微专题01 函数定义域与函数解析式的求解讲义（10大题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

微专题01 函数定义域与函数解析式的求解 目录 01 解题方法总结 2 方法总结1：函数定义域 2 方法总结2：函数解析式的求解策略 2 02 重难点题型梳理 4 题型一：具体函数的定义域 4 题型二：抽象函数的定义域 5 题型三：复合函数的定义域 5 题型四：已知函数的定义域求参数 6 题型五：实际问题中的定义域 7 题型六：已知函数类型求解析式 7 题型七：已知求解析式 8 题型八：求抽象函数的解析式 8 题型九：求解析式中的参数值 9 题型十：函数方程组法求解析式 9 方法总结1：函数定义域 1、已知具体函数解析式求其定义域，主要考查方向有： （1）整式函数定义域为全体实数； （2）分式的分母不为零； （3）偶次根号下被开方数非负； （4）在中底数； （5）若f（x）是由几个部分构成的，则应采用交集法； （6）实际问题结合变量的实际意义来确定． 2、含抽象函数复合函数类型的定义域，主要考查方向有： （1）已知原函数的定义域求复合函数的定义域； （2）已知复合函数的定义域求原函数的定义域； （3）已知复合函数的定义域求复合函数的定义域． 方法总结2：函数解析式的求解策略 （1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式； （3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式； （4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式； （5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式． 题型一：具体函数的定义域 【典例1-1】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高一·广东·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·广西·期中）函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C． D．且 【变式1-2】（2026·高一·海南·期中）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·江西·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 题型二：抽象函数的定义域 【典例2-1】（2026·高一·广东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·辽宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·江西·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·全国·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·全国·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三：复合函数的定义域 【典例3-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型四：已知函数的定义域求参数 【典例4-1】（2026·高一·北京·期中）函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式4-1】（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·河北张家口·阶段检测）若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ） A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，） 题型五：实际问题中的定义域 【典例5-1】（2026·高一·四川乐山·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为(    ) A．{x|x∈R} B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D． 【变式5-3】周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型六：已知函数类型求解析式 【典例6-1】（2026·高一·甘肃白银·开学考试）已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若正比例函数满足，则的解析式为　________　. 【变式6-3】（2026·高一·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 题型七：已知求解析式 【典例7-1】（2026·高一·山东·期中）已知，则=___________. 【典例7-2】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【变式7-1】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若函数，则______． 【变式7-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，则函数______． 【变式7-3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数满足，且，则______． 题型八：求抽象函数的解析式 【典例8-1】设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 【典例8-2】（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【变式8-1】（2026·高一·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【变式8-2】（2026·高一·广东东莞·阶段检测）设函数定义在上，，，且当时，.若，则______，______ 【变式8-3】（2026·高一·辽宁·期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 题型九：求解析式中的参数值 【典例9-1】（2026·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数________． 【典例9-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知对任意恒成立，则________． 【变式9-1】函数满足，则常数____________． 【变式9-2】（2026·高一·海南海口·期中）已知函数，且，则______． 【变式9-3】（2026·高一·山西运城·阶段检测）已知且，则的值为___________. 题型十：函数方程组法求解析式 【典例10-1】（2026·高一·河南安阳·期中）函数 _____ _____ 【典例10-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是______． 【变式10-1】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【变式10-2】已知且，求函数的解析式． 【变式10-3】已知，求的解析式． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 函数定义域与函数解析式的求解 目录 01 解题方法总结 2 方法总结1：函数定义域 2 方法总结2：函数解析式的求解策略 2 02 重难点题型梳理 4 题型一：具体函数的定义域 4 题型二：抽象函数的定义域 5 题型三：复合函数的定义域 7 题型四：已知函数的定义域求参数 8 题型五：实际问题中的定义域 10 题型六：已知函数类型求解析式 12 题型七：已知求解析式 13 题型八：求抽象函数的解析式 15 题型九：求解析式中的参数值 17 题型十：函数方程组法求解析式 19 方法总结1：函数定义域 1、已知具体函数解析式求其定义域，主要考查方向有： （1）整式函数定义域为全体实数； （2）分式的分母不为零； （3）偶次根号下被开方数非负； （4）在中底数； （5）若f（x）是由几个部分构成的，则应采用交集法； （6）实际问题结合变量的实际意义来确定． 2、含抽象函数复合函数类型的定义域，主要考查方向有： （1）已知原函数的定义域求复合函数的定义域； （2）已知复合函数的定义域求原函数的定义域； （3）已知复合函数的定义域求复合函数的定义域． 方法总结2：函数解析式的求解策略 （1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式； （3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式； （4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式； （5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式． 题型一：具体函数的定义域 【典例1-1】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得，故定义域为 【典例1-2】（2026·高一·广东·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 得且. 所以函数的定义域为． 【变式1-1】（2026·高一·广西·期中）函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】D 【解析】由题意得 ，解得且，故D正确. 【变式1-2】（2026·高一·海南·期中）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数有意义，所以， 解得． 【变式1-3】（2026·高一·江西·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知 ，解得且， 故的定义域为. 题型二：抽象函数的定义域 【典例2-1】（2026·高一·广东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 对于函数，有或，解得或. 故函数的定义域为． 【典例2-2】（2026·高一·辽宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，即， ，则的定义域为， 由，得． 的定义域为． 【变式2-1】（2026·高一·江西·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得 ，解得，所以函数的定义域为． 【变式2-2】（2026·高一·全国·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的定义域为，可得，解得， 所以的定义域为， 又因为，解得，所以函数的定义域为. 【变式2-3】（2026·高一·全国·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，所以函数的定义域为． 题型三：复合函数的定义域 【典例3-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由. 所以函数的定义域为. 故选：C 【典例3-2】（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 【变式3-1】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以若有意义，需满足，解得. 故选：B. 【变式3-2】（2026·高一·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 【变式3-3】（2026·高一·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，所以， 所以的定义域为， 故函数中的需满足得， 故函数的定义域为． 故选：A. 题型四：已知函数的定义域求参数 【典例4-1】（2026·高一·北京·期中）函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，可知关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，解集不是，不合题意； 当时，需使，解得. 综上，可得实数的取值范围为. 故选：A. 【典例4-2】（2026·高一·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 【变式4-1】（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，即不等式的解集为 （1）当时，得到，显然不等式的解集为； （2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能． （3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为， 得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得； 综上，的取值范围为 故选：B 【变式4-2】（2026·高二·河北张家口·阶段检测）若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为R ∴恒成立 当m＝0时，不等式2＞0恒成立 当m≠0时，则满足，得，得0＜m＜8 综上0≤m＜8 故选：A 【变式4-3】（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ） A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，） 【答案】D 【解析】要满足题意，只需在上恒成立即可. 当时，显然满足题意. 当时，只需， 解得. 综上所述， 故选：. 题型五：实际问题中的定义域 【典例5-1】（2026·高一·四川乐山·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 【典例5-2】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知：，， 根据三角形三边关系得到， 所以函数的定义域为. 故选：A 【变式5-1】已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】边长为，另一条边长为，得，所以， 故选：D. 【变式5-2】已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为(    ) A．{x|x∈R} B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D． 【答案】D 【解析】由题意知解得<x<5 即定义域为 故选：D. 【变式5-3】周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设矩形的一边长为x，该边的邻边长为，根据矩形的边长大于零即可求解.依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为， 由得，故这个函数的定义域是. 故选：D 题型六：已知函数类型求解析式 【典例6-1】（2026·高一·甘肃白银·开学考试）已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 【典例6-2】（2026·高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 【变式6-2】若正比例函数满足，则的解析式为　________　. 【答案】 【解析】设，由得，解得， 所以. 【变式6-3】（2026·高一·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 【答案】 【解析】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 题型七：已知求解析式 【典例7-1】（2026·高一·山东·期中）已知，则=___________. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，其中. . 【典例7-2】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【解析】设，那么，则 ， 所以，. 【变式7-1】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若函数，则______． 【答案】 【解析】令，解得或， 又， 所以当时，； 故答案为：. 【变式7-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，则函数______． 【答案】， 【解析】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 【变式7-3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数满足，且，则______． 【答案】或2021. 【解析】令，则， 令，则，解得或. 而，故.因此. 则， 即， 因此或 当时，，此时； 当时，. 故答案为：或2021. 题型八：求抽象函数的解析式 【典例8-1】设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 【答案】 【解析】法一：由已知条件得， 又， 令，则， 所以. 法二：令，得， 即， 将用代换得. 【典例8-2】（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【解析】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 【变式8-1】（2026·高一·福建宁德·期末）若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【解析】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 【变式8-2】（2026·高一·广东东莞·阶段检测）设函数定义在上，，，且当时，.若，则______，______ 【答案】 0 /1.3 【解析】由函数方程，令 得到，因为存在使得，所以， 令得到，即； 所以当时，，所以； 当，令 ，则右边 ，左边，因为，所以，所以，即 令 ，则，因为 ，所以，所以， 令，得到，结合，所以 所以，所以. 故答案为： 0，. 【变式8-3】（2026·高一·辽宁·期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 【答案】 【解析】令，有，即， 因为当时，， 所以， 又， 所以， 即，所以， 所以， 令，得，所以， 所以. 故答案为： 题型九：求解析式中的参数值 【典例9-1】（2026·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数________． 【答案】1 【解析】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 【典例9-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知对任意恒成立，则________． 【答案】 【解析】 ， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式9-1】函数满足，则常数____________． 【答案】 【解析】恒成立，即恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 【变式9-2】（2026·高一·海南海口·期中）已知函数，且，则______． 【答案】/0.5 【解析】令 . 故答案为：. 【变式9-3】（2026·高一·山西运城·阶段检测）已知且，则的值为___________. 【答案】3 【解析】由题可知，且， 令，则， ， ，解得：. 故答案为：3. 题型十：函数方程组法求解析式 【典例10-1】（2026·高一·河南安阳·期中）函数 _____ _____ 【答案】 【解析】由于①， 则，整理得②， 则，整理得③， 得， 设，则，则④， 则，即⑤， 得，则，即. ，，有意义可得， 则定义域为. 故答案为：；. 【典例10-2】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是______． 【答案】 【解析】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 【变式10-1】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【解析】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 【变式10-2】已知且，求函数的解析式． 【解析】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 【变式10-3】已知，求的解析式． 【解析】由已知①，， 则②， 所以①②，得，， 所以，. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $