15.3.1 等腰三角形(第2课时) 学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.3.1 等腰三角形(第2课时) 班级 姓名 . （一）复习引入 1.等腰三角形具备什么样的性质？ 等边对等角、三线合一 2.怎样判断一个三角形是不是等腰三角形？ 有两边相等的三角形是等腰三角形 （二）合作探究 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系? 答 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等. 符号语言 如图 ，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. 证法1 作△ABC的角平分线AD. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴AB=AC. 证法2 作BC边上的高AD. ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴AB=AC. 等腰三角形的判定: 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边”. 符号语言 ∵在△ABC 中，∠B =∠C， ∴AB =AC． 辨一辨：如图,下列推理正确吗? ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC（等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC（等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. （三）典例分析 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 符号语言 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC. 求证：AB=AC. 分析 要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2.所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系. 证明 ∵AD//BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C. 又 AD平分∠CAE. ∴∠1=∠2. ∴∠B=∠C. ∴AB=AC. 例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. 分析 根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形. 作法 如图. (1)作线段AB=a. (2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点 D. (3)在MN上取一点C，使DC=h. (4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. （四）巩固练习 1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. 解 ∵∠A=36°，∠C=72°， ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=72°. ∴∠2=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°. ∴∠1=∠A+∠2=36°+36°=72°. ∵∠ABC=∠C，∠1=∠C，∠A=∠2， ∴△ABC，△BCD，△ABD都是等腰三角形. 2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? 解 由折叠的性质得：∠1=∠2， ∵AB∥CD, ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴△AEC是等腰三角形. 3.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA=OB.求证OC=OD. 解 ∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B， ∴∠C=∠D， ∴OC=OD. 4.上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处.从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求海岛B与灯塔C的距离. 解 由题意得：AB=15×2=30( n mile). ∵∠C=∠NBC-∠NAC=84°-42°=42°， ∴∠C=∠NAC， ∴BC=AB=30( n mile)， ∴海岛B与灯塔C的距离是30 n mile. 5.在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（  B    ） A．a=3，b=3，c=4 B． a:b:c=2:3:4 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A:∠B:∠C=1:1:2 6.已知如图，AD∥BC，BD 是∠ABC 的平分线．试说明△ABD 是等腰三角形． 解：△ABD是等腰三角形，理由是： ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等） ∴∠ADB=∠ABD， ∴AD=BD ∴△ABD是等腰三角形． 能力提升：在△ABC中,已知AB=AC,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB. （1）请问图中有多少个等腰三角形?请一一列举. 答：2个，△ABC，△OBC 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F，则中有多少个等腰三角形? 答：5个，△ABC，△AEF，△OBE，△OBC，△OCF. （2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?若AB≠AC，线段EF和线段EB,FC之间有没有关系? 答：EF=EB+FC （5） 归纳总结 等腰三角形的性质与判定 性质 等腰三角形的两底角相等. 简写成“ 等边对等角 ” 注意是指同一个三角形中 判定 两底角相等 的三角形是等腰三角形. 简写成“等角对等边” （6） 感受中考 1．（2025·吉林）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（  D  ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．（2025·四川眉山）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（  A  ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（2025·四川自贡）如图，，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 4.（2026湖南）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA=OC，若点A的坐标为（1,0)，则点B的坐标为（   A  ） A．(−1,0) B．(0,−1) C．(0,1) D．(−2,0) 第4题图 第5题图 5.（2025盐城）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE，若∠1=20°，则∠2的度数是（ B  ） A．15° B．20° C．25° D．30° 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1 等腰三角形(第2课时) 班级 姓名 . （一）复习引入 1.等腰三角形具备什么样的性质？ 2.怎样判断一个三角形是不是等腰三角形？ （二）合作探究 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系? 等腰三角形的判定 .简写成“ ”. 符号语言 辨一辨：如图,下列推理正确吗? ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC（等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC（等角对等边）. （三）典例分析 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知： 求证： 证明： 例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. （四）巩固练习 1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. 2. 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? 3.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA=OB.求证OC=OD. 4.上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处.从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求海岛B与灯塔C的距离. 5.在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（      ） A．a=3，b=3，c=4 B． a:b:c=2:3:4 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A:∠B:∠C=1:1:2 6.已知如图，AD∥BC，BD 是∠ABC 的平分线．试说明△ABD 是等腰三角形． 能力提升：在△ABC中,已知AB=AC,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB. （1）请问图中有多少个等腰三角形?请一一列举. 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F，则中有多少个等腰三角形? （2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?若AB≠AC，线段EF和线段EB,FC之间有没有关系? （5） 归纳总结 等腰三角形的性质与判定 性质 等腰三角形的 相等. 简写成“ ” 注意是指同一个三角形中 判定 的三角形是等腰三角形. 简写成“ ” （6） 感受中考 1．（2025·吉林）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．（2025·四川眉山）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（2025·四川自贡）如图，，．求证：． 4.（2026湖南）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA=OC，若点A的坐标为（1,0)，则点B的坐标为（     ） A．(−1,0) B．(0,−1) C．(0,1) D．(−2,0) 第4题图 第5题图 5.（2025盐城）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE，若∠1=20°，则∠2的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 学科网（北京）股份有限公司 $15.3.1等腰三角形（第2课时） 班级 姓名 (一)复习引入 例3尺规作图：己知等腰三角形的底边长为α，底边上 1.等腰三角形具备什么样的性质？ 高的长为，求作这个等腰三角形 a h 2.怎样判断一个三角形是不是等腰三角形？ (二)合作探究 思考我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么 (四)巩固练习 它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C-72°.分别计算 等，那么它们所对的边有什么关系？ ∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形 等腰三角形的判定 简写成“ 2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分 符号语言 是一个等腰三角形吗？为什么？ 辨一辨：如图，下列推理正确吗？ A B 3.如图，AC和BD相交于点O,且AB∥CD,OA=OB. 求证OC=OD. .∠1=∠2， ∠1=∠2， D BD=DC(等角对等边)..DC=BC(等角对等边). (三)典例分析 例2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形 A B 的一边，那么这个三角形是等腰三角形， 4.上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速 已知： 度向正北航行，10时到达海岛B处.从A,B望灯塔C, 求证： 测得∠WAC=42°，∠NBC=84°.求海岛B与灯塔C的距离. 证明： 42 5.在△ABC中，已知a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的 过点M画射线CM交边AB于点D.下列结论错误的为 对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的 () 是() A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90° A.a=3,b=3,c=4B.a:b:c=2:3:4 C.DB-DC D.AD+DC=BC C.∠B=50°，∠C=80°D.∠A:∠B:∠C=1:1:2 F D 6.已知如图，AD∥BC,BD是∠ABC的平分线.试说明 △ABD是等腰三角形. B 第1题图 第2题图 2.(2025四川眉山)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, 能力提升：在△ABC中，已知AB=AC,B0平分∠ABC,CO平 AB=6,BC-10.按下列步骤作图：①以点A为圆心，适 分∠ACB 当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；② (1)请问图中有多少个等腰三角形？请一一列举. 分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两 过点O作直线EF/BC交AB于E,交AC于F,则中有多少 弧相交于点P;③作射线AP交BC于点G,则CG的长 个等腰三角形？ 为() (2)线段EF和线段EB,FC之间有没有关系？若有是什么 A.4 B.5 C.6 D.8 关系？若AB≠AC,线段EF和线段EB,FC之间有没有关系？ 3.(2025·四川自贡)如图，∠ABE=∠BAF,CE=CF.求 证：AE=BF」 (五)归纳总结 4.(2026湖南)如图，在平面直角坐标系中，直 等腰三角形的性质与判定 角三角形ABC的斜边AB经过原点O,连接 性 等腰三角形的 注意是指 OC.己知OA=OC,若点A的坐标为(1,0)，则 质 相等。 同一个三 点B的坐标为() 简写成“ 角形中 A.(-1,0)B.(0,-1)C.(0,1)D.(-2,0) 判 的三角 定 形是等腰三角形 简写成“ (六)感受中考 1.(2025吉林)如图，在△ABC中， 第4题图 第5题图 ∠B=45°，∠A>∠ACB>∠B.尺规作图操作如下：(1)以 5.(2025盐城)七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、 点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA,BC于 平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用 点M,N(2)以点C为圆心，BN长为半径画弧，交 七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE, 边CB于点N;再以点N为圆心，MN长为半径画弧，与 若∠1=20°，则∠2的度数是（) 前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M;(3) A.15°B.20°C.25°D.30°