15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学学案聚焦含30°角的直角三角形的性质这一核心知识点，通过测量三角板、拼图验证等操作导入，衔接等边三角形知识，构建从具体到抽象的学习支架，系统梳理性质内容、几何语言及证明方法。 该学案注重探究式学习，测量猜想与拼图验证培养几何直观，两种证明方法对比发展推理意识，逆向应用及实际应用题（如灯塔触礁问题）强化应用意识，帮助学生深化理解，提升解决问题能力。

15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 学案 班级：________ 姓名：________ 一、学习目标 1. 掌握含30°角的直角三角形的性质，能运用性质进行简单的计算和证明。 2. 理解性质的两种证明方法，体会构造等边三角形的证明思路。 二、知识梳理 1. 性质内容 【核心知识填空】 在________三角形中，如果一个锐角等于________，那么它所对的________等于斜边的________。 2. 几何语言 【核心知识填空】 在Rt△ABC中， ∵∠C=________，∠A=________， ∴BC=________AB。 3. 证明方法对比 【核心知识填空】 方法①（延长法）：________BC到D，使CD=________，连接AD。 关键：证明△ABD是________三角形。 方法②（截取法）：在________边上截取BD=________，连接CD。 关键：证明△BCD是________三角形。 两种方法的共同思路：构造________三角形。 4. 逆向应用 【核心知识填空】 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的________，那么这条直角边所对的角等于________。 5. 应用要点 【核心知识填空】 （1）前提：必须在________三角形中。 （2）对象：30°角所对的________与________的关系。 （3）注意：性质中的"一半"关系是________角所对的直角边与________边之间的关系。 三、课堂探究 探究1 测量与猜想 （1）测量含30°角的直角三角板，短直角边约为________cm，斜边约为________cm。 （2）你发现了什么关系？________________________________ （3）猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于________，那么它所对的________等于________的一半。 探究2 拼图验证 （1）将两个全等的含30°角的直角三角尺摆在一起，得到的图形△ABD是什么三角形？________ （2）△ADC与△ABC有什么关系？________________________________ （3）由此可推得：BC________AB（填"=2"或"= 一半"）。 探究3 证明方法的理解 方法①（延长法）的证明思路填空： （1）延长BC到D，使________ = BC，连接AD。 （2）由AC是BD的________，可得AB = ________。 （3）由∠B = ________°，可得△ABD是________三角形。 （4）由BD = ________，BC = ________BD，可得BC = ________AB。 方法②（截取法）的证明思路填空： （1）在AB边上截取________ = BC，连接CD。 （2）由∠B = ________°，BD = BC，可得△BCD是________三角形。 （3）由∠ACD = ________°，∠A = ________°，可得AD = ________。 （4）AB = AD + ________ = 2BC，即BC = ________AB。 四、课堂练习 练习1（教材P84） 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ ∠A=________ ∠B=________ AB与BC的关系：________________ 练习2（教材P84） 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度？ ∠B=________ ∠A=________ 例5（教材P83） 如图，点D是斜梁AB的中点，BC⊥AC，DE⊥AC，AB=7.4 m，∠A=30°。求立柱BC，DE的长。 BC=________m DE=________m 随堂演练1 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:2，则等腰三角形的顶角为（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150° 答案：________ 随堂演练2 如图，∠AOB=30°，点C在射线OB上，若OC=6，则点C到OA的距离等于________。 随堂演练3 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E。点D为AB上一点，且AD=AC，CD，BE交于点M。 （1）求∠DMB的度数； ∠DMB=________ （2）若CH⊥BE于点H，求证：AB=4MH。 （请写出证明过程） 随堂演练4 如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，上午8点，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向。 （1）求B处到灯塔C的距离； BC=________n mile （2）已知在以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由。 结论：________（填"有"或"无"）触礁危险。 理由：________________________________ 五、参考答案 知识梳理 参考答案 1. 性质内容 答案：直角；30°；直角边；一半 2. 几何语言 ∠C=90°；∠A=30°；BC = AB 3. 证明方法对比 答案：方法①：延长；BC；等边 答案：方法②：AB；BC；等边 答案：共同思路：构造等边三角形 4. 逆向应用 答案：一半；30° 5. 应用要点 答案：（1）直角 （2）直角边；斜边 （3）30°角；斜边 课堂探究 参考答案 探究1 答案：（1）约6.9；约13.8 （2）短直角边的长是斜边长的一半 （3）30°；直角边；斜边 探究2 （1）等边三角形 （2）关于直线AC轴对称（或全等） （3）= 探究3 方法①：（1）CD （2）垂直平分线；AD （3）60°；等边 （4）AB；； 方法②：（1）BD （2）60°；等边 （3）30°；30°；CD（或BC或BD） （4）BD； 练习1 答案：∠A=30°；∠B=60° 答案：AB=2BC 练习2 解析：延长BC至D，使CD=BC，连接AD，可证△ABD是等边三角形，得∠B=60°。 答案：∠B=60°；∠A=30° 例5 BC = = 3.7(m)；D是AB中点，AD = 3.7(m)；DE = = 1.85(m) 答案：BC=3.7 m；DE=1.85 m 随堂演练1 解析：当顶角为锐角时，高在三角形内部，顶角=30°；当顶角为钝角时，高在三角形外部，顶角=150°。 答案：D 随堂演练2 过C作OA的垂线，在30°直角三角形中，30°所对直角边 = 斜边，距离 = = 3。 答案：3 随堂演练3 解析：（1）∠ABC=60°，∠ABE=30°，∠ACD=∠ADC=75°，∠DMB=75°–30°=45°。 答案：∠DMB=45° 解析：（2）AB=2BC，BC=2CH（30°性质），∴AB=4CH；在Rt△CHM中，∠CMH=45°，∴CH=MH，∴AB=4MH。 答案：证明见解析 随堂演练4 解析：（1）∠BAC=15°，∠CBE=30°，AB=30 n mile，∠ACB=15°，∴∠BAC=∠ACB，∴BC=AB=30 n mile。 答案：BC=30 n mile 解析：（2）过C作CD⊥AB，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=30，BD=15，CD=15√3≈25.98>16，无触礁危险。 答案：无触礁危险。理由：船航线距灯塔最短距离约25.98 n mile，大于16 n mile。 学科网（北京）股份有限公司 $