中的整数有 3 和 4，所以整数解为 3，4。 提醒：2 取不到（空心），4 取得到（实心），所以 2 不算、4 要算 —— 整数解是 3，4，不是 2，3，4。 18．（7 分）解由 与 组成的不等式组，并把解集在数轴上表示出来（画在草稿上即可，说明端点的虚实与方向）。 (1) 解这个不等式组； (2) 说明它的解集在数轴上如何表示（端点是实心还是空心、方向朝哪边）。 【答案】(1) ；(2) 端点 2 处画实心点，从 2 出发向左表示 (1) 分别解两个不等式： ：两边都减 3，得 ，两边都除以负数 ，改变方向，得 ； ：两边都减去 ，得 ，两边都加 3，得 ，即 。 取公共部分： 已被 完全包含，所以不等式组的解集是 。 (2) 含等号，端点 2 处画实心点，解集是从 2 出发向左的部分。 本题第一个不等式最容易错：两边除以 时忘了改变方向，就会错解成 ，与 合并成 —— 全错。 19．（8 分）已知关于 、 的方程组由 与 组成，它的解满足 且 。 (1) 用含 的代数式表示这个方程组的解； (2) 求 的取值范围。 【答案】(1) ，；(2) (1) 两个方程相加，得 ，即 ； 两个方程相减，得 ，即 。 (2) 解要同时满足 且 ，于是组成不等式组： ，解得 ； ，解得 。 两个界都向右，取较大的：。 所以 的取值范围是 。 检验： 时，，，符合； 时，，不符合 —— 真正起作用的是 这一条，别忘了它才是较大的界。 20．（8 分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共 20 件，生产一件甲产品需要 3 小时，生产一件乙产品需要 5 小时，预计总工时不少于 70 小时且不超过 80 小时。两种产品都要生产。 (1) 设生产甲产品 件，列出 应满足的不等式组； (2) 甲产品最多生产多少件？此时乙产品生产多少件？ 【答案】(1) （且 ）；(2) 甲最多 15 件，此时乙 5 件 (1) 生产甲 件，则乙产品 件，总工时为 小时。 由「不少于 70 且不超过 80」得 ， 它可以拆成两个不等式组成的不等式组： 与 。 （另外「两种产品都要生产」还要求 。） (2) 化简总工时：，于是 ， 由左边：，两边都除以负数 并改变方向，得 ； 由右边：……注意这里两边都除以 并改变方向后是 ？——不，是 ，即 ，两边都除以 并改变方向，得 。 所以 ，甲产品最多生产 15 件，此时乙产品生产 件。 检验：甲 15 件、乙 5 件的总工时 小时，在 内，符合。 21．（8 分）请写出一个解集为 的不等式组（组成它的每个不等式都要写出），并解出你写的不等式组加以验证。 (1) 写出这个不等式组； (2) 解出你写的不等式组，验证它的解集确实是 。 【答案】答案不唯一，如由 与 组成的不等式组 (1) 示例：由 与 组成的不等式组。 (2) 的解集是 ； 的解集就是 ； 取公共部分得 ，与要求一致。 构造思路：先看目标区间的两端 —— 左端 −2 是空心（取不到），就配一个解集为 的不等式（如 ）； 右端 1 是实心（取得到），就配一个解集为 的不等式（如 原样）。 答案不唯一：左端也可以用 、 等，右端也可以用 、 等，只要解出来恰好是 就都对。 常见错误：把左端配成 （端点虚实弄反），或者两个不等式的解集没有公共部分。 22．（8 分）某校组织 210 名师生参加研学活动，租用甲、乙两种客车共 5 辆。甲车每辆载 50 人，租金 900 元；乙车每辆载 30 人，租金 600 元。要求所有师生都有座位，且总租金不超过 4200 元。 (1) 设租用甲车 辆，列出 应满足的不等式组，并写出 的取值范围； (2) 共有哪几种租车方案？哪种方案租金最低？最低租金是多少元？ 【答案】(1) ；(2) 2 种：甲 3 辆乙 2 辆、甲 4 辆乙 1 辆；甲 3 辆乙 2 辆最省，为 3900 元 (1) 租甲车 辆，则乙车 辆。 座位够坐：，化简得 ，即 ，解得 ； 租金不超：，化简得 ，即 ，解得 。 所以 ，车辆数为整数， 可取 3 或 4。 (2) 两种方案： 　方案一：甲 3 辆、乙 2 辆，座位 个，够坐；租金 元； 　方案二：甲 4 辆、乙 1 辆，座位 个，够坐；租金 元。 租金 ，随 增大而增大，所以 时最低。 答：共有 2 种租车方案；租甲车 3 辆、乙车 2 辆时租金最低，为 3900 元。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 一元一次不等式组【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节常见考查方式有：判断一个数是不是不等式组的解、理解解集是各不等式解集的公共部分；按「先分别解、再取公共部分」解一元一次不等式组，并把解集在数轴上规范表示（端点虚实、方向）；求不等式组的整数解（个数、全部整数解、最大 / 最小整数解）；由「有解 / 无解」或「整数解恰有 n 个」反求字母的取值范围，由解集区间反求字母的值；由解集求相关代数式（如 2x−1）的取值范围；以及用不等式组解决分配、生产安排、租车方案等实际问题，在若干限制下数出可行方案并比较最优。