广东佛山市南海区桂江第一初级中学2026-2027学年 九年级第一学期数学第一次教学质量检测

初三数学9月素质监测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以长方形也称为“矩形”，矩形的对称轴的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 6. 如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（ ） A. B. C. D. 8. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b，c满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 把一元二次方程化成一般形式：________． 12. 已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 13. 已知是方程的一个根，试求的值______． 14. 若实数m，n满足，，且，则的值为______． 15. 如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为__________． 三、解答题一（共3题，每题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 18. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积 20. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 （1）每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） （2）若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 21. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 五、解答题三（共2题，每题12分，共24分） 22. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 23. 【特例感知】 （1）在矩形中，设，，则对角线和a，b的数量关系为______． （2）【规律探究】如图（1），在中，设，，猜想对角线和a，b的数量关系，并证明你的猜想． （3）【知识应用】如图（2），在四边形中，，，，，，点M为的中点，求的长． 初三数学9月素质监测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2009 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题一（共3题，每题8分，共24分） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【17题答案】 【答案】（1）k≤3；（2）． 【18题答案】 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）12 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）15， 【20题答案】 【答案】（1）元，件 （2）每件衬衫应降40元 【21题答案】 【答案】（1）， （2）5 五、解答题三（共2题，每题12分，共24分） 【22题答案】 【答案】（1）①； ②证明：∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）不变，， 如图，在上截取，连接， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴； （3） 【23题答案】 【答案】（1） （2）猜想：， 证明如下：过点作于，过点作，交延长线于． 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，． 由勾股定理： ， ， 将两式相加，代入、， 得： ， 又在中，， 代入，得． （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $