3.1.1 函数的概念【知识清单+10大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念这一核心知识点，从初中变量依赖关系的传统定义过渡到高中非空数集对应的近代定义，明确函数的非空性、任意性、单值性、方向性四个特征，梳理定义域、对应关系、值域三要素及区间概念，搭建函数学习的基础支架。 资料亮点在于典型例题分类系统，涵盖函数关系判断、定义域（具体/抽象/复合）、函数相等、值域（常见/复杂/判别式法）等，结合各地阶段检测题，训练数学思维。课后检测助力查漏补缺，课中辅助教师教学，提升学生用数学语言解决问题的能力。

3.1.1 函数的概念 第一部分：知识清单 知识点一：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点二：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点三：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点四：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 第二部分：典型例题汇总 典例一 函数关系的判断 典例二 区间的关系与运算 典例三 具体函数的定义域 典例四 抽象函数的定义域 典例五 复合函数的定义域 典例六 判断两个函数是否相等 典例七 已知函数值求自变量或参数 典例八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 典例九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 典例十 判别式法求最值 第三部分：典型例题 典例一 函数关系的判断 1．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 2．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 3．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故A错误； 对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确； 对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误； 对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确. 故选：BD. 4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象， 对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念， 故选：ABD. 典例二 区间的关系与运算 5．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】根据并集定义计算即可. 【详解】集合，， 则． 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则__________. 【答案】 【分析】根据函数的定义域和值域，分别求解两个集合，再求并集. 【详解】， ，解得：， 即，， 所以. 故答案为： 7．（25-26高一上·全国·专题训练）已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得区间长度为，然后分，以及讨论，分别计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，且区间中有4个整数， 易知任意区间的区间长度为， 当时，的区间长度为， 此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或. 故答案为：. 8．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）若确定区间满足，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】利用集合关系的区间表示以及区间有意义得出不等关系，解不等式可得结果. 【详解】根据题意可知，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 典例三 具体函数的定义域 9．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的定义域为______. 【答案】 【详解】要使有意义，则，解得且， 的定义域为. 10．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 11．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可. 【详解】由，解得或， 故的定义域是. 故选：B 12．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【分析】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【详解】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 典例四 抽象函数的定义域 13．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到中，解出的范围就是所求的函数的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以对于，有， 则对于，有，解得，则的定义域为. 故答案为： 14．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】应用抽象函数的定义性质计算求解. 【详解】由函数的定义域为， 则函数中，即得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域求法，先求出的范围，得出的范围，据此求的范围即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，故， 所以， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 16．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，即可求解. 【详解】由，得， 所以的定义域为． 故选：D 典例五 复合函数的定义域 17．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答. 【详解】由函数的定义域为，即，得， 因此由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 18．（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 19．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件求得的定义域，再由的定义域求出的定义域即可. 【详解】∵函数的定义域为，即， ∴， 又∵，解得， ∴的定义域为, 故选：. 20．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 【答案】 【分析】由条件可得，，即可得到函数的定义域为，使有意义满足，，然后可建立不等式组求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 典例六 判断两个函数是否相等 21．（25-26高一上·湖北武汉·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据函数同一函数的概念，逐项检验定义域与对应关系即可判断是否为同一函数. 【详解】对于A，与的定义域均为，但，两个函数的对应关系不同，故A不是同一函数； 对于B，的定义域满足，得，故定义域为， 而定义域满足得或，故定义域为， 两函数定义域不相同，故B不为同一函数； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不相同，故C不为同一函数； 对于D，与的定义域均为，且，， 两函数对应关系也相同，故D为同一函数. 故选：D. 22．（25-26高一上·山西晋中·期中）（多选）与函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】若两个函数为同一函数，则定义域相同，解析式相同，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】的定义域为R，当时，，当时，， 选项A：，由，得，且，故A正确； 选项B：，定义域，与的定义域不同，故B错误； 选项C：，定义域为R，解析式与相同，故C正确； 选项D：，定义域为R，解析式与相同，故D正确； 故选：ACD 23．（25-26高一上·江西赣州·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为， 两者相异，故A错误； 对于B，两个函数的定义域均为，且， 两个函数为同一函数，故B正确； 对于C，的定义域为，而的定义域为， 故两者相异，故C错误； 对于D，，两个函数对应法则相异，故D错误. 故选：B. 24．（25-26高一上·辽宁营口·期中）（多选）下列各组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】从定义域、对应法则进行分析，只有定义域、对应法则都相同才是同一个函数. 【详解】，的定义域均为，但是，故A错误； 的定义域为，解得， 的定义域为，解得， 故两个函数的定义域均为，且，故B正确； ，的定义域均为，且，故C正确； 的定义域为，的定义域为，故D错误. 故选：BC. 典例七 已知函数值求自变量或参数 25．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. 26．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 【答案】(1)1， (2)6 【分析】（1）分别令，可得答案； （2）由，解方程可得答案. 【详解】（1）令时，得： ， 令时，得： ， 因此，，. （2）由，得： 解得：， 因此，当 时，. 27．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 【答案】D 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】解：根据题意，当，，则. 当，，则. 综上所述，或1. 故选：D. 28．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数 (1)求函数的定义域 (2)求，的值 (3)当时，求a的值 【答案】(1) (2)2， (3) 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域； （2）代入自变量值，计算得函数值； （3）由代入解析式，计算得解. 【详解】（1）由题意，得，即等价于， 解得或， 所以函数的定义域为. （2），. （3）由，则，且， 所以，解得，符合题意. 所以的值为. 典例八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 29．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数的定义域为___________，其最大值是___________． 【答案】 ； /. 【分析】根据根式的意义求定义域即可；利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而， 当时取得最大值. 故答案为：；. 30．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）函数的值域________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 31．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）若函数的定义域和值域均为，则b的值为________． 【答案】3 【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可. 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 32．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 典例九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 33．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 34．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 35．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】根据给定的函数，利用不等式的性质求出值域. 【详解】函数，当时，，则， 因此，所以函数的值域为. 故答案为： 36．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则函数的值域是___________. 【答案】 【分析】由题设易得，，进而求解即可. 【详解】由，得， 而， 则， 由，得，则，即， 所以，所以， 则函数的值域是. 故答案为：. 典例十 判别式法求最值 37．（25-26高一上·四川成都·期中）函数的值域为_____________． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 38．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 【答案】 【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域. 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 39．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，化简函数并求出值域即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 显然，则，由，得， 所以函数的值域是． 故答案为： 40．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为______________． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·全国·专题训练）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【分析】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应，逐个判断即可. 【详解】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图象都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 4．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解出集合，再根据补集和交集的定义求解. 【详解】，或，， ，，. 故选：D. 5．（25-26高一上·新疆巴州·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】定义域是，值域是， 对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误； 对于B：值域是，值域不同，B选项错误； 对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误； 对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确； 故选：D. 6．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 7．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，可得出，利用基本不等式可求得函数的值域. 【详解】对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为， 因为， 且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，当且仅当或时，等号成立， 所以，又因为，故，故原函数的值域为. 故选：C. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 10．（25-26高一上·河北保定·期中）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列说法不正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】运用相等函数概念，复合函数定义域，结合不等式恒成立计算即可. 【详解】对于A，函数的定义域为的定义域为， 故函数与不是同一个函数，A不正确； 对于B：因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为，B正确 对于C，不等式， 则解集为，C不正确 对于D，当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是，D不正确， 故选：ACD 12．（26-27高一上·湖北·开学考试）要使分式有意义，则的取值范围为___. 【答案】且 【分析】0的0次幂没有意义，偶次根号下被开方数为非负数，分母不能是0. 【详解】 13．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 14．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【分析】利用抽象函数的定义域的求法计算即可. 【详解】由得， 对于函数，需使，解得． 故答案为： 15．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3) 【分析】（1）根据实函数定义域得，再解不等式组即可； （2）根据实函数定义域得，再解不等式组即可； （3）根据实函数定义域得，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：要使函数有意义，则，即，即或． ∴函数的定义域为或； （2）解：要使函数有意义，则，即， 解得或． ∴函数的定义域为； （3）要使原函数有意义，则：，解得， ∴原函数的定义域为． 16．（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）（1）求函数 的定义域； （2）求下列函数的值域： ①； ②. 【答案】(1)且； (2) ①.；②.. 【分析】(1)根据、分式和二次根式的意义即可求出函数的定义域； (2)利用分离常量法即可解①；利用换元法和二次函数的性质即可解②. 【详解】(1)要使函数有意义，需满足 ，即，解得且. 所以函数的定义域为且. (2)①：， 因为，所以，即， 得，即函数的值域为； ②：，由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 函数的概念 第一部分：知识清单 知识点一：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点二：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点三：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点四：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 第二部分：典型例题汇总 典例一 函数关系的判断 典例二 区间的关系与运算 典例三 具体函数的定义域 典例四 抽象函数的定义域 典例五 复合函数的定义域 典例六 判断两个函数是否相等 典例七 已知函数值求自变量或参数 典例八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 典例九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 典例十 判别式法求最值 第三部分：典型例题 典例一 函数关系的判断 1．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 2．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A．B．C． D． 3．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 典例二 区间的关系与运算 5．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，则______． 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则__________. 7．（25-26高一上·全国·专题训练）已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______. 8．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）若确定区间满足，则实数的取值范围为_______． 典例三 具体函数的定义域 9．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的定义域为______. 10．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 11．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 典例四 抽象函数的定义域 13．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 14．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 15．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 16．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 典例五 复合函数的定义域 17．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 19．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 典例六 判断两个函数是否相等 21．（25-26高一上·湖北武汉·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 22．（25-26高一上·山西晋中·期中）（多选）与函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·江西赣州·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 24．（25-26高一上·辽宁营口·期中）（多选）下列各组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 典例七 已知函数值求自变量或参数 25．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 26．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 27．（25-26高一上·云南玉溪·期中）已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 28．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数 (1)求函数的定义域 (2)求，的值 (3)当时，求a的值 典例八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 29．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数的定义域为___________，其最大值是___________． 30．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）函数的值域________． 31．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测）若函数的定义域和值域均为，则b的值为________． 32．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 典例九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 33．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 34．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 35．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数的值域为___________． 36．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则函数的值域是___________. 典例十 判别式法求最值 37．（25-26高一上·四川成都·期中）函数的值域为_____________． 38．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 39．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的值域是______． 40．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为______________． 第四部分：课后检测 1．（25-26高一上·全国·专题训练）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 3．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·新疆巴州·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（25-26高一上·河北保定·期中）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列说法不正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的定义域为 D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 12．（26-27高一上·湖北·开学考试）要使分式有意义，则的取值范围为___. 13．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 14．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 15．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)． 16．（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）（1）求函数 的定义域； （2）求下列函数的值域： ①； ②. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $