15.3.2 等边三角形(第2课时) 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 人教版八年级上册 15.3.2 含30°角的直角三角形(第2课时) 含30°角的直角三角形 探索并理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算. 经历探索、发现、猜想、证明的过程，体会转化思想. 在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 转化思想 能力培养目标 学习目标 合作探究 问题1：什么是等边三角形？等边三角形具有什么性质？ 三边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形的性质： 边：三边相等 角：三个角相等 三线合一：三条边上中线、高、角平分线都满足三线合一 对称轴：有三条对称轴. 复习引入 等边三角形 三角形 这个三角形有什么特点？ ∠D=90° ∠B=60° ∠A=30° 这个三角形的边之间有什么关系？ 问题2：将等边三角形对折，可以得到一个三角形，这个三角形有什么特点？ 合作探究 探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论?再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗?证明你的结论. 结论：BC=AB. 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴AB=AD. 又∵∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB. 又BD=2BC， ∴BC=AB. 合作探究 猜想：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半. 分析：要证明BC=AB，只要证明2BC=AB.为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可. 证明方法：倍长法 你还有其他证明方法吗？ 证明：如图，作∠BCE =60°， 交AB于E，连接CE， 则∠ACE =90°-60°=30°. 在△ABC 中， ∵∠ACB=90°，∠A =30°， ∴∠B =60°． 在△BCE 中， ∵∠BCE=60°，∠B =60°， ∴△BCE 是等边三角形． ∴BC =BE =CE． 在△ACE 中， ∵∠A=30°，∠ACE =30°， ∴CE =AE． ∴BC =BE =CE =AE． ∴BC =BE =AE =AB． 合作探究 猜想：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半. E 证明方法：截半法 合作探究 含30°的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言： ∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°， ∴BC =AB． 小试牛刀 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AB的长为( ) A．30 B．15 C．12 D．10 C 典例分析 例5 图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°·求立柱BC，DE的长. 解: ∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°， ∴BC=AB，DE=AD. ∴BC=×7.4=3.7(m) 又 AD=AB， ∴DE=AD=×3.7=1.85(m). 答：立柱BC的长是 3.7 m，DE的长是1.85 m. 解 ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∵∠B=2∠A， ∴∠A+2∠A=90°， ∴∠A=30°，∠B=60°. ∴AB=2BC. 巩固练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度?边AB与BC之间有什么关系? 解：延长BC至点D，使DC=BC. ∴AC垂直平分BD，BD=2BC. ∴AB=AD. ∵AB=2BC， ∴AB=BD， ∴AB=BD=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠BAC=90°-∠B=30°. 巩固练习 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度? 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1 A B C D 巩固练习 4.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______. A C B 8 巩固练习 5.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. A C B D 15 ° 15 ° 20 解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°， ∴CD= AC= ×20=10. ) ) 巩固练习 巩固练习 6.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，点E，F在等腰三角形ABC的内部，连接AE，EF，CF使∠BAE=∠AEF=60°，且CF平分∠ACB.若AE=8，EF=5，则AB= . 13 归纳总结 含30°的直角三角形的性质 图示 性质1 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么 等于 . 符号语言 使用要点 注意 它所对的直角边 ∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°， ∴BC =AB． 斜边的一半 找准30 °的角所对的直角边，点明斜边 前提条件：直角三角形中 感受中考 1.（2026甘肃）如图，矩形纸片ABCD的边BC上有一点E，将纸片沿AE折叠，点B落在点B′．若∠CEB′=60°，AB=3cm，则点B′到AD的距离等于______cm． 感受中考 2.(2024·内蒙古)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交 BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是( ) A.8 B.16 C.12 D.24 B 感受中考 3.（2026四川）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2，BC=6，∠B=30°，则△ABD的面积为_______． 感受中考 4.（2026湖南）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=3．分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD． (1)求∠CAD的度数； (2)求BD的长． 解：（1）∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠C=∠B=30°， 根据作图可知MN为AB的中垂线， ∴AD=BD， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠CAD=180°−30°−30°−30°=90°； 解：（2）∵∠CAD=90°，∠C=30°， ∴AD=CD， ∴BD=CD， ∴BD=BC=×3=1． 4.（2026湖南）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=3．分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN交BC于点D，连接AD． (1)求∠CAD的度数； (2)求BD的长． 感受中考 $