精品解析：湖南省长沙市第一中学2027届高三上学期月考二数学试题

高三数学二 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 所以． 2. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得，， 故，则中的元素个数为3. 3. 已知，且是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 所以． 由于为偶函数，所以对任意x， 均有． 取，得，从而． 结合，得． 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. C. 240 D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项，即可得到，再代入计算可得； 【详解】解：二项式展开式的通项为， ，则的系数为； 故选：C. 5. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧上的点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用数量积的运算律可得，再利用数量积的定义求解. 【详解】. 6. 函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作．类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数．若，则（ ） A. 100 B. 5049 C. 5050 D. 5052 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数进行多次求导，找到导数的规律，最后进行代值求和. 【详解】，， ，， 可得， 求和时每四项的三角函数值之和为0， 故. 7. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 8. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用垂直直线联立求出A点坐标，由线段比例得到向量关系求出B坐标，代入双曲线方程得到a，b，c关系，再用椭圆、双曲线的定义求出椭圆长半轴，最后算椭圆离心率. 【详解】设，其中，，则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， ，故， ，， 由双曲线定义得，所以， 设椭圆的长轴长为， 由椭圆和双曲线共焦点和椭圆定义得， 所以椭圆半轴长为， 所以椭圆的离心率为. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 数据，，，，的第百分位数是 B. 若随机变量，，则 C. 已知随机事件与相互独立，且，，则 D. 已知，，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合百分位数计算、二项分布期望公式、独立事件和事件概率运算、条件概率与事件独立性的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，该组数据共个，计算第百分位数位置为， 所以第百分位数为，故A错误； 对于B，已知随机变量，，可得，解得，故B正确； 对于C，已知随机事件与相互独立，且，， 则， 根据和事件概率公式，故C错误； 对于D，已知，即， 因此，故D正确. 10. 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求得函数的极值，进而结合题意求得，再根据得，根据极值点与零点关系得，再依次讨论各选项即可. 【详解】由已知， 令，解得或， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 又函数有三个不同的零点，，， 所以的极大值，且的极小值， 解得， 因为函数有三个不同的零点，，，其中， 所以，， 所以， 对于A，，故正确； 对于B，若存在实数，使得，，成等差数列， 则，解得，满足，故正确； 对于C，根据三次函数零点与极值点的关系，有，即， 所以，故错误； 对于D，因为，， 所以，， 因为， 所以，故正确. 11. 已知正方体的棱长为6，，，分别为，，的中点，为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是（ ） A. 经过，，三点的截面形状为四边形 B. 点到经过，，三点的截面的距离为 C. 存在点，使得点和点到平面的距离相等 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，在正方体的后面作一个等大的正方体，连接得到 ，取的中点，连接，得到 ，连接 ， ，连接 ，得到四边形 为经过 ， ， 三点的截面；选项B，求出平面 的法向量为，利用公式求解；选项C，利用线段 的中点四点共面求解；选项D，证明，，确定球心，进而求出球半径，利用球的表面积公式求解. 【详解】对于A，在正方体的后面作一个等大的正方体， 因为 为 的中点，所以 ， 连接， ，取的中点，连接，则 ， 连接 ， ，连接 ， 则四边形 为经过，， 三点的截面，其形状为四边形，故A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面 的法向量为， 则，即，则可取， 又，，， 设点到平面 的距离为 ， 则，故B错误； 对于C，若点和点到平面的距离相等， 满足两种情况，平面 直线 ，或平面过 的中点， 记线段 的中点为，设，， 则四点共面的条件为， 即， 即，解得 ， 因为 为正方形内一点（包含边界）， 所以 ， 所以 的点全部落在正方形内， 例如取，即可满足条件， 因此存在点 ，使得点和点到平面的距离相等，故C正确； 对于D，因为，，，， 所以，，，， 所以， ， 所以，， 即为直角三角形，为其斜边，为直角三角形，为其斜边， 设的中点为，则， 所以为三棱锥外接球球心，球的半径为， 所以三棱柱 外接球的表面积为 ，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线在处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】由导数的几何意义表示出曲线在和在点的切线方程，根据倾斜角互补得到在点的切线的斜率值，求出. 【详解】设，， 函数的导函数为，所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 函数的导函数为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 直线的斜率为， 因为曲线在处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补， 所以两直线斜率互为相反数，故直线的斜率为， 所以，所以. 13. 已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将等式变形，再利用二倍角公式求出，利用正弦定理及得到， ，利用两角差的正弦公式展开，再结合的取值范围求出三角函数的值域. 【详解】因为 ，所以， 则变为， 由正弦定理 ，得， 中，约去得 ， 因为，是锐角三角形，，， 所以，得，，得，所以， 是锐角三角形，所以，且，即， 所以 ， ，， ，， 所以 因为，所以，所以. 14. 如果数列满足：，对任意，都有，，则称为“自然速增数列”．若数列为“自然速增数列”（，，，…，），且，，，则正整数的最大值为______，使取得最大值的数列有______个． 【答案】 ①. 70 ②. 42 【解析】 【分析】对于第一个空总差值固定为2494，要项数最多就让相邻差尽可能小；差必须严格递增，最小从2开始依次加1，计算总和不超2494的最大项数即可；对于第二个空确定70项后，总差值比最小情况多出10；将这10分配到各差值中且保持差递增，本质就是10的整数分拆数，对应满足条件的数列个数. 【详解】设（）， 由且，得；由， 变形得，即，因此是严格递增的正整数列， ，，得，由， 代入，，得， 要使项数最大，需差数列的总和尽可能小，严格递增且首项的正整数列， 总和最小的形态是公差为1的等差数列：， 此时最小总和为， 令，即， 时，，满足， 时，，不满足， 故的最大值为； 当时，差数列共69项，满足，，且， 严格递增且首项的正整数列满足， 令，则，且由可推得， 即是非负单调不减数列，即 总和， 因此剩余可分配的增量和为， 因为总和只有10，所以非零的数最多有10个（每个至少为1），剩余位置都是0； 又因为数列单调不减，0全部排在前面，非零数按从小到大排在后面， 这就等价于：把10拆成若干个正整数的和，不计顺序（按从小到大书写），有多少种拆法. 每一种拆分，对应“把拆分的数放到数列尾部、前面补0”，得到唯一符合条件的数列； 反过来每个合法的数列，也对应一种10的拆分，两者一一对应. 我们按拆分的正整数个数，从1项到10项依次枚举计数： 拆成几项 所有拆分方式（从小到大排列） 拆法数 1项 1 2项 5 3项 8 4项 9 5项 7 6项 5 7项 3 8项 2 9项 1 10项 10 个1相加 1 将所有拆法数相加得(个)， 由于总共有69个位置，远大于最多需要的10个非零位置，所有拆分都可以完整放入， 因此满足条件的数列共有个. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件；及是等差数列求解即可； （2）分组后利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则， 所以； 【小问2详解】 由已知， 所以， 由（1）， 因为， ， 所以， 所以. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，四棱锥的体积为，． （1）求证：平面； （2）是否存在点，使平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）在三棱柱中，上底面下底面，因此， 已知，根据平行线的性质，可得， 又因为平面平面，且它们的交线为，， 且在平面内， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 因为直线在平面内，所以， 直线和是平面内的两条相交直线（交于点 ）， 因此，根据线面垂直的判定定理，平面. （2）存在满足条件的点，此时或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线即可； （2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， 