精品解析：广东汕头市潮阳区国庆联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

　2026—2027 学年度第一学期九年级数学科随堂训练（一） 内容：九年级上册第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》（至图象与性质） 满分120分，考试时间90分钟 注意事项：1．满分120分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写学校、班级、姓名、座号． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 4．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内． 5．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、未注明，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含两个未知数，是二元方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 2. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　） A. x1=﹣1，x2=3 B. x1=1，x2=﹣3 C. x1=1，x2=3 D. x1=﹣1，x2=﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出已知方程的解． 【详解】x2-4x+3=0， 分解因式得：（x-1）（x-3）=0， 解得：x1=1，x2=3， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得. 4. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线 的顶点坐标是. 5. 二次函数的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，判断出函数图像开口向下，再求出最大值即可 【详解】解：，开口向下， 则当时y有最大值4 6. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴或， 解得， 故选C． 7. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 8. 潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为原本每盒利润为40元，每盒降价x元，所以降价后每盒利润为元．因为每降价1元多售出2盒，降价x元则多售出盒，原本每天售出20盒，所以降价后销售量为盒．结合总利润为1200元的条件，将上述两个表达式代入核心等量关系即可得到对应方程． 【详解】每盒降价x元，每盒利润为元， 每天售出盒， 列方程． 9. 已知 x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，则与 的值分别为（ ） A. 5，6 B. ，6 C. 5， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系得： 10. 如图，二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向可以得出，再根据对称轴为直线，判断出，与y轴交于点得到，与轴有两个交点即可得出． 【详解】解：A、二次函数的图象开口向下，，故A错误； B、二次函数的对称轴为直线，，，故 B正确； C、二次函数与y轴交点，，故C错误； D、抛物线与x轴有两个交点，，故D错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的根为________． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 抛物线与轴的交点的坐标为______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标的求法，熟练掌握轴上的点的纵坐标为0是解答此题的关键．根据轴上的点的坐标特点：纵坐标等于0，然后令即可求出纵坐标，从而得出结论． 【详解】解：令，得：， 即， 解得：， 抛物线与轴的交点的坐标为：， 故答案为：． 14. 二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ___． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】把解析式配方化成顶点式，顶点的纵坐标即为最值． 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴对称轴为x＝1， ∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，找到对称轴是解题的关键． 15. 已知 是方程 的两个实数根，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式变形得，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 16. 潮阳区金灶镇某果园2024年水果产量为100吨，2026年产量达到144吨．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则可列方程______，解得年平均增长率为______． 【答案】 ①. ②. 20 【解析】 【分析】设年平均增长率为，根据增长率的变化关系列方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果 【详解】解：从2024年到2026年，一共经过2次增长，增长次数为． 根据产量增长规律，可列方程： 两边同时除以，得 开平方，得 解得，． ∵增长率为正数 ∴舍去不符合题意的负根 因此，即年平均增长率为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：， ∵，即， ∴无论m取何实数，该方程总有实数根； （2），另一个根为 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）先把代入方程，求出，再把代入方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程，得：， 即， 解得：， 此时方程为， 即， ∴或， 解得：，, ∴另一个根为． 19. 如图是二次函数的图象． （1）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）求该抛物线与x轴的交点坐标； （3）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）交点为和 （3） 【解析】 【分析】（1）将该二次函数一般式化为顶点式，即可直接确定顶点坐标和 对称轴； （2）令，即可求出该二次函数图象与x轴的交点坐标； （3）函数值小于0的部分，也就是图象在x轴下方的部分，对应两个x轴交点之间的区域． 【小问1详解】 解：将该二次函数化为顶点式为：， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，可得该抛物线顶点为． 【小问2详解】 解：令，则，因式分解得， 解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为和． 【小问3详解】 解：根据图象可直接确定时，． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 20. 潮阳区某中学英歌队在一次汇演后，全体队员每两人之间互赠一张合影照．已知全队共赠送了240张照片，求该英歌队共有多少名队员． 【答案】共有16名队员 【解析】 【详解】解：设该英歌队共有x名队员， 依题意，每名队员要送出张照片，全队共送张， 列方程：， 解得（不合题意，舍去）, 答：该英歌队共有16名队员． 21. 某商店销售潮阳特产，进价为每盒30元．调查发现：当售价为每盒50元时，每天可售出40盒；每涨价1元，每天就少售出1盒。设每盒涨价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每盒涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每盒涨价10元（即售价为60元）时，每天利润最大，最大利润为900元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质，求出最大值即可． 【小问1详解】 解： ， 根据题意得：且， 解得：； 【小问2详解】 解： ∵，且， ∴当时，y有最大值900， 答：每盒涨价10元（即售价为60元）时，每天利润最大，最大利润为900元． 22. 如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． （1）设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）函数关系式为，自变量x的取值范围为 （2）当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 【解析】 【分析】（1）垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，然后根据长方形面积公式建立函数关系式，再由且解不等式组求解自变量x的取值范围； （2）将函数关系式配方，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 由题意得， 由且，得， ∴函数关系式为，自变量x的取值范围为； 【小问2详解】 解： ∵，且在自变量取值范围内， ∴当时，S最大 答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）求顶点D的坐标； （3）求的面积； （4）在抛物线上是否存在点P（点P不与点D重合），使得的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）顶点D的坐标为 （3）8 （4）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）将函数表达式配方成顶点式，即可求解顶点坐标； （3）运用三角形面积公式求解即可； （4）设点P的纵坐标为，则，求出，再代入函数表达式求解横坐标． 【小问1详解】 解：把代入： ， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴顶点D的坐标为； 【小问3详解】 解：，而点D到x轴的距离为4， ∴； 【小问4详解】 解：存在， 设点P的纵坐标为，则 ∴ 解得，即或， 当时为顶点D，不合题意； 令， 得， 解得， ∴点P的坐标为或． 24. 在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． （1）求直线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； （3）当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）直线的解析式为 （2） （3）当时，最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）由图象知、，利用待定系数法求解即可； （2）设（），则，利用坐标与图形性质可得答案； （3）利用三角形的面积和二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设（），则， ∴； 【小问3详解】 解： ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 　2026—2027 学年度第一学期九年级数学科随堂训练（一） 内容：九年级上册第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》（至图象与性质） 满分120分，考试时间90分钟 注意事项：1．满分120分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写学校、班级、姓名、座号． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 4．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内． 5．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　） A. x1=﹣1，x2=3 B. x1=1，x2=﹣3 C. x1=1，x2=3 D. x1=﹣1，x2=﹣3 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 7. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( ) A. B. C. D. 8. 潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知 x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，则与 的值分别为（ ） A. 5，6 B. ，6 C. 5， D. ， 10. 如图，二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的根为________． 12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 13. 抛物线与轴的交点的坐标为______． 14. 二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ___． 15. 已知 是方程 的两个实数根，则______． 16. 潮阳区金灶镇某果园2024年水果产量为100吨，2026年产量达到144吨．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则可列方程______，解得年平均增长率为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程：． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 19. 如图是二次函数的图象． （1）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）求该抛物线与x轴的交点坐标； （3）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 20. 潮阳区某中学英歌队在一次汇演后，全体队员每两人之间互赠一张合影照．已知全队共赠送了240张照片，求该英歌队共有多少名队员． 21. 某商店销售潮阳特产，进价为每盒30元．调查发现：当售价为每盒50元时，每天可售出40盒；每涨价1元，每天就少售出1盒。设每盒涨价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每盒涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． （1）设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）求顶点D的坐标； （3）求的面积； （4）在抛物线上是否存在点P（点P不与点D重合），使得的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． （1）求直线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； （3）当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $