26.3 二次函数与一元二次方程 课后达标作业 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3 二次函数与一元二次方程 课后达标作业 2026-2027学年人教版九年级数学上册 一、单选题 1．拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 3．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A． B． C． D． 6．如图，抛物线与直线交于点和点，则当时，的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 7．抛物线与y轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，随的增大而减小 C．图象与x轴交于点， D．顶点坐标为 9．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 10．不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为_______． 12．函数图象与轴的交点坐标是______ 13．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 14．已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 三、解答题 16．如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C． (1)求m的值及点B的坐标； (2)求的面积； 17．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 18．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 19．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 20．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)将该二次函数化为的形式： (2)求二次函数的图象与轴的交点的坐标： (3)在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C B D B D C B 1．【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解方程等知识点，当时，计算出，则抛物线与y轴的交点坐标为，再解方程得抛物线与x轴无交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的性质是解决此题的关键． 【详解】当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∵， ∴方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线与坐标轴有1个交点， 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 4．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 本题由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称轴的位置可判断③，由，，可判断④，然后即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在y轴右侧， ， ， 抛物线与y轴交点在x轴下方， ， ，①正确； 时，，故②正确； 抛物线对称轴为直线， ∴由图象可得，， ∴，即，故③错误； 由图象得，当时，， ， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 5．【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再利用二次函数的增减性可估算解的范围． 【详解】解：观察表格可得： 当时，， 当时，， 从到的这个过程中图象一定会与x轴的相交， 所以的一个解的范围为． 故选：B． 6．【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围． 根据时，即为抛物线在直线上方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：因为直线与抛物线分别交于点和点两点， ∴当时，或， 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，掌握交点坐标的特征是解题关键． 求抛物线与y轴的交点，即令，代入解析式计算y值． 【详解】解：当时， ∴交点坐标为． 故选：B． 8．【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（与坐标轴交点、单调性、顶点坐标），解题关键是通过配方或公式分析二次函数的开口方向、对称轴等核心特征． 通过计算二次函数的性质，包括与坐标轴的交点、增减性和顶点坐标，判断各选项的正误． 【详解】∵ 二次函数 ， 对于A：当 时，，∴ 图象与轴交点为 ，正确； 对于B：对称轴 ，∵ ，∴ 当 时，随增大而减小，时，y随x的增大而减小，正确； 对于C：解方程 ，得 或 ，∴ 图象与轴交点为 和 ，正确； 对于D：顶点横坐标 ，，∴ 顶点坐标为 ，不是 ，错误． 故选D． 9．【答案】C 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可． 【详解】把代入， 得 ， 整理得，， 解得，， ∴对应的自变量的值是或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数恒成立的问题，讨论当，和时，结合题意求出a的取值范围即可． 【详解】解：当时，则， 当时，恒成立； 当时，则， 即，不是任意实数x都成立； 当时，设，函数开口方向向上， 不等式不是对任意实数都成立， 当时，则， 即（无解）或， 解得：， 设，函数开口方向向下， 不等式， 只要，即， ，即或（无解）， 解得：， a的取值为； 综上，a的取值为， 故选：B． 11．【答案】 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 【详解】解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 13．【答案】③ 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 14．【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图象与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线，关于的一元二次方程的一个根为 ∴， 解得， ∴另一根为， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 16．【答案】(1)， (2) 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，三角形面积公式； （1）先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出的值，然后求抛物线与轴的交点坐标，通过解一元二次方程，就可以求出另一个交点坐标； （2）由（1）中的函数解析式求得点的坐标，进而求得的长度，然后根据点、的坐标求得线段的长度，最后根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的一个交点为， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， 当时，， 即：， 分解因式，得：， 解得：，， 点的坐标为； （2）解：由（1）可知：， 当时，， 点的坐标为， ， 又，， ， ， 即：的面积是． 17．【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟悉掌握待定系数法是解题的关键． （1）依据题意，将点坐标代入即可得到的值； （2）依据题意，将点坐标代入即可得到的值． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ； （2）解：由（1）得，二次函数解析式为， 点在这个图象上， ，即， 则， 解得或． 18．【答案】 图象如图所示： 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 19．【答案】(1)0 (2) 如图所示，即为所求； (3) 观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大； (4)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数，得， ∴； （2）略 （3）略 （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即函数与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是． 20．【答案】(1) (2)，； (3) 函数图象如图所示 【知识点】用描点法画函数图象、求抛物线与x轴的交点坐标、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）利用配方法即可化成顶点式； （2）根据解方程即可； （3）由五点法进行作图即可． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， 解得：，， ∴二次函数的图象与轴的交点的坐标，； （3）解：∵二次函数的开口向下，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用平滑的曲线连接即可，如图： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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