26.3 二次函数与一元二次方程 课后作业 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册“26.3二次函数与一元二次方程”同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，通过梯度题型培养数学眼光、思维与语言，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|抛物线与坐标轴交点、方程根直接求解|选择1-2题、填空11-12题，聚焦概念理解，强化运算能力| |中档|函数性质与方程根关系、数形结合应用|选择3-7题、填空13-15题，结合图象推理，发展几何直观与推理意识| |提升|函数与方程综合探究、开放性问题|解答19-20题，通过函数图象分析方程根分布，培养模型意识与创新意识|

26.3 二次函数与一元二次方程 课后作业2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．抛物线与y轴的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 5．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A． B． C． D． 7．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 8．对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．与轴的交点坐标是 D．与轴有两个交点 9．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 10．不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________. 12．若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为________． 13．若抛物线与抛物线与轴交点相同，与轴交点为，则_____，_____，____． 14．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 15．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 三、解答题 16．如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求点的坐标． 17．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 18．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 19．在平面直角坐标系内，二次函数图象的对称轴为直线，且过点，已知函数最小值为． (1)求二次函数解析式； (2)求二次函数图象在直线下方时的取值范围． 20．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A C B D B C B 1．【答案】A 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 2．【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 代入到，求出的值，即可求解． 【详解】解：令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据对称轴公式得到，即可判断④；根据二次函数的图象即可判断，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；由图象可得，当时，，即可代入求解判断③． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故④正确； 由图象可得，， ∴由得，， ∵抛物线与轴负半轴相交， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有个交点， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，， ∴把代入，则，故③错误， ∴正确的有个， 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再利用二次函数的增减性可估算解的范围． 【详解】解：观察表格可得： 当时，， 当时，， 从到的这个过程中图象一定会与x轴的相交， 所以的一个解的范围为． 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 8．【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴开口向下，顶点坐标是， 当时，，则与y轴的交点坐标是， ∵， ∴抛物线与轴没有交点， 综上，只有B选项正确，符合题意． 故选：B． 9．【答案】C 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可． 【详解】把代入， 得 ， 整理得，， 解得，， ∴对应的自变量的值是或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数恒成立的问题，讨论当，和时，结合题意求出a的取值范围即可． 【详解】解：当时，则， 当时，恒成立； 当时，则， 即，不是任意实数x都成立； 当时，设，函数开口方向向上， 不等式不是对任意实数都成立， 当时，则， 即（无解）或， 解得：， 设，函数开口方向向下， 不等式， 只要，即， ，即或（无解）， 解得：， a的取值为； 综上，a的取值为， 故选：B． 11．【答案】或/或 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线开口向上，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．【答案】1 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点横坐标，然后求出两点间的距离即可． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，坐标轴上两点间的距离公式，熟练运用公式是解题的关键． 13．【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点问题 【分析】首先求出抛物线与轴的交点，再根据题意：抛物线与抛物线与轴交点相同，与轴交点为，联立方程组，解出即可． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴令，可得：， 解得：，， ∴与轴的交点分别为，， ∵抛物线与抛物线与轴交点相同，与轴交点为， ∴可得：， 解得：， 故答案为：；； 【点睛】本题考查了抛物线与轴、轴的交点问题，解本题的关键在理解题意，正确列出方程组并解出． 14．【答案】或5 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、函数的三种表示方法、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查求二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识点，从列表中获取信息是解题的关键． 根据列表可知抛物线经过和对称轴，进而求得c，则，即，当时对应的x值，然后根据列表即可解答． 【详解】解：根据列表可知：当时，；当时，；当时，， ∴二次函数的解析式为，对称轴为， ∵， ∴， 由列表可得：当时，． ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，． ∴关于x的方程的解是或5． 故答案为：或5． 15．【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为， 故答案为：． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是： （1）把A的坐标代入求解即可； （2）令，求出对应的y的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：令，则， ∴点的坐标为． 17．【答案】(1)，在 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可． （1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上； （2）求解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：， ∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得： ， 解得：. 18．【答案】 图象如图所示： 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 19．【答案】(1)； (2)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）联立求得二次函数图象与直线交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，最小值为，∴设二次函数解析式为，∵二次函数的图象过点，∴，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：联立，整理得， 解得或，    ∴二次函数图象在直线下方时的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 20．【答案】(1)0 (2) 如图所示，即为所求； (3) 观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大； (4)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数，得， ∴； （2）略 （3）略 （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即函数与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $