15.3 等腰三角形题型专练2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念-性质-判定-应用”为逻辑主线，通过21个题型模块构建等腰三角形完整知识体系，突出分类讨论、几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1题型5题|定义辨析法|从边与角的双重属性建立等腰三角形认知| |性质应用|6题型30题|等边对等角/三线合一/折叠全等|性质定理→角度计算→线段关系→动态变换| |判定方法|4题型20题|等角对等边/定义判定|角相等→边相等的逆向推理训练| |综合拓展|10题型50题|分类讨论/尺规作图/实际建模|结合坐标系、格点图形、生活场景提升应用意识|

人教版（2024）八年级上册 15.3 等腰三角形 题型专练 【题型1】等腰三角形的概念 【典型例题】如图，在等腰△BDE中，BE=DE，则它的顶角为（ ） A.∠ABD B. ∠EBD C.∠E D.∠EDC 【举一反三1】如图，它是（ ）三角形. A.等腰 B.等边 C.不等边 D.直角 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C=90°，且AC=BC，则它的底边是（ ）. A.BC B. AC C.AB D.AC和BC. 【举一反三3】如图，AE=BE，EC=BC，则等腰△ABE的底边是       ，等腰△BCE的底边是       . 【举一反三4】如图，AB=BC=CD=DE=EF，则四个等腰中最大的顶角是       ，最小的顶角是        . 【举一反三5】如图，点D在BC上，AB=AC，AD=AE，请写出等腰△ABC和等腰△ADE的腰、底边、顶角和底角. 【题型2】两腰相等 【典型例题】若a，b为等腰△ABC的两边，且满足（a﹣4）2+|b﹣8|＝0，则△ABC的周长为（　　） A.16 B.18 C.20 D.16或20 【举一反三1】若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（　　） A.10 B.13 C.17 D.13或17 【举一反三2】已知的三边长分别为，，4，若是等腰三角形，则的值为     ． 【举一反三3】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长． 【举一反三4】等腰三角形的周长为． (1)若已知腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)若已知一边长为，求它的底边长． 【题型3】等边对等角 【典型例题】如图所示，在中，点分别是上的点，若，，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于(　　) A.30° B.36° C.40° D.42° 【举一反三2】如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，点在边上，且，则的度数为      ． 【举一反三4】如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线交于点O，∠A＝50°，则∠BOC＝　      　． 【举一反三5】如图，点D是边上一点，，过B点作，且，连接交于点O，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【题型4】三线合一 【典型例题】如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（   ） A.5 B.4 C.10 D.8 【举一反三1】等腰三角形底边上的高与底边的比是1：2，则它的顶角等于（　　） A.60° B.90° C.120° D.150° 【举一反三2】如图，的面积为，，，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为      ． 【举一反三3】如图，在中，平分，E是上一点，，且． (1)如果，则的度数为______； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【举一反三4】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 【题型5】等腰三角形性质与折叠 【典型例题】如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，，直线交于D，把直角三角形沿着直线翻折，点恰好落在斜边上的点E处，并且是等腰三角形，那么等于(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】已知一张三角形纸片（如图甲），其中，先将纸片折叠，使点A落到点B点处，折痕为（如图乙），再将纸片沿过点B的直线折叠，点C恰好与点D重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的度数为      ． 【举一反三3】在中，，点在边上，连接，将沿翻折使得点落在边上得，连接． (1)如图，若，，则__________； (2)如图，若，，求的度数． 【举一反三4】将长方形纸片沿折叠，边与边的交点为E，将纸片展开铺平（图①）．然后过E点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为G（图②），将纸片展开铺平．再过D点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为H（图③），将纸片展开铺平．连接图④）． (1)折痕与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 【题型6】等腰三角形的性质与尺规作图 【典型例题】如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则      ． 【举一反三4】数学课上，王老师布置如下任务： 如图，在中，，在边上取一点，． 小路的作法如下： ①作边的垂直平分线，交于点，交于点； ②连结． (1)请根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）； (2)完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵是的垂直平分线 ∴______，（依据：__________________）； ∴______，（依据：__________________）； ∵是的外角， ∴__________________； ∴． 【题型7】等腰三角形性质的实际应用 【典型例题】随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角∠B＝50°，则顶角∠A的度数为（　　） A.50° B.60° C.70° D.80° 【举一反三2】如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，，点D，E可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在点处用钉子将木条，钉在一起，是木条上一点，用橡皮筋连接，，固定木条，把木条绕转动．若是的中点，当的面积最大时，与之间存在的数量关系为        ． 【举一反三4】为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断      （填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是      ． 【举一反三5】综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD. (1)[操作应用]如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，AB，AD分别放置在角的两边RP，RQ上，并过点A，C画射线AE，求证：AE是∠PRQ的平分线； (2)[实践拓展]实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图2，在仪器上的点A处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的.实践小组的判断对吗？请说明理由. 【举一反三6】我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线和直线外一定点，过点作直线与平行． （1）以为圆心，单位长为半径作圆，交直线于点，； （2）分别在的延长线及上取点，，使； （3）连接，取其中点，过，两点确定直线，则直线． 按以上作图顺序，若，则    ． 【题型8】用定义判定等腰三角形 【典型例题】下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是(　　) A.4cm，5cm，4cm B.3cm，3cm，6cm C.2cm，2cm，5cm D.7cm，8cm，9cm 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD，CE相交于点H，则图中的等腰三角形有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三2】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（　　） A.1，1，2 B.2，2，4 C.3，3，5 D.3，4，5 【举一反三3】如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 　三角形． 【举一反三4】如图的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是　　(填序号)． 【举一反三5】如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C． （1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形； （2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）． 【举一反三6】如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E． (1)求证：△ADE是等腰三角形； (2)求证：AE＝EC． 【题型9】用定义判定格点中的等腰三角形 【典型例题】如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（    ） A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 【举一反三1】如图，在的正方形方格中，点A，B在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，使为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数是（　　） A.2 B.4 C.5 D.6 【举一反三2】如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有        个． 【举一反三3】如图，点，，都在网格线的交点上，直线．若直线，上的点恰好使和均为等腰三角形，则满足条件的点有      个． 【举一反三4】如图，在由边长为1的小正方形拼成的5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点． (1)如图1，点A，B，C，D，E均在格点上．证明：； (2)如图2，点M，N在格点上，在图2上画出所有满足条件的点P，使是以为腰的等腰直角三角形． 【举一反三5】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，点Ａ项，Ｂ项，C均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个等腰三角形，且三角形是钝角三角形； (2)在图②中，以为斜边画一个等腰直角三角形； (3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是轴对称图形． 【题型10】等角对等边 【典型例题】在中，已知，则（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC、∠ACB的平分线交于O，OM∥AB，ON∥AC，则图中共有等腰三角形的个数为（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【举一反三2】如图，△ABC中BD是角平分线，∠A=∠CBD=36°，则图中等腰三角形有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【举一反三3】如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形    个． 【举一反三4】如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形. 【举一反三5】如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点，若，求的度数． 【题型11】用等角对等边证明边相等 【典型例题】如图，在和中，与交于点E，，，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①； ②； ③点到直线，直线，直线的距离相等； ④． 其中正确的结论个数是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④．其中正确结论的序号是      ． 【举一反三4】如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有              【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数． 【举一反三6】（教材改编）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证AB=AD. 【题型12】用等角对等边求边长、周长或面积 【典型例题】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为(　　) A.5 B.3 C.4 D.2 【举一反三1】如图，点P是平面直角坐标系中第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点A，的平分线交y轴于点B，若，则点B的坐标为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为        ． 【举一反三3】如图所示，已知在中，平分，于点E，，交于点F，若，求的长． 【举一反三4】如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型13】尺规作图中的等角对等边 【典型例题】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三2】如图所示，直线，直线分别与，相交于点．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则线段的长为          ． 【举一反三3】如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为       ． 【举一反三4】如图，已知， 过点A 的直线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D． 求证：是等腰三角形． 【举一反三5】如图，在中，交，于点D，E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与的延长线交于点F，试判断的形状并说明理由． 【题型14】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 【典型例题】如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）个． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处． A.6 B.7 C.8 D.3 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，并写出的坐标： _______，_______； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点的坐标：_______．这样符合条件的点共有_______个． 【举一反三3】在平面直角坐标系内点A，点B的坐标是分别为（0，3），（4，3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是     ． 【举一反三4】如图，由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上(正方形的顶点). (1)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△AB1C1； (2)在网格图中画出点Q，使△QAB与△ABC全等； (3)直线l上总共存在　　　　个点P，使△PAC为等腰三角形.  【举一反三5】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 【题型15】等腰三角形性质与判定 【典型例题】如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（　　） A.12 B.9 C.10 D.11 【举一反三2】如图，把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 　    　 ． 【举一反三4】如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，下列结论正确有　       　． ①BD=CE；②△BDF，△CEF都是等腰三角形； ③BD+CE=DE；④△ADE的周长为AB+AC. 【举一反三5】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE//AB，与AC的延长线交于点E．求证：△CDE是等腰三角形． 【举一反三6】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=50°时，求∠DEF的度数. 【题型16】尺规作图——作等腰三角形 【典型例题】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ） A. B. C.   D.   【举一反三2】下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（   ） A.I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③ B.I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→② C.I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→① D.I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→② 【举一反三3】如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三4】在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线l上作出一点P，使得； (2)如图②，在直线上作出所有的点，使得． 【举一反三5】（1）尺规作图：如图，在直线上求作一点，使得到射线，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，已知，与相交于点C，求证：是等腰三角形． 【题型17】等边三角形的性质 【典型例题】如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ACD＝39°，则∠ABE的度数是(　　) A.45° B.39° C.29° D.21° 【举一反三1】如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（　　） A.120° B.125° C.130° D.135° 【举一反三2】如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 _____________度． 【举一反三3】如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A在直线l1上，l2与△ABC的两边AC，BC相交．若∠1＝138°，则∠2的度数为　    　． 【举一反三4】如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE． 【举一反三5】如图，在等边△ABC中，BD是中线，延长BC至点E使得CE=BC，作DF⊥BE于点F，连接DE. (1)试说明：BF=EF； (2)若AB=10，求CE的长. 【题型18】等边三角形的判定 【典型例题】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达A点时，M，N同时停止运动．点M，N运动（　　）s后，可得到等边△AMN． A.1 B.0.5 C.4 D.2 【举一反三1】下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.AB＝AC，∠B＝60° B.AB＝AC，∠A＝∠B C.∠A＝∠B＝60° D.∠A+∠B＝2∠C 【举一反三2】在下列结论中： （1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形； （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形． 其中正确的个数是（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【举一反三3】一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为　            　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 【题型19】等边三角形的性质和判定 【典型例题】已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠C＝60°，则BC的长为(　　) A.1 B.2 C. D.4 【举一反三1】在△ABC中，若AB=5，∠A=∠B=60°，则BC的值为(　　) A.3    B.4    C.5    D.6 【举一反三2】如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三3】如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6，依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为 　     　． 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB． (1)判断△DEF的形状，并说明理由； (2)若AD＝12，CE＝7，则CF的长为 　  　． 【题型20】含30°角的直角三角形的性质 【典型例题】如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，DE⊥AC于E，则CE的长为（　　） A.14a B.13 a C.12 a D.a 【举一反三1】如图，∠DAE=∠FAD=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线DE交AC于D，若CD＝8cm，则AD＝　   　cm． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB交BC于点D，BC=12，则BD=　　　　　　. 【举一反三4】已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm．求BC的长． 【题型21】等腰直角三角形的性质与判定 【典型例题】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（    ） A.16 B.32 C.34 D.36 【举一反三1】七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具，可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图，是由七巧板拼成的正方形，若点G的坐标为，点P的坐标为，则点Q的坐标为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】将一副三角板按如图所示摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为（　　） A.75° B.105° C.110° D.120° 【举一反三3】如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为      ． 【举一反三4】如图，是等腰直角三角形，，，D为延长线上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)比较与的大小，并证明. 人教版（2024）八年级上册 15.3 等腰三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】等腰三角形的概念 【典型例题】如图，在等腰△BDE中，BE=DE，则它的顶角为（ ） A.∠ABD B. ∠EBD C.∠E D.∠EDC 【答案】C 【解析】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等两边叫等腰三角形的腰，两腰的夹角叫顶角，可知，C符合题意. 【举一反三1】如图，它是（ ）三角形. A.等腰 B.等边 C.不等边 D.直角 【答案】A 【解析】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，可知，A符合题意. 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C=90°，且AC=BC，则它的底边是（ ）. A.BC B. AC C.AB D.AC和BC. 【答案】C 【解析】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等两边叫等腰三角形的腰，第三边叫底边，可知，C符合题意. 【举一反三3】如图，AE=BE，EC=BC，则等腰△ABE的底边是       ，等腰△BCE的底边是       . 【答案】AB；EB. 【解析】解：∵AE=BE， ∴等腰△ABE的底边是线段AB. ∵EC=BC， ∴等腰△BCE的底边是线段EB. 故答案为AB；EB. 【举一反三4】如图，AB=BC=CD=DE=EF，则四个等腰中最大的顶角是       ，最小的顶角是        . 【答案】∠ABC；∠DEF 【解析】解：从图中可以看出，从左到右的四个等腰三角形中，最左边等腰△ABC的顶角∠ABC最大，最右边的等腰△DEB的顶角∠DEF最小. 故答案为∠ABC；∠DEF. 【举一反三5】如图，点D在BC上，AB=AC，AD=AE，请写出等腰△ABC和等腰△ADE的腰、底边、顶角和底角. 【答案】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等两边叫等腰三角形的腰，第三边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角. 等腰△ABC的腰为AB和AC，底边为BC，顶角为∠BAC，底角为∠B和∠C. 等腰△ADE的腰为AD和AE，底边为DE，顶角为∠DAE，底角为∠1和∠2. 【题型2】两腰相等 【典型例题】若a，b为等腰△ABC的两边，且满足（a﹣4）2+|b﹣8|＝0，则△ABC的周长为（　　） A.16 B.18 C.20 D.16或20 【答案】C 【解析】解：∵（a﹣4）2+|b﹣8|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣8＝0， ∴a＝4，b＝8， 如果等腰三角形的腰长是4， ∵4+4＝8，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长不能是4，4只能是底边长， 如果等腰三角形的腰长是8， ∵8+4＞8，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长是8，底边是4， ∴等腰三角形的周长＝8×2+4＝20． 故选：C． 【举一反三1】若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（　　） A.10 B.13 C.17 D.13或17 【答案】C 【解析】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，∵3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有17．故选C． 【举一反三2】已知的三边长分别为，，4，若是等腰三角形，则的值为     ． 【答案】或或 【解析】解：当， 解得， 此时的三边长分别为3，3，4，符合三角形的三边关系； 当时， 解得， 此时的三边长分别为4，1，4，符合三角形的三边关系； 当时， 解得， 此时的三边长分别为，4，4，符合三角形的三边关系． 综上所述，的值为或或． 【举一反三3】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长． 【答案】解：设AB=BC=2x， ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD=CD=x， ∵AD把△ABC的周长分成3和4的两部分， ∴AB+BD=3或4. 若AB+BD=3，则2x+x=3，解得x=1， 所以，AC=4﹣1=3， 若AB+BD=4，则2x+x=4，解得x=43， 所以，AC=3﹣43=， 综上所述，AC边的长是3或． 【举一反三4】等腰三角形的周长为． (1)若已知腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)若已知一边长为，求它的底边长． 【答案】解：（1）设底边长为，则它的腰长为， ∵等腰三角形的周长为， ∴， 解得， ∴底边长为，则它的腰长为， ∴等腰三角形的各边长分别为，，； （2）分两种情况： 当腰长为时， ∵等腰三角形的周长为， ∴它的底边长， 则等腰三角形的三边长为、、，能构成三角形； 当底边长为时， ∵等腰三角形的周长为， ∴它的腰长． 则等腰三角形的三边长为、、，能构成三角形； 综上所述：它的底边长为或． 【题型3】等边对等角 【典型例题】如图所示，在中，点分别是上的点，若，，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于(　　) A.30° B.36° C.40° D.42° 【答案】B 【解析】设∠ABD＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x°， 又∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°， ∴∠A＝x°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得x＝36， ∴∠A＝36°. 【举一反三2】如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： 的垂直平分线交边于点E， 的垂直平分线交边于点N， ，， ，， ， ， ， ． 【举一反三3】如图，在中，点在边上，且，则的度数为      ． 【答案】 【解析】解：设， ∵， ∴，， ∴， 解得． 【举一反三4】如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线交于点O，∠A＝50°，则∠BOC＝　      　． 【答案】100°． 【解析】解：连接OA， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∵点O是AB、AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝50°， ∴∠OBC+∠OCB＝130°﹣50°＝80°， ∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100°． 【举一反三5】如图，点D是边上一点，，过B点作，且，连接交于点O，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4】三线合一 【典型例题】如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（   ） A.5 B.4 C.10 D.8 【答案】D 【解析】解：，且， 是等腰三角形，根据三线合一可得， ， 垂直平分， ， ， ， ． 【举一反三1】等腰三角形底边上的高与底边的比是1：2，则它的顶角等于（　　） A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】B 【解析】解：∵AB=AC，AD是底边BC上的高，∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°， 又∵底边上的高与底边的比是1：2，∴AD=BD=DC，∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，故选B． 【举一反三2】如图，的面积为，，，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为      ． 【答案】 【解析】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为A， 的长为的最小值， 的周长最短． 【举一反三3】如图，在中，平分，E是上一点，，且． (1)如果，则的度数为______； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：， ， ∵平分， ， ∵，即， ， 故答案为． （2）解：． 证明：过点作于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【举一反三4】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P． ∵AB=AC，∴BP=PC， ∵AD=AE，∴DP=PE， ∴BP﹣DP=PC﹣PE， ∴BD=CE． 【题型5】等腰三角形性质与折叠 【典型例题】如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由折叠的性质得，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【举一反三1】如图，在中，，直线交于D，把直角三角形沿着直线翻折，点恰好落在斜边上的点E处，并且是等腰三角形，那么等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为是等腰三角形， 所以． 由折叠的性质可得：， 所以． 又因为， 所以， 所以， 故选：C． 【举一反三2】已知一张三角形纸片（如图甲），其中，先将纸片折叠，使点A落到点B点处，折痕为（如图乙），再将纸片沿过点B的直线折叠，点C恰好与点D重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的度数为      ． 【答案】 【解析】解：由折叠得，，∵， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【举一反三3】在中，，点在边上，连接，将沿翻折使得点落在边上得，连接． (1)如图，若，，则__________； (2)如图，若，，求的度数． 【答案】解：（1）∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三4】将长方形纸片沿折叠，边与边的交点为E，将纸片展开铺平（图①）．然后过E点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为G（图②），将纸片展开铺平．再过D点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为H（图③），将纸片展开铺平．连接图④）． (1)折痕与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】解：（1），理由如下： 由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ． （2）∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 由（1）得， ， ， ． 【题型6】等腰三角形的性质与尺规作图 【典型例题】如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点、，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由作图可得平分，且， ∴（三线合一）， ∴， ∴． 【举一反三1】如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由作图可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 【举一反三3】如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则      ． 【答案】 【解析】解： ，， , ∴ 垂直平分 ∴ ∴． 【举一反三4】数学课上，王老师布置如下任务： 如图，在中，，在边上取一点，． 小路的作法如下： ①作边的垂直平分线，交于点，交于点； ②连结． (1)请根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）； (2)完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵是的垂直平分线 ∴______，（依据：__________________）； ∴______，（依据：__________________）； ∵是的外角， ∴__________________； ∴． 【答案】解：（1）如图，点即为所求： （2）∵是的垂直平分线 ∴，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）； ∴，（依据：等边对等角）； ∵是的外角， ∴； ∴． 【题型7】等腰三角形性质的实际应用 【典型例题】随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ，， ， ． 【举一反三1】在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若底角∠B＝50°，则顶角∠A的度数为（　　） A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】D 【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，且底角∠B＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°×2＝80°， 故选：D． 【举一反三2】如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，，点D，E可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：， ，， ， ， ， ， ． 【举一反三3】如图，在点处用钉子将木条，钉在一起，是木条上一点，用橡皮筋连接，，固定木条，把木条绕转动．若是的中点，当的面积最大时，与之间存在的数量关系为        ． 【答案】 【解析】解：设在中，边上的高为， ， 是的中点， 当的面积最大时，垂直平分线段， ， ． 【举一反三4】为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断      （填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是      ． 【答案】正确 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合 【解析】解：如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵点O为的中点， ∴，即挂铅锤的绳与镜框垂直，（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合） 故答案为等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合． 【举一反三5】综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD. (1)[操作应用]如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，AB，AD分别放置在角的两边RP，RQ上，并过点A，C画射线AE，求证：AE是∠PRQ的平分线； (2)[实践拓展]实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图2，在仪器上的点A处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的.实践小组的判断对吗？请说明理由. 【答案】(1)证明　在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)， ∴∠BAC=∠DAC， ∴AE是∠PRQ的平分线. (2)解　实践小组的判断对，理由如下： ∵△ABD是等腰三角形，AB=AD， 由(1)知，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∵AC是铅锤线， ∴BD是水平的， ∴门框是水平的， ∴实践小组的判断对. 【举一反三6】我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线和直线外一定点，过点作直线与平行． （1）以为圆心，单位长为半径作圆，交直线于点，； （2）分别在的延长线及上取点，，使； （3）连接，取其中点，过，两点确定直线，则直线． 按以上作图顺序，若，则    ． 【答案】． 【解析】解析：∵，， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴． 故答案为． 【题型8】用定义判定等腰三角形 【典型例题】下列长度的各组线段中，可以组成等腰三角形的是(　　) A.4cm，5cm，4cm B.3cm，3cm，6cm C.2cm，2cm，5cm D.7cm，8cm，9cm 【答案】A 【解析】4+4＞5，4＝4，可以组成等腰三角形，故A正确，符合题意； 3+3＝6，不能组成三角形，故B错误，不符合题意； 2+2＜5，不能组成三角形，故C错误，不符合题意； 7+8＜9，可以组成三角形但不是等腰三角形，故D错误，不符合题意. 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD，CE相交于点H，则图中的等腰三角形有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【解析】∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴AD＝BD． ∴△ABD是等腰三角形． ∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝ED， ∴AC＝AE， ∴△CDE，△ACE是等腰三角形. 又△CEB也是等腰三角形，故共有4个等腰三角形. 【举一反三2】下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（　　） A.1，1，2 B.2，2，4 C.3，3，5 D.3，4，5 【答案】C 【解析】解：对于选项A， ∵1+1＝2， ∴长度为1，1，2的三条线段不能构成三角形， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵2+2＝4， ∴长度为2，2，4的三条线段不能构成三角形， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵3+3＞5， ∴长度为3，3，5的三条线段能构成等腰三角形， 故选项C符合题意； 对于选项D， ∵3+4＞5，3≠4≠5， ∴长度为3，4，5的三条线段不能构成等腰三角形， 故选项D不符合题意． 故选：C． 【举一反三3】如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 　三角形． 【答案】等腰 【解析】解：∵∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴BD=CD，∴AD垂直平分BC ∴AB=AC，即这个三角形是等腰三角形.故答案为：等腰． 【举一反三4】如图的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是　　(填序号)． 【答案】②⑤ 【解析】①过点B作∠ABC的平分线， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°， ∴△ABD和△BCD是等腰三角形， ∴①正确； ②不能分成两个小等腰三角形； ③过点A作∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴△ABD和△ACD是等腰三角形； ∴③正确； ④把点A分成36°和72°的角， ∴∠BAD＝36°，∠CAD＝72°， ∵∠BAC＝108°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝36°， ∴∠BAD＝∠B，∠ADC＝∠CAD， ∴△ABD和△ACD是等腰三角形； ∴④正确； ⑤不能分成两个小等腰三角形． ∴②⑤不能分成两个小等腰三角形. 【举一反三5】如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C． （1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形； （2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）． 【答案】解：（1）∵∠ADE＝∠C，∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE，∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ADB与△DEC中， ∴△ADB≌△DEC（AAS）， ∴AD＝DE， ∴△ADE是等腰三角形； （2）∵△ADB≌△DEC， ∴∠C＝∠B， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵∠BAD＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠B＝∠C＝∠ADE＝∠CDE， 故图中所有与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE，∠BAD． 【举一反三6】如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E． (1)求证：△ADE是等腰三角形； (2)求证：AE＝EC． 【答案】证明 (1)∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴根据平行线的性质得，∠ADE＝∠BAD， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形. (2)∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵DE∥AB， ∴根据平行线的性质得，∠EDC＝∠B， ∴∠EDC＝∠C， ∴DE＝CE， ∵AE＝DE， ∴AE＝CE． 【题型9】用定义判定格点中的等腰三角形 【典型例题】如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（    ） A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 【答案】C 【解析】解：依题意，当为等腰三角形的底边时，则如图所示： 共有个点； 当为等腰三角形的腰时，则如图所示. 或 共有个点； 综上：为等腰三角形，则满足该条件的格点共有8个. 【举一反三1】如图，在的正方形方格中，点A，B在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，使为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数是（　　） A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】解：如图所示：    符合条件的点的个数有6个． 【举一反三2】如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有        个． 【答案】5 【解析】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个． 【举一反三3】如图，点，，都在网格线的交点上，直线．若直线，上的点恰好使和均为等腰三角形，则满足条件的点有      个． 【答案】6 【解析】解：如图所示. 分别以点和点为圆心，的长为半径画弧，与直线的交点，，，均符合题意；以点为圆心，的长为半径画弧，与直线的交点符合题意；以点为圆心，的长为半径画弧，与直线的交点在直线上，不符合题意；直线与直线的交点符合题意．故满足条件的点有6个． 【举一反三4】如图，在由边长为1的小正方形拼成的5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点． (1)如图1，点A，B，C，D，E均在格点上．证明：； (2)如图2，点M，N在格点上，在图2上画出所有满足条件的点P，使是以为腰的等腰直角三角形． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2中，，，，即为所求． 【举一反三5】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，点Ａ项，Ｂ项，C均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个等腰三角形，且三角形是钝角三角形； (2)在图②中，以为斜边画一个等腰直角三角形； (3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是轴对称图形． 【答案】解：（1）如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）解：如图，四边形即为所求. 【题型10】等角对等边 【典型例题】在中，已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：在中，， 则：； 无法得到． 【举一反三1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC、∠ACB的平分线交于O，OM∥AB，ON∥AC，则图中共有等腰三角形的个数为（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】C 【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=180°-36°2=72°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于O，∴∠OBC=∠OCB=∠ACO=∠ABO=36°，∴OB=OC，△OBC是等腰三角形，∵OM∥AB，∴∠OMN=∠ABC=72°，∠BOM=∠ABO=36°，∵ON∥AC∴∠ONM=∠ACB=72°，∠NOC=∠ACO=36°，∴OM=ON，△OMN是等腰三角形，∴OM=BM，△OMB是等腰三角形，ON=NC，△ONC是等腰三角形，∵∠BON=180°﹣72°﹣36°=72°=∠ONB，∴OB=BN，△BNO是等腰三角形，同理，△OMC也是等腰三角形，共7个等腰三角形．故选C． 【举一反三2】如图，△ABC中BD是角平分线，∠A=∠CBD=36°，则图中等腰三角形有（　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】A 【解析】解：∵△ABC中BD是角平分线，∠A=∠CBD=36°，∴∠ABD=36°，∠C=72°，∴AD=DB（△ADB是等腰三角形），∠ABC=72°，∴AB=AC（△ABC是等腰三角形），∴∠BDC=72°，∴BD=BC（△BDC是等腰三角形），故选A． 【举一反三3】如图，在中，，，，三等分，图中共有等腰三角形    个． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴是等腰三角形。 ∵，，三等分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴、、、、是等腰三角形， 则等腰三角形有：、、、、、共个． 【举一反三4】如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形. 【答案】证明：∵CE∥DA， ∴∠A=∠CEB． 又∵∠A=∠B， ∴∠CEB=∠B． ∴CE=CB． ∴△CEB是等腰三角形． 【举一反三5】如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵平分 ∴． ∵ ∴，． ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 【题型11】用等角对等边证明边相等 【典型例题】如图，在和中，与交于点E，，，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， ，故D选项结论正确； 又 ，， ， ，，故A选项、C选项结论正确； 现有条件不能够得出，故B选项结论不正确． 【举一反三1】如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①； ②； ③点到直线，直线，直线的距离相等； ④． 其中正确的结论个数是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵的两条角平分线，相交于点 ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵分别平分， ∴点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离， ∴点到直线，直线，直线的距离相等，故③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故④正确． 【举一反三2】如图，在三角形纸片中，，把三角形纸片沿直线折叠，点落在边上的点处，那么下列等式成立的是（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵是由沿直线折叠而成， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ． 【举一反三3】如图，在中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④．其中正确结论的序号是      ． 【答案】①②③ 【解析】解：是的中线， ， 的面积等于的面积， 故①正确； ，是的高， ， 是的角平分线， ∴， ， 又， ， 故②正确； ， ， ， ， 故③正确； ， ， 故④错误． 【举一反三4】如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有              【答案】①③④ 【解析】解：如图， 对于①，∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 故①正确； 对于②，条件不足，证明不出， 故②错误； 对于③，过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴， 故③正确； 对于④，过点作于点， 同上可得， ∵， ∴， ∵，， ∴平分，则， 设， 设， ∴， ∴， ∴，， 在中，∴， 故④正确． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数． 【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠EBD=∠ABC， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE； （2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝37° ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣37°＝68°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠EBD=∠ABC=34°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD＝34°． 【举一反三6】（教材改编）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证AB=AD. 【答案】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD(等角对等边). 【题型12】用等角对等边求边长、周长或面积 【典型例题】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为(　　) A.5 B.3 C.4 D.2 【答案】D 【解析】∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD∠ACB， ∵BE⊥CD， ∴∠BDC＝∠EDC＝90°， 在△BCD和△ECD中， ∴△BCD≌△ECD(SAS)， ∴DB＝DE，BC＝EC， ∵∠A＝∠ABE， ∴AE＝BE， ∵AC＝10，BC＝6， ∴EC＝6，AE+EC＝10， ∴AE＝10﹣6＝4， ∵BE＝ED+DB＝2DB＝2×2＝4， ∴DB＝2， ∴BD的长为2． 【举一反三1】如图，点P是平面直角坐标系中第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点A，的平分线交y轴于点B，若，则点B的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵轴， ∴轴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点B在y轴的负半轴上， ∴． 【举一反三2】如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为        ． 【答案】 【解析】解：如图，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三3】如图所示，已知在中，平分，于点E，，交于点F，若，求的长． 【答案】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【举一反三4】如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】（1）证明：是的角平分线， ． ， ， ； （2）， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【题型13】尺规作图中的等角对等边 【典型例题】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由作法知AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意； 由作法知，所作图形是线段BC的垂直平分线， ∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意； 由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， 由作法知，AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝30°＝∠B， ∴DB＝DA， ∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意. 【举一反三1】如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选C． 【举一反三2】如图所示，直线，直线分别与，相交于点．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则线段的长为          ． 【答案】 【解析】解：， ， 根据作图步骤可知平分， ， ， ． 【举一反三3】如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为       ． 【答案】3 【解析】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，已知， 过点A 的直线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D． 求证：是等腰三角形． 【答案】（1）解：如图，即为的平分线； （2）证明：， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【举一反三5】如图，在中，交，于点D，E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与的延长线交于点F，试判断的形状并说明理由． 【答案】解：（1）如图，射线即为所求； （2）是等腰三角形． 理由如下： ， ． 平分， ． ， ．即是等腰三角形． 【题型14】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 【典型例题】如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）个． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】解：点P的位置如图所示共有4种情况，所以点P的坐标可能有4个．故选D． 【举一反三1】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处． A.6 B.7 C.8 D.3 【答案】A 【解析】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，并写出的坐标： _______，_______； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点的坐标：_______．这样符合条件的点共有_______个． 【答案】解：（1）如下图所示， 分别作点、关于轴的对称点，， 连接，线段与线段关于轴对称； 已知点、的坐标分别是、， 的坐标是，的坐标是； （2）当以点为等腰三角形的顶点为腰时， 在轴上有个点可以与线段组成等腰三角形， 如图所示， 当以点为等腰三角形的顶点为腰时， 在轴上有两个点使、， 可以看出点，，在同一条直线上，不能构成三角形， 在轴上有个点可以与线段组成等腰三角形， 如下图所示， 当以为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段的垂直平分线上， 如下图所示，可以发现这个点恰好是原点． 综上所述，在轴上有个点可以与线段构成等腰三角形，其中一个满足条件的点是． 【举一反三3】在平面直角坐标系内点A，点B的坐标是分别为（0，3），（4，3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是     ． 【答案】7 【解析】解：如图所示：以为底边的等腰三角形有1个，则满足条件的点为，有1个点； 以为底边的等腰三角形有2个，则满足条件的点为，，共有2个点； 以为底边的等腰三角形4个，则满足条件的点为，，，，共有4个点； 则所有满足条件的点C共有7个，分别是，，，，，，这7个点． 【举一反三4】如图，由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上(正方形的顶点). (1)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△AB1C1； (2)在网格图中画出点Q，使△QAB与△ABC全等； (3)直线l上总共存在　　　　个点P，使△PAC为等腰三角形.  【答案】解　(1)如图，△AB1C1即为所求. (2)如图，点Q1，Q2均满足题意. (3)当以AC为底时，直线l上存在1个点P，使△PAC为等腰三角形； 当以AP为底时，直线l上存在1个点P，使△PAC为等腰三角形； 当以CP为底时，直线l上存在2个点P，使△PAC为等腰三角形. 综上所述，直线l上总共存在4个点P，使△PAC为等腰三角形. 【举一反三5】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 【答案】解：（1）如图，即为所求． （2）点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变， ， ； （3）如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以BC为腰的等腰三角形， 以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以BC为腰的等腰三角形， 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以BC为底的等腰三角形， 综上，所有符合条件的点有10个， 故答案为10． 【题型15】等腰三角形性质与判定 【典型例题】如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】C 【解析】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”， ①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能； ②不能； ③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能； ④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能． 故选：C． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（　　） A.12 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【解析】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵MN⊥BC， ∴∠MNC＝∠MNB＝90°， ∴∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°， ∴∠M＝∠BON， ∵∠BON＝∠MOA， ∴∠M＝∠MOA， ∴AM＝AO＝3， ∵BO＝4， ∴AB＝AC＝AO+BO＝7， ∴MC＝AM+AC＝10， 故选：C． 【举一反三2】如图，把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】解：根据题意△ABE，△ACD都是等腰三角形，又由已知∠ACE=∠ADB=60°，∴∠DAE=∠CAB=30°，已知∠B=∠E=30°，∴得等腰三角形：△ACB，△ADE，所以等腰三角形4个．故选D． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 　    　 ． 【答案】20°． 【解析】解：由题意得，AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ACD（180°﹣∠A）， ∵∠ACB＝90°，∠B＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝40°， ∴∠ACD（180°﹣∠A）＝70°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝20°， 故答案为20°． 【举一反三4】如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，下列结论正确有　       　． ①BD=CE；②△BDF，△CEF都是等腰三角形； ③BD+CE=DE；④△ADE的周长为AB+AC. 【答案】②③④ 【解析】∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF=∠BFD， ∴∠ABF=∠BFD， ∴BD=FD， 同理可得CE=FE， ∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；①不正确，②正确； ∴BD+CE=FD+FE=DE，③正确； △ADE的周长=AD+FD+FE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC，④正确. 【举一反三5】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE//AB，与AC的延长线交于点E．求证：△CDE是等腰三角形． 【答案】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DE∥AB， ∴∠ABC＝∠CDE， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴∠DCE＝∠CDE， ∴△CDE是等腰三角形． 【举一反三6】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=50°时，求∠DEF的度数. 【答案】(1)证明　∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BDE和△CEF中， ∴△BDE≌△CEF， ∴DE=EF， ∴△DEF是等腰三角形. (2)解　∵△BDE≌△CEF， ∴∠BDE=∠CEF， ∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE， ∵∠B+=180°，∠DEF+=180°， ∴∠B=∠DEF， ∵∠A=50°，AB=AC， ∴∠B==65°， ∴∠DEF=65°. 【题型16】尺规作图——作等腰三角形 【典型例题】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意． B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意． C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意． D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意． 故选：A． 【举一反三1】如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ） A. B. C.   D.   【答案】C 【解析】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行． 【举一反三2】下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（   ） A.I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③ B.I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→② C.I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→① D.I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→② 【答案】B 【解析】解：①是作一个角等于已知角的方法；②是作一个角的平分线的作法；③是作一条线段的垂直平分线方法． 【举一反三3】如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A项，由作法可知，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D， ∴AD=AC， ∴△ADC是等腰三角形，不符合题意； B项，由作法可知，DE是线段BC的垂直平分线， ∴△ABD和△ADC不是等腰三角形，符合题意； C项，由作法可知，分别以点B、点A为圆心，大于AB长为半径画弧，连接两弧，交BC于点D，交AB于点E， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴△ABD是等腰三角形，不符合题意； D项，由作法知，AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°， ∴△ABD是等腰三角形，不符合题意. 【举一反三4】在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线l上作出一点P，使得； (2)如图②，在直线上作出所有的点，使得． 【答案】解：（1）如图：点即为所求； （2）如图：点，即为所求． 【举一反三5】（1）尺规作图：如图，在直线上求作一点，使得到射线，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，已知，与相交于点C，求证：是等腰三角形． 【答案】解：（1）如图，点即为所求． （2）如图，与相交于点， ∵点在内，且点到射线，的距离相等， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型17】等边三角形的性质 【典型例题】如图，直线l∥m，等边△ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ACD＝39°，则∠ABE的度数是(　　) A.45° B.39° C.29° D.21° 【答案】D 【解析】如图，过点A作AF∥l， ∵直线l∥m， ∴AF∥m， 由条件可知∠BAC＝60°， ∵AF∥m， ∴∠ACD＝∠CAF， ∵∠ACD＝39°， ∴∠CAF＝39°， ∴∠BAF＝∠BAC﹣∠CAF＝21°， ∵AF∥l， ∴∠ABE＝∠BAF＝21°. 【举一反三1】如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（　　） A.120° B.125° C.130° D.135° 【答案】D 【解析】解：∵△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝∠BAD＝∠ADB＝60°， ∵∠CBD＝15°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°， ∵AC＝AD， ∴AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°，， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD＝×（180°﹣30°）＝75°， ∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+75°＝135°． 故选：D． 【举一反三2】如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 _____________度． 【答案】60 【解析】解：∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，AB=BC，∠ABD=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故答案为：60． 【举一反三3】如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A在直线l1上，l2与△ABC的两边AC，BC相交．若∠1＝138°，则∠2的度数为　    　． 【答案】102° 【解析】解：如图所示， ∵∠1＝138°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝42°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∴∠4＝∠C+∠3＝60°+42°＝102°， ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠4＝102°． 【举一反三4】如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE． 【答案】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知）， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）． ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE． 在△BAD与△CAE中， ∵， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）． 【举一反三5】如图，在等边△ABC中，BD是中线，延长BC至点E使得CE=BC，作DF⊥BE于点F，连接DE. (1)试说明：BF=EF； (2)若AB=10，求CE的长. 【答案】解　(1)因为△ABC为等边三角形，BD是中线， 所以DC=DA=AC=BC. 又因为CE=BC， 所以DC=CE，所以∠E=∠CDE， 因为∠DCB=60°，所以∠DCE=180°-60°=120°， 所以∠E==30°， 因为DA=DC，所以∠DBC=∠ABC=30°， 在△BDF和△EDF中， 　 所以△BDF△EDF(AAS)， 所以BF=EF. (2)因为△ABC为等边三角形， 所以BC=AB=10. 所以CE=BC=5. 【题型18】等边三角形的判定 【典型例题】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达A点时，M，N同时停止运动．点M，N运动（　　）s后，可得到等边△AMN． A.1 B.0.5 C.4 D.2 【答案】C 【解析】解：设点M，N运动x s后，可得到等边△AMN， ∴AM＝x cm，AN＝AB﹣BN＝（12﹣2x）cm， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴AM＝AN时，△AMN是等边三角形， ∴x＝12﹣2x， ∴x＝4， ∴点M，N运动4 s后，可得到等边△AMN． 【举一反三1】下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.AB＝AC，∠B＝60° B.AB＝AC，∠A＝∠B C.∠A＝∠B＝60° D.∠A+∠B＝2∠C 【答案】D 【解析】∵AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选项A能判定△ABC是等边三角形，不符合题意； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形， 故选项B能判定△ABC是等边三角形，不符合题意； ∵∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选项C能判定△ABC是等边三角形，不符合题意； ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C， ∴2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝60°， 根据已知条件无法判定∠A＝60°(或∠B＝60°)，因此无法判定△ABC是等边三角形， 故选项D符合题意． 【举一反三2】在下列结论中： （1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形； （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形． 其中正确的个数是（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】D 【解析】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取2个的话，就不成立，该结论错误．故选D． 【举一反三3】一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为　            　． 【答案】21 【解析】解：∵等腰三角形一个外角为120°，则内角为60°，∴该三角形为等边三角形．从而知周长为3×7=21．故答案为21． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 【答案】证明：∵D为AB的中点， ∴AD＝BD． ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠BFD＝90°． 在Rt△ADE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A＝∠B， ∴CA＝CB， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC ∴△ABC是等边三角形． 【题型19】等边三角形的性质和判定 【典型例题】已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠C＝60°，则BC的长为(　　) A.1 B.2 C. D.4 【答案】B 【举一反三1】在△ABC中，若AB=5，∠A=∠B=60°，则BC的值为(　　) A.3    B.4    C.5    D.6 【答案】C 【解析】∵∠A=∠B=60°， ∴∠C=∠A=∠B=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC=AB=5. 【举一反三2】如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中，∵ AB=DB，∠ABE=∠DBC，BE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；在△ABP和△DBQ中，∵∠BAP=∠BDQ，AB=DB，∠ABP=∠DBQ=60°，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；∵BP=BQ，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠PQB=60°，∴∠PQB=∠QBC，∴PQ∥AC，故④正确．故选D． 【举一反三3】如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6，依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为 　     　． 【答案】3． 【解析】解：由作图可知AB＝AC， ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝6， ∵AD平分∠BAC， ∴BD＝CD＝BC＝3． 故答案为：3． 【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB． (1)判断△DEF的形状，并说明理由； (2)若AD＝12，CE＝7，则CF的长为 　  　． 【答案】解 (1)△DEF是等边三角形，理由如下： ∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠ADB＝60°，∠ABD＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠DEF＝∠A＝60°，∠EFD＝∠ABD＝60°， ∴△DEF是等边三角形. (2)连接AC交BD于点O，如图， ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC垂直平分BD， ∴AO⊥BD， ∴∠BAO＝∠DAO＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAO＝∠DAO， ∴AE＝CE＝7， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝5， ∴CF＝CE﹣EF＝2. 【题型20】含30°角的直角三角形的性质 【典型例题】如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，DE⊥AC于E，则CE的长为（　　） A.14a B.13 a C.12 a D.a 【答案】A 【解析】解：∵△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，∴CD=BC=a，∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠EDC=30°，∴CE=CD=BC=14a．故选A． 【举一反三1】如图，∠DAE=∠FAD=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】解：作DG⊥AC，垂足为G． ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°， ∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°， ∴∠DEG=15°×2=30°， ∴ED=AE=8， ∴在Rt△DEG中，DG=ED=×8=4， ∴DF=DG=4．故选B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线DE交AC于D，若CD＝8cm，则AD＝　   　cm． 【答案】16． 【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠DBA＝30°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝30°， ∵CD＝8cm， ∴BD＝2CD＝16（cm）， ∴AD＝DB＝16cm， 故答案为：16． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB交BC于点D，BC=12，则BD=　　　　　　. 【答案】8 【解析】∵∠B=∠C=30°， ∴∠BAC=180°-30°-30°=120°， ∵AD⊥AB， ∴∠BAD=90°， ∴∠CAD=120°-90°=30°， ∴∠CAD=∠C=30°， ∴AD=CD， ∵在Rt△ABD中，∠B=30°， ∴BD=2AD， ∴BD=2CD，∴BD=BC=8. 【举一反三4】已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm．求BC的长． 【答案】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8（cm），∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4cm，∴BC=BD+DC=8+4=12（cm）． 【题型21】等腰直角三角形的性质与判定 【典型例题】七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（    ） A.16 B.32 C.34 D.36 【答案】C 【解析】图1所示边长为4的正方形面积为16， 图2中，长方形的长为，宽为，面积为， 则图2中阴影部分的面积是. 【举一反三1】七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具，可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”．它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图，是由七巧板拼成的正方形，若点G的坐标为，点P的坐标为，则点Q的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】确定平面直角坐标系如图所示. ∴点Q的坐标为． 【举一反三2】将一副三角板按如图所示摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为（　　） A.75° B.105° C.110° D.120° 【答案】B 【解析】解：∵含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，如图所示： ∴∠ABC＝∠A＝45°， ∵∠C＝30°， ∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°， 故选：B． 【举一反三3】如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为      ． 【答案】 【解析】阴影部分的面积为： 故答案为： 【举一反三4】如图，是等腰直角三角形，，，D为延长线上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)比较与的大小，并证明. 【答案】解：（1）依题意补全图形如图所示. （2），证明如下： ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得，，即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即. 学科网（北京）股份有限公司 $