3.3 一元一次不等式及其解法【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区）

3.3 一元一次不等式及其解法【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节常见考查方式有：判断一个式子是不是一元一次不等式（含「由一元一次倒推参数」的含参讨论）；按「去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1」五步解不等式，并说出每一步依据的不等式基本性质；把解集在数轴上规范表示，或由数轴读出解集；求解集中的特殊解（正整数解、最大 / 最小整数解、自然数解）；由解集反求不等式中的字母（值或取值范围，常结合数轴的临界点）；阅读他人的解答过程并指出错误步骤、说明错因、写出正确解答；以及与方程（组）的综合（由「方程的解为正数 / 负数」反求参数范围）、新定义运算下的解不等式。命题趋势上，以小题考查定义辨析与「方向是否改变」的判断，以中档题考查完整解法与数轴表示的规范性，以压轴题考查含参讨论、临界点取舍与说理，「去分母漏乘不含分母的项」「去括号忘变号」「负系数化为 1 忘变号」是本节三个最高频的失分点。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列关于不等式的解与解集的说法中，正确的是（　　） A． 是不等式 的解集　B．不等式 的解有无数个 C．不等式 的解集是 　D． 是不等式 的一个解 【答案】B 先把不等式解出来： 的两边都除以正数 2，得 。 所以它的解集是「所有大于 2.5 的数」，有无数多个 —— B 正确。 A 错误： 只是这无数多个解中的一个，是「一个解」，不能叫「解集」； C 错误：解集要写成 这样的范围，不能写成某一个具体的值； D 错误：把 代入，左边 ， 不成立，所以 2 根本不是它的解。 一句话区分：「解」是使不等式成立的某一个未知数的值，「解集」是所有这些解的全体。故选 B。 2．不等式 去括号后，得到的式子是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 去括号就是把括号外的 2 乘以括号里的每一项： ，，所以 ；不等号和右边的 6 都不变，得 。 B 漏乘了 −1 这一项；C 把 −1 错当成了 +1；D 错把右边的 6 也乘了 2 —— 去括号只处理括号这一边，不能动另一边。故选 A。 （接着往下解：，两边都除以正数 2，得 。） 3．如图，数轴上表示的是一个不等式的解集。下列不等式中，解集与它相同的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 由图可知，这个解集是从 1 出发向右的射线，端点处是实心点，所以解集是 。 逐个把选项化成「 与某个数」比较的形式： A：两边都除以正数 2，方向不变，得 ，符合； B：两边都除以正数 2，得 ，方向正好相反； C：两边都除以负数 ，改变方向后得 ，端点与方向都不对； D：两边都除以正数 2，得 ，端点处应是空心圈，与图的实心点不符。 所以只有 A 的解集与图中相同。故选 A。 4．解不等式 ，得到的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 移项（两边都加上 2），得 ； 两边都除以正数 3，方向不变，得 。 B 在「系数化为 1」时错误地改变了方向 —— 两边除以的是正数 3，不该变号； C 忘了把 的两边除以 3，直接把右边的 3 抄了下来； D 既没有除以系数，又错误地改变了方向。故选 A。 检验：取 （满足 ），左边 ，成立。 5．若关于 的不等式 是一元一次不等式，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 一元一次不等式要求未知数的次数是 1，所以 ， 即 或 ，得 或 。 还要检查系数：一元一次不等式中未知数的系数不能为 0。 当 时，系数 ，不等式变成 ，里面已经没有未知数了，必须舍去； 当 时，系数 ，不等式是 ，符合要求。 所以 。故选 A。 小结：这类题要同时满足「次数＝1」和「系数 」两个条件，只算出次数就下结论是最常见的丢分点。 6．若代数式 的值不小于 1，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 「不小于 1」就是「大于或等于 1」，用「」连接，得 。 去分母（两边都乘正数 3，方向不变），得 ； 移项，得 ；两边都除以正数 2，得 。 B 把「不小于」当成了「大于」，漏掉了「等于」的情形； C 把不等号的方向弄反了； D 错在去分母时右边的 1 没有乘 3，得 ，解出来就成了 。故选 A。 7．解一元一次不等式时，下面五个步骤的正确顺序是（　　） ①移项；②去括号；③去分母；④合并同类项；⑤把未知数的系数化为 1。 A．③②①④⑤　B．③①②④⑤　C．②③①⑤④　D．③②④①⑤ 【答案】A 解一元一次不等式的一般步骤是固定的： 先去分母（③），再去括号（②），然后移项（①），合并同类项（④），最后把未知数的系数化为 1（⑤）。 所以正确顺序是 ③②①④⑤。 B 把「移项」排到了「去括号」之前 —— 括号还没去掉，括号里的项没法整体移动； C 把「系数化为 1」排到了「合并同类项」之前 —— 还没合并成 的形式，谈不上系数化 1； D 把「合并同类项」排到了「移项」之前 —— 移项要一项一项搬，必须先移完再合并。故选 A。 8．不等式 的两边都乘 6（去分母），得到的式子是（　　） A．　B． C．　D． 【答案】A 去分母时，不等式两边都要乘各分母的最小公倍数 6，而且每一项都要乘： 第一项 ； 第二项 ； 右边的常数 1 也要乘 6，得 6。 B 错在右边的 1 没有乘 6（去分母漏乘不含分母的项，是最高频的错误）； C 错在分子没有加括号 —— 展开才是 ，直接写 会把分子里的 +1 也乘上 3； D 错在把右边的 6 又乘了一个 x —— 去分母时两边乘的是同一个数 6，不能带 x。故选 A。 9．下列不等式中，解集是 的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 把每个选项都解出来，看哪个的解集恰好是 ： A：，两边都除以正数 2，方向不变，得 ，方向相反； B：，两边都除以负数 ，必须改变方向，得 ，符合； C：，两边都除以正数 2，得 ，端点和方向都不对； D：，两边都除以负数 并改变方向，得 ，端点不对。 故选 B。 这类题的解法就是「逐个解、逐个对照」，重点盯两处：一是两边除以的是正数还是负数（决定要不要改变方向），二是端点的值是多少。 10．已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 先把 m 当作常数解方程：移项，得 ，两边都除以正数 2，得 。 「解是正数」就是 ，即 。 两边都乘正数 2，方向不变，得 ；移项，得 ； 两边都除以负数 −1，必须改变方向，得 。 C 把「正数」当成了「非负数」（那样才能取等号，得 ）； B 在最后一步除以 −1 时忘了改变方向； D 把「」错解成了「」。故选 A。 小结：这类题分两步 —— 先把参数当常数解出方程的解，再让这个解满足题目给的正负条件，从而列出关于参数的不等式。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．不等式 的解集是__________。 【答案】 移项（两边都减去 5），得 ； 两边都除以负数 ，必须改变不等号的方向，得 。 最后一步是最容易丢分的地方 —— 两边除以的是负数，忘了变号就会错写成 。 检验：取 （满足 ），左边 ，成立； 取 （不满足 ），左边 不成立。所以解集确实是 。 12．解不等式 时，先两边都减去 ，得 ，这一步依据的是不等式的基本性质__________（填序号）。 【答案】2 「两边都减去 」就是两边同减同一个整式，依据的是不等式基本性质 2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 所以这一步之后不等号仍然是「」，即 （也就是 ）。 注意不是性质 3 —— 性质 3 说的是两边同乘（或同除）同一个数，那才会涉及「方向要不要改变」的问题；同加、同减永远不改变方向。 13．不等式 的正整数解共有__________个。 【答案】3 先解不等式：移项，得 ；两边都除以正数 3，得 。 在解集里找正整数：1，2，3，共 3 个。 注意两点：① 3 本身也满足 （含等号），不能漏掉； ② 4 不满足 ，不能多算。 如果题目问的是「非负整数解」，还要把 0 也加进去，那就是 4 个。 14．已知关于 的不等式 的解集在数轴上表示如图，则 的值是__________。 【答案】 由图可知，解集是从 出发向左的射线，端点 处是空心圈，所以解集是 。 把不等式 移项（两边都加上 1），得 。 原不等式是「」，解集却是「」，不等号的方向发生了改变，这说明两边同除的那个数 一定是负数，于是 。 对照解集 ，得 ，所以 。 检验：当 时，，移项得 ，两边都除以 并改变方向，得 ，与图完全一致。 易错点：若忘记先由方向定出 ，就会错把方向保留，从而得不到正确结果。 15．已知关于 的不等式 的正整数解只有 1 和 2，则 的取值范围是__________。 【答案】 先把不等式化简：移项，得 ；两边都除以正数 2，得 。 「正整数解只有 1 和 2」包含两层要求： ① 2 必须是解，所以 ，即 ；若 ，则 ，2 就不是解了，所以等号取不到； ② 3 不能是解，所以 ，即 ；若 ，则 会把 3 也包含进去。 把两层要求合起来得 。 检验： 时，，正整数解恰好是 1 和 2，符合要求。 这类题的关键是盯住临界点能不能取到：先让端点「刚好取到 / 刚好取不到」分别定出两边。 16．对于实数 ，，定义新运算：。例如 。则不等式 的解集是__________。 【答案】 按定义，，所以不等式就是 。 移项，得 ；两边都除以正数 2，得 。 新定义运算题的关键是第一步先把式子按定义翻译成普通代数式；翻译对了，后面就是普通的一元一次不等式，按五步解即可。 注意定义里的运算顺序不能想当然 —— 本题是「2 倍的 减去 」，不是「」。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）已知关于 的不等式 的解集是 。 (1) 先把不等式 化成「 某数」的形式，并说明每一步的依据； (2) 求 的值。 【答案】(1) ；(2) (1) 两边都加上 ，依据不等式基本性质 2（同加同一个数，方向不变），得 ，即 。 (2) 题目说解集是 ，把两个结果对照， 就等于 1，所以 。 检验：当 时，，两边都加上 3，得 ，与题设一致。 18．（7 分）下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。 (1) 其中哪些是一元一次不等式？请写出来； (2) 分别说明 ②、③、④ 为什么不是一元一次不等式。 【答案】(1) ①⑤；(2) 见解析 判断一元一次不等式要看三条：①用不等号连接；②不等号两边都是整式；③只含一个未知数，并且未知数的次数是 1。 (1) ① ：只含未知数 x，次数是 1，两边都是整式，符合； ⑤ ：只含未知数 y，次数是 1，两边都是整式，符合。 所以一元一次不等式是 ①⑤。 (2) ② ：未知数的次数是 2，不是 1； ③ ：左边分母含字母 x，不是整式； ④ ：含有 x、y 两个未知数，不是「一元」。 （⑥ 用等号连接，是等式，连不等式都不是。） 三条判据缺一不可，漏掉「整式」这一条是最常见的错误。 19．（8 分）下面是小希解不等式 的过程： 去分母，得 。　① 去括号，得 。　② 移项，得 。　③ 合并同类项，得 。　④ 两边都除以 ，得 。　⑤ (1) 小希的解答从第几步开始出错？错误的原因是什么？ (2) 写出正确的解答过程。 【答案】(1) 从第 ① 步开始出错：去分母时，右边的 1 没有乘各分母的最小公倍数 6；(2) (1) 去分母时，不等式两边要同乘各分母的最小公倍数 6。 左边两项都乘了 6，但右边的 1 也要乘 6，小希直接照抄了 1，漏乘了（这是去分母最常见的错误）。 后面的 ②③④⑤ 都是按错误的 ① 继续算的，所以从 ① 开始就错了。 （⑤ 这一步「除以 −1 要变号」的操作本身没有做错，问题出在最开头的去分母。） (2) 正确解答： 去分母，得 ； 去括号，得 ； 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 两边都除以 ，改变不等号的方向，得 。 检验：取 （满足 ），左边 ，成立。 20．（8 分）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来。 (1) 解这个不等式； (2) 把它的解集在数轴上表示出来（说明端点是实心还是空心、方向朝哪边）。 【答案】(1) ；(2) 端点 2 处画实心点，从 2 出发向右画射线（远端带小箭头） (1) 两边都乘 6（去分母，注意右边的 −1 也要乘 6），得 ； 去括号，得 ，即 ； 移项，得 ；合并同类项，得 。 （移项都是两边同加 / 同减同一个式，方向不变。） (2) 解集 含等号，所以端点 2 处画实心点； 解集是比 2 大的数，所以从 2 出发向右画射线，远端加小箭头。 检验：取 ，左边 ，右边 ， 成立。 21．（8 分）请按下列要求各写出一个一元一次不等式（答案不唯一）： (1) 写出一个解集是 的一元一次不等式； (2) 写出一个解集是 的一元一次不等式； (3) 写出一个正整数解恰好是 1 和 2 的一元一次不等式，并说明理由。 【答案】(1) 答案不唯一，如 ；(2) 答案不唯一，如 ；(3) 答案不唯一，如 ，理由见解析 (1) 只要解出来是 就行。例如 ：两边都除以正数 2，得 ，符合；再如 、 也都符合。不必与 长得一样。 (2) 例如 ：两边都除以正数 2，得 ，符合； 再如 ：两边都除以 ，改变方向后也得 ，符合。 (3) 例如 ：它的解集是所有小于 3 的数，其中的正整数恰好是 1 和 2，符合要求；再如 、 也都符合。 验证的方法：把写出的不等式按本节的方法解出来，对照题目要求的解集是否完全一致 —— 多一个解不行，少一个解也不行。 22．（8 分）【阅读材料】一个数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。 例如， 表示「数轴上表示 的点到原点的距离小于 3」，从数轴上看，这些点落在 与 3 之间，所以 的解集是 ； 同理， 的解集是 或 。 (1) 直接写出不等式 的解集与不等式 的解集； (2) 参考材料中的方法，求不等式 的解集（提示： 表示数轴上表示 的点到表示 1 的点的距离）； (3) 不等式 的解集是什么？请说明理由。 【答案】(1) ； 或 ；(2) ；(3) (1) 表示到原点的距离小于 2，这些点在 与 2 之间，解集是 ； 表示到原点的距离大于 5，这些点在 的左边或 5 的右边，解集是 或 。 (2) 表示「表示 的点到表示 1 的点的距离小于 3」，也就是 落在以 1 为中心、左右各 3 个单位的范围内，即 ； 三部分都加上 1，得 。 （也可以把 看成一个整体：由 得 ，再移项。） (3) 表示「到原点的距离大于 0」，也就是 不能是原点本身， 所以解集是「」—— 除了 0 以外的所有数都满足。 这说明绝对值不等式的解集有时不是一段区间，要回到「距离」的本意去想，不能只背结论。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 一元一次不等式及其解法【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节常见考查方式有：判断一个式子是不是一元一次不等式（含「由一元一次倒推参数」的含参讨论）；按「去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1」五步解不等式，并说出每一步依据的不等式基本性质；把解集在数轴上规范表示，或由数轴读出解集；求解集中的特殊解（正整数解、最大 / 最小整数解、自然数解）；由解集反求不等式中的字母（值或取值范围，常结合数轴的临界点）；阅读他人的解答过程并指出错误步骤、说明错因、写出正确解答；以及与方程（组）的综合（由「方程的解为正数 / 负数」反求参数范围）、新定义运算下的解不等式。命题趋势上，以小题考查定义辨析与「方向是否改变」的判断，以中档题考查完整解法与数轴表示的规范性，以压轴题考查含参讨论、临界点取舍与说理，「去分母漏乘不含分母的项」「去括号忘变号」「负系数化为 1 忘变号」是本节三个最高频的失分点。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列关于不等式的解与解集的说法中，正确的是（　　） A． 是不等式 的解集　B．不等式 的解有无数个 C．不等式 的解集是 　D． 是不等式 的一个解 2．不等式 去括号后，得到的式子是（　　） A．　B．　C．　D． 3．如图，数轴上表示的是一个不等式的解集。下列不等式中，解集与它相同的是（　　） A．　B．　C．　D． 4．解不等式 ，得到的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 5．若关于 的不等式 是一元一次不等式，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 6．若代数式 的值不小于 1，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．解一元一次不等式时，下面五个步骤的正确顺序是（　　） ①移项；②去括号；③去分母；④合并同类项；⑤把未知数的系数化为 1。 A．③②①④⑤　B．③①②④⑤　C．②③①⑤④　D．③②④①⑤ 8．不等式 的两边都乘 6（去分母），得到的式子是（　　） A．　B． C．　D． 9．下列不等式中，解集是 的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．不等式 的解集是__________。 12．解不等式 时，先两边都减去 ，得 ，这一步依据的是不等式的基本性质__________　（填序号）。 13．不等式 的正整数解共有__________个。 14．已知关于 的不等式 的解集在数轴上表示如图，则 的值是__________。 15．已知关于 的不等式 的正整数解只有 1 和 2，则 的取值范围是__________。 16．对于实数 ，，定义新运算：。例如 。则不等式 的解集是__________。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）已知关于 的不等式 的解集是 。 (1) 先把不等式 化成「 某数」的形式，并说明每一步的依据； (2) 求 的值。 18．（7 分）下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。 (1) 其中哪些是一元一次不等式？请写出来； (2) 分别说明 ②、③、④ 为什么不是一元一次不等式。 19．（8 分）下面是小希解不等式 的过程： 去分母，得 。　① 去括号，得 。　② 移项，得 。　③ 合并同类项，得 。　④ 两边都除以 ，得 。　⑤ (1) 小希的解答从第几步开始出错？错误的原因是什么？ (2) 写出正确的解答过程。 20．（8 分）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来。 (1) 解这个不等式； (2) 把它的解集在数轴上表示出来（说明端点是实心还是空心、方向朝哪边）。 21．（8 分）请按下列要求各写出一个一元一次不等式（答案不唯一）： (1) 写出一个解集是 的一元一次不等式； (2) 写出一个解集是 的一元一次不等式； (3) 写出一个正整数解恰好是 1 和 2 的一元一次不等式，并说明理由。 22．（8 分）【阅读材料】一个数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。 例如， 表示「数轴上表示 的点到原点的距离小于 3」，从数轴上看，这些点落在 与 3 之间，所以 的解集是 ； 同理， 的解集是 或 。 (1) 直接写出不等式 的解集与不等式 的解集； (2) 参考材料中的方法，求不等式 的解集（提示： 表示数轴上表示 的点到表示 1 的点的距离）； (3) 不等式 的解集是什么？请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $