15.3.1 等腰三角形-导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3 等腰三角形1 知识框架： · 等腰△的概念、性质 · 等腰△的判定 1、 概念和性质 复习回顾等腰△ 在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形， AB、AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角． 探究： 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，剪去阴影部分，展开得到的△ABC有什么特点？ a.得到的△ABC是等腰三角形． b.是轴对称图形． 继续把等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表： 重合的线段 重合的角 AB＝AC ∠B＝∠C BD＝CD ∠ADB＝∠ADC AD＝AD ∠BAD＝∠CAD 发现：两个底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 总结得出等腰三角形的性质： 性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）． 证明的性质过程 1.如图，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C． 证明：如图作底边BC的中线AD，则BD＝CD． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C． 2．问题：性质2能分解成那几个命题？用几何语言如何表示？ （1）“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”； 几何语言表示： 在△ABC中，（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD． （2）“等腰三角形的顶角平分线也是底边上的高和底边上的中线”； 在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，BD＝CD． （3）“等腰三角形的底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线”； 在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD． 一起来证明第（1）个命题． 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC的中线． 求证：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC． 证明：∵AD是底边BC的中线，∴BD＝CD． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC． ∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC． 例题精析 例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD． 求：△ABC各角的度数． 解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD． 设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x， 从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x． 于是在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°． ∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°． 例2：如图，在△ABC中，点D在BC上，且有AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各内角的度数． 解：∵AB＝AC＝CD，∴∠B＝∠C，∠1＝∠2． ∵BD＝AD，∴∠B＝∠3． 又∵∠1＝∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C＝180°， ∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°． 练习1 1．已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为（ ）． A．11 cm B．17 cm C．16 cm D．16 cm或17 cm 2．等腰三角形的一个外角等于100°，那么这个三角形的三个内角分别是（ ）． A．50°，50°，80° B．80°，80°，20° C．100°，100°，20° D．50°，50°，80°或80°，80°，20° 3．如图所示，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是（ ）． A．70° B．110° C．140° D．150° 4． 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC，AC上的点，若AD＝AE，∠BAD＝30°，则∠EDC＝________． 5．如图，AD，BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D． 6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，且∠AEF＝∠AFE．求证：EF⊥BC． 2、 等腰三角形的判定 探究： 1．把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……那么……”形式． 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． 2．逆命题怎么写？真命题吗？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 画△ABC．使∠B＝∠C＝30°，测量线段AB与AC的长度． 发现AB＝AC。命题为真 3．类比等腰三角形性质的证明方法，证明这个命题 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 证一证：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 证明：过A点作AE⊥BC，垂足为E．∴∠AEB＝∠AEC＝90°． 在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE（AAS）．∴AB＝AC． 归纳总结出等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 几何语言表示： ∵∠B＝∠C（已知），∴AB＝AC（等角对等边）． 例题精析 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：AD是△ABC的外角的平分线，AD∥BC（如图）．求证：AB＝AC． 证明：∵AD是△ABC的外角的平分线∴∠1＝∠2 ∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）． ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）． 例2 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，找出图中的等腰三角形． 答案：因为∠A＝36°，AB＝AC，所以∠C＝∠ABC＝72°． 又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC＝＝36°． 所以∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°．所以△ABC，△DBC，△ADB都是等腰△ 练习2 1． 如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°．求从B处到灯塔C的距离． 2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB，求证：OC＝OD． 作业1 1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，则共有等腰三角形的个数是（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法中，正确的有（ ）． ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如果△ABC的∠A、∠B的外角平分线分别平行于BC、AC，则△ABC是（ ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是（ ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 5．如图，△ABC的边AB的延长线上有一点D，过D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE．求证：△ABC为等腰三角形． 检测1 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过D点，且EF∥BC，图中等腰三角形共有（ ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）． A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，BE平分∠ABC，交AC于E，过E作DE∥BC，交AB于D．试证明△BDE是等腰三角形． 4．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 答案 练习1 1． D． 2．D． 3．D． 4．15°． 5．证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B． ∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C．∴∠C＝∠D． 6．证明：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，∴∠BAD＝． ∵∠AEF＝∠AFE，∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，∴∠EFA＝． ∴∠EFA＝∠BAD．∴EF∥AD，∴EF⊥BC． 练习2 1、解：∵∠NBC＝∠A＋∠C，∴∠C＝80°－40°＝40°． ∴∠C＝∠A．∴BA＝BC（等角对等边）． ∵AB＝20（12－10）＝40，∴BC＝40． 2、是等腰三角形．如图可证∠1＝∠2． 3、证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B（等边对等角）． 又∵AB∥DC，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D． ∴∠C＝∠D．∴OC＝OD（等角对等边）． 作业1 1．C． 2．D． 3．A． 4．B． 5．证明：∵DF⊥AC，∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠CEF＝90°． ∵BD＝BE，∴∠D＝∠BED． 而∠BED＝∠CEF，∴∠C＋∠D＝90°，∴∠A＝∠C， ∴AB＝BC，即△ABC为等腰三角形． 检测1 1．D点拨：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都是等腰三角形，共有5个，故选D． 2．C点拨：如图，共有8个格点．注意3和8也是，故选C． 3．证明：∵DE∥BC，∴∠EBC＝∠DEB． ∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC． ∴∠DBE＝∠DEB．∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形． 4．（1）证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE． 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS）．∴AB＝DC． （2）解：△OEF为等腰三角形， 理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC．∴OE＝OF．∴△OEF为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $