圆与方程：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、切线方程问题、弦长问题 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆与方程：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、切线方程问题、弦长问题专项训练 圆与方程：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、切线方程问题、弦长问题专项训练 考点目录 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线方程问题 直线与圆的弦长问题 考点一 点与圆的位置关系 例1．（25-26高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 例2．（25-26高二上·山西运城·期中）已知圆过三点，点，则圆的一般方程为______，点在圆______（内/上/外）． 【答案】 外 【分析】设圆的一般方程为，利用待定系数法，即可求得圆的方程，把点带入圆的方程，进而得到点与圆的位置关系. 【详解】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外. 例3．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据及由点在圆外列式即可求解. 【详解】方程表示圆，则有，解得， 点在圆外，有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用关于的二元二次方程表示圆的条件及点与圆位置的判断方法，列方程组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 所以， 解得， 故答案为：. 变式2．（25-26高二上·河南漯河·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可. 【详解】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 变式3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 故正实数的取值范围是. 故答案为：. 考点二 直线与圆的位置关系 例1．（25-26高三上·北京房山·期末）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离 【答案】C 【分析】联立直线方程和圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据方程解的个数得到直线与圆的交点个数，从而得到直线与圆的位置关系. 【详解】联立，消元得， ∴， ∴或， 由可得，解得， 故当时，方程组存在唯一解，此时直线与圆相切， 当时，方程组存在两个不同解，此时直线与圆相交， 故选：C. 例2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题目条件得到圆心坐标，代入直线方程后得出圆心在直线上，故直线与圆相交，有两个交点. 【详解】由圆的方程可得圆心坐标为， 代入直线方程得， 故圆心在该直线上，于是二者相交，有两个公共点. 故选：C 例3．（25-26高二上·广东广州·期末）过点作直线l，若l与圆有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系来求解. 【详解】由题意可知，直线，圆心，半径为， 因为直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离， 得， 故直线l的斜率的取值范围是. 故答案为： 例4．（25-26高二上·吉林·期中）若直线与圆相切，则实数m的值为________． 【答案】或3 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得． 【详解】由圆心为，半径为1， 即， 则，解得或． 故答案为：或3. 例5．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线，则直线恒过定点______，与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】令含参数项为0求得直线定点，整理曲线方程，由数形结合分析，当直线与曲线相切，即直线经过端点时，从而得到答案. 【详解】直线，当时，，所以直线恒过定点， 曲线整理得，，又∵ 即曲线为以为圆心，半径的上半圆，端点 ①当直线与曲线相切时，∵，即为圆的切线， 但此时直线斜率不存在，舍去， 即圆心到直线的距离，即，则， ②当直线与曲线相切时，， 由下图可知，当直线与曲线有且只有一个交点时，斜率， ∴. 故答案为：；    变式1．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【详解】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 变式2．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】直接用几何法判断直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离，所以直线和圆相交. 故选：A. 变式3．（2026·天津东丽·二模）若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 【答案】 【分析】确定给定圆的圆心及半径，再利用直线与圆相切求出斜率. 【详解】圆的圆心，半径， 点在圆外，而直线与圆相交， 依题意，直线与圆相切，且斜率存在，设其方程为， 由，解得，所以的斜率为. 考点三 切线方程问题 例1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心C，和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程. 【详解】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C 例2．（25-26高二上·天津河西·期中）已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心并求得，应用点斜式写出切线方程. 【详解】设圆心C，则，设切线斜率，则，， 点斜式，整理得. 故选：D 例3．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是__________ ． 【答案】或 【分析】求得圆心与半径，由题意求得对称点，分斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用切线的性质及点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】圆，即， 则圆心，半径， 设点关于的对称点为， 则线段的中点，直线的斜率， 可得，解得，则点， 若直线的斜率不存在，即直线的方程为，此时直线与圆C相切，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或． 例4．（25-26高二上·吉林四平·期中）若直线过点，且与圆相切，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】按的斜率不存在和存在两种情况进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得的方程. 【详解】圆即，则圆心为，半径为3. 直线过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离等于半径，可知此时直线符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 故直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 故答案为：或. 变式1．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 变式2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为： ， 整理，得： 故选：A 变式3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆C：，写出一条过点且与C相切的直线方程__________. 【答案】或 【分析】求出圆心和半径，分析斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在的直线设出直线方程后，由圆心到切线的距离等于半径求得结论． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为1， 过且斜率不存在的直线为，它与圆相切， 过且斜率存在的直线设其方程为，即， 由，解得， 直线方程为， 故答案为：或 变式4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 【答案】或 【分析】结合切线性质，分切线斜率不存在与切线斜率存在进行讨论即可得. 【详解】当切线斜率不存在时，，此时点到直线的距离为， 故是圆的切线，符合； 当切线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 故，即； 综上所述：切线的方程为或. 故答案为：或. 考点四 直线与圆的弦长问题 例1．（2026·广西桂林·一模）轴被圆截得的弦长为_____. 【答案】 【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到轴的距离为，则轴被圆截得的弦长为. 例2．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线被圆截得的弦长等于_____ 【答案】 【分析】先利用圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，最后利用勾股定理求得弦长． 【详解】圆的圆心为，半径. 圆心到直线的距离. 故直线被圆截得的弦长等于. 例3．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆方程为：， (1)写出圆的圆心和半径； (2)求直线被圆截的弦长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可； （2）根据点到直线的距离公式，利用圆的弦长公式求解即可. 【详解】（1）因为圆方程为：， 由配方法可得：圆的方程可转化为， 圆心为，半径为. （2）直线可化为， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 例4．（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的标准方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用待定系数法可求圆的标准方程； (2)利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，可求解直线方程. 【详解】（1）已知三个点，，，设圆的标准方程为，将三个点代入方程得： ，消得：，解得，， 代入可得：， 因此圆的标准方程为：； （2）设直线到圆心的距离为，由弦长公式：， 代入和可解得：， 若直线l斜率不存在，则直线l方程为，此时圆心到直线距离为，舍去； 若直线l斜率存在，则可设直线l方程为，即， 由点到直线距离公式： ，两边平方整理得， 解得或， 因此直线的方程为：或. 例5．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 【答案】(1)证明：直线的方程可化为， 由，解得， 所以直线恒过定点. (2)当的方程为时最短；，最短弦长为； (3) 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组得定点坐标. （2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. （3）利用（2）的信息直接写出圆的方程. 【详解】（1）略 （2）圆的圆心，半径， 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，最短弦长为 所以当的方程为时最短；，最短弦长为. （3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以短弦长为直径的圆的方程. 变式1．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线与圆交于两点．若弦的长为，则的值是___________ 【答案】 【分析】分析可知圆心到直线的距离，结合垂径定理列式求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得：，即，解得. 故答案为：. 变式2．（25-26高二上·天津·期末）直线被圆截得的弦长为，则实数______. 【答案】2或 【分析】利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【详解】圆的圆心坐标为，该圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得或. 故答案为：2或. 变式3．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）通过直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径求解； （2）使用直线与圆相交弦的几何法求解. 【详解】（1）由题意知圆心到直线的距离为：， 解得或（舍），所以圆的标准方程为：. （2）由（1）知圆心到直线的距离为：， 则直线被圆截得的弦长为：， 解得：或. 变式4．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆C的圆心为，且圆C经过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心坐标和经过的点坐标求解即可. （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）由题可设圆的标准方程，则为圆心，r为半径 又由题可知圆心，圆心到点距离 故圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，， 由垂径定理可知，已知， 故，. 变式5．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长． 【答案】(1) 由，知． 由，得. 所以当时，无论取何值，方程都成立. 所以直线恒过定点. (2)当直线过圆心，即时，直线被圆截得的弦长最长； 记直线所过定点为，当时，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，此时. 【分析】（1）直线若过定点，则无论取何值，直线的方程都成立，因此将方程化为，解方程组可得定点坐标； （2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；当圆心到直线的距离最长时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解即可求得相应的的值以及最短弦长． 【详解】（1）略 （2）由（1）知直线恒过定点，记. 由圆的方程，得，半径为5. 如图1，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，且等于直径.    将代入方程可得：. 此时直线方程为：； 如图2，当圆心到直线的距离最长，即时，直线被圆截得的弦长最短.    因为，且所以直线的斜率为-1， 所以直线的方程为：即. 对照方程，得：，解得：. 此时，，所以弦长为：. 故：当直线过圆心，即时，直线被圆截得的弦长最长； 当时，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，此时. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆与方程：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、切线方程问题、弦长问题专项训练 圆与方程：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、切线方程问题、弦长问题专项训练 考点目录 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线方程问题 直线与圆的弦长问题 考点一 点与圆的位置关系 例1．（25-26高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 例2．（25-26高二上·山西运城·期中）已知圆过三点，点，则圆的一般方程为______，点在圆______（内/上/外）． 例3．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 变式1．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是______. 变式2．（25-26高二上·河南漯河·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围为__________. 变式3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______. 考点二 直线与圆的位置关系 例1．（25-26高三上·北京房山·期末）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离 例2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．（25-26高二上·广东广州·期末）过点作直线l，若l与圆有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 例4．（25-26高二上·吉林·期中）若直线与圆相切，则实数m的值为________． 例5．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线，则直线恒过定点______，与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是______. 变式1．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 变式2．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 变式3．（2026·天津东丽·二模）若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 考点三 切线方程问题 例1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·天津河西·期中）已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是__________ ． 例4．（25-26高二上·吉林四平·期中）若直线过点，且与圆相切，则直线的方程为__________. 变式1．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆C：，写出一条过点且与C相切的直线方程__________. 变式4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 考点四 直线与圆的弦长问题 例1．（2026·广西桂林·一模）轴被圆截得的弦长为_____. 例2．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线被圆截得的弦长等于_____ 例3．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆方程为：， (1)写出圆的圆心和半径； (2)求直线被圆截的弦长. 例4．（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的标准方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 例5．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 变式1．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线与圆交于两点．若弦的长为，则的值是___________ 变式2．（25-26高二上·天津·期末）直线被圆截得的弦长为，则实数______. 变式3．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 变式4．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆C的圆心为，且圆C经过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长. 变式5．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $