15.3.1 等腰三角形(第1课时) 学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.3.1 等腰三角形(第1课时) 班级 姓名 . （一）复习引入 有两边相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质. （二）合作探究 探究 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. 定义及相关概念 有 两边相等 的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做 腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做 底角 ，腰和底边的夹角叫做 顶角 . 找一找： 剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角  AB与AC 　∠B 与∠C. BD与CD ∠BAD 与∠CAD AD ∠ADB 与∠ADC 探究 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想. 猜想1 等腰三角形的两个底角相等. 符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C. 应用格式： ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） 证明： 证法1：作底边BC边上的中线AD. 在△ABD与△ACD中： AB=AC（已知）， BD=DC（作图）， AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）. 证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C. 证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D. ∵AD⊥BC， ∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD与Rt△ACD中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）， ∴ ∠B＝∠C 猜想2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线. 求证：AD是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线. 证明 ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD， ∴AD是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线. 符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高. 求证：AD是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线. 证明 ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD， ∴AD是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线. 符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线. 求证：AD是BC边上的中线，AD是BC边上的高. 证明 ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°， ∴AD是BC边上的中线，AD是BC边上的高. 等腰三角形的性质: 等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”. 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.简写成“三线合一”. 填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， (1)∴∠__1___ = ∠__2___，BD____= ___CD_. (2) ∵AD是中线， ∴___AD_⊥_BC___ ，∠___1__ =∠__2___. (3) ∵AD是角平分线， ∴__AD__ ⊥__BC__ ，__BD___ =_CD____. 思考 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？ 答 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. （三）典例分析 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD.求△ABC 各角的度数. 解 ∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD(等边对等角). 设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°. 解得x=36°. 所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. （四）巩固练习 1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. 答 （1）底角的度数为75°，（2）底角的度数为30°. 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数. 解 ∵AB=AD，∴∠B=∠ADB. ∵∠BAD=26°， ∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=77°，∴∠ADC=180°-∠ADB=103°. ∵AD=DC， ∴∠C=∠DAC.∴∠C=(180°-∠ADC)=38.5°. 3.求证 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 符号语言 如图 ，在△ABC中，CD是AB边上的中线，CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 解 ∵CD是AB边上的中线，CD=AB， ∴AD=BD=AB=CD.∵AD=CD，∴∠A=∠ACD. ∵BD=CD， ∴∠B=∠BCD. ∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°， ∴2∠ACD+2∠BCD=180°， ∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形. 4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_75°, 30°__； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _72°,72°或36°,108°___； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ 30°，30° __. 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. ① 顶角+2×底角=180°② 顶角=180°－2×底角③ 底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90° （5） 归纳总结 等腰三角形的性质 注意 性质1 等腰三角形的两个底角相等. 简写成“ 等边对等角” 在同一个三角形中 性质2 等腰三角形 底边上的中线、高及顶角平分线重合. 简写成“ 三线合一 ” 指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. （6） 感受中考 1．（2025·江苏扬州）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（  B  ） A． B． C． D．平分 第1题图 第2题图 第3题图 2．（2025陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2∠C．若AB=5，BC=6，则△ABD的周长为（    C） A．8 B．10 C．11 D．12 3.（2025四川）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B（2m−3,0)，点C(1−m,0)在x轴上，且AB=AC，则m的值是（  D ） A．−2 B．0 C．1 D．2 4．（2025·四川南充）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 证明：（1）， ． ． 在与中， ． （2）∵， ． ， ． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1 等腰三角形(第1课时) 班级 姓名 . （一）复习引入 的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质. （二）合作探究 探究 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. 定义及相关概念 有 的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 . 找一找： 剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角   　 探究 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想. 猜想1 . 符号语言 . 证明 猜想2 . 符号语言 . 等腰三角形的性质1: . 简写成“ ”. 等腰三角形的性质2: . 简写成“ ”. 填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， (1)∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. 思考 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？ （三）典例分析 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD.求△ABC 各角的度数. （四）巩固练习 1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数. 3. 求证 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ __. 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. （5） 归纳总结 等腰三角形的性质 注意 性质1 等腰三角形的 相等. 简写成“ ” 性质2 等腰三角形 重合. 简写成“ ” （6） 感受中考 1．（2025·江苏扬州）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（    ） A． B． C． D．平分 第1题图 第2题图 2．（2025陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2∠C．若AB=5，BC=6，则△ABD的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 3.（2025四川）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B（2m−3,0)，点C(1−m,0)在x轴上，且AB=AC，则m的值是（   ） A．−2 B．0 C．1 D．2 4．（2025·四川南充）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $15.3.1等腰三角形（第1课时） 班级 姓名 (一)复习引入 证明 的三角形是等腰三角形.等腰三角形是 一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还 有一些特殊的性质。 (二)合作探究 探究如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来将 这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出 猜想2 其中重合的线段和角. 符号语言 等腰三角形的性质1： 腰 腰 简写成“ 等腰三角形的性质2： 人底角 底角△ 简写成“ ” 底边 填一填：根据等腰三角形性质定理2完成下列填空， 在△ABC中，AB=AC时， 定义及相关概念 (1).∠ =∠ 有」 的三角形叫做等腰三角形， (2)AD是中线， 等腰三角形中，相等的两边叫做，另一边叫 ∠ 做 ，两腰的夹角叫做 腰和底边的夹 (3),AD是角平分线， 角叫做 找一找： 剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出 的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段 和角 B D C 重合的线段 重合的角 思考在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折 痕“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等 腰三角形具有什么特征？ (三)典例分析 例1如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上， 探究由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的 BD=BC-=AD.求△ABC各角的度数 性质吗？说一说你的猜想 猜想1 符号语言 (四)巩固练习 (六)感受中考 1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角 1.(2025·江苏扬州)在如图的房屋人字梁架中，AB=AC, 的度数 点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是() A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠C C.BD-CD D.AD平分∠BAC 120 (1) (2) 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=26°.求∠B D 和∠C的度数. 第1题图 第2题图 2.(2025陕西)如图，在△ABC中，点D在边BC上， ∠ADB=2∠C.若AB=5,BC-6,则△ABD的周长为() A.8B.10 C.11 D.12 B D 3.(2025四川)如图，平面直角坐标系中，点A在y轴 3.求证如果三角形一条边上的中线等于这条边的 上，点B（2m-3,0),点C(1-m,0)在x轴上，且AB=AC, 半，那么这个三角形是直角三角形 则m的值是() A.-2 B.0 C.1D.2 D B 4.(1)等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为_； 4. (2025四川南充)如图，在五边形ABCDE中， (2)等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为： AB=AE,ACAD,∠BAD=∠EAC (3)等腰三角形一个角为120°，它的另外两个角为 (I)求证：△ABC≌△AED. 结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论. (2)求证：∠BCD=∠EDC. (五)归纳总结 等腰三角形的性质 注意 性 等腰三角形的 质 相等 简写成“ 性 等腰三角形 质 重合 2 简写成“