命题趋势上，以小题考查「公共部分」与端点虚实的判断，以中档题考查完整解组与数轴表示的规范性，以压轴题考查临界点取舍、由解集反求参数与方案设计，「解完忘取公共部分」「公共部分找错端点」「临界点该不该取等号」「分配问题里隐含的『至少分到一本』漏列」是本节最高频的失分点。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．由不等式 与 组成的不等式组，去分母后得到的式子是（　　） A． 与 　B． 与 C． 与 　D． 或 2．如图，数轴上表示的是某个不等式组的解集，则这个不等式组是（　　） A． 与 　B． 与 C． 与 　D． 与 3．下列不等式组中，解集是 的是（　　） A．由 与 组成　B．由 与 组成 C．由 与 组成　D．由 与 组成 4．由 与 组成的不等式组的解集是（　　） A．　B．　C．　D．无解 5．由 、 与 组成的不等式组的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 6．关于 的不等式组由 与 组成。若它的整数解恰有 3 个，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．下列不等式组中，解集为空（没有解）的是（　　） A．由 与 组成　B．由 与 组成 C．由 与 组成　D．由 与 组成 8．若由 与 组成的不等式组的解集是 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 9．若 满足由 与 组成的不等式组，则代数式 的取值范围是（　　） A．　B． C．　D． 10．对于实数 ，，定义运算 a☆b = a+2b，例如 3☆1 = 3+2×1 = 5。则由 ☆1 与 ☆(−1) 组成的不等式组的解集是（　　） A．　B．　C．　D．无解 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．解不等式组时，先分别解出每个不等式，再取它们的公共部分。 (1) 若由不等式 ① 得 ，由不等式 ② 得 ，则不等式组的解集是　　　　　； (2) 若由不等式 ① 得 ，由不等式 ② 得 ，则不等式组的解集是　　　　　。 12．若 是由 与 组成的不等式组的解，则 的取值范围是　　　　　。 13．由 与 组成的不等式组，其解集在数轴上表示如图，则它的整数解共有　　　　　个。 14．若由 与 组成的不等式组无解，则 的取值范围是　　　　　。 15．把一批书分给几名同学，若每人分 4 本，则剩余 9 本；若每人分 6 本，则最后一名同学分到的书不足 3 本。则学生共有　　　　　名。 16．若由 与 组成的不等式组的解集是 ，则 的取值范围是　　　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）解由 与 组成的不等式组，并写出它的所有整数解。 (1) 解这个不等式组； (2) 写出它的所有整数解。 18．（7 分）解由 与 组成的不等式组，并把解集在数轴上表示出来（画在草稿上即可，说明端点的虚实与方向）。 (1) 解这个不等式组； (2) 说明它的解集在数轴上如何表示（端点是实心还是空心、方向朝哪边）。 19．（8 分）已知关于 、 的方程组由 与 组成，它的解满足 且 。 (1) 用含 的代数式表示这个方程组的解； (2) 求 的取值范围。 20．（8 分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共 20 件，生产一件甲产品需要 3 小时，生产一件乙产品需要 5 小时，预计总工时不少于 70 小时且不超过 80 小时。两种产品都要生产。 (1) 设生产甲产品 件，列出 应满足的不等式组； (2) 甲产品最多生产多少件？此时乙产品生产多少件？ 21．（8 分）请写出一个解集为 的不等式组（组成它的每个不等式都要写出），并解出你写的不等式组加以验证。 (1) 写出这个不等式组； (2) 解出你写的不等式组，验证它的解集确实是 。 22．（8 分）某校组织 210 名师生参加研学活动，租用甲、乙两种客车共 5 辆。甲车每辆载 50 人，租金 900 元；乙车每辆载 30 人，租金 600 元。要求所有师生都有座位，且总租金不超过 4200 元。 (1) 设租用甲车 辆，列出 应满足的不等式组，并写出 的取值范围； (2) 共有哪几种租车方案？哪种方案租金最低？最低租金是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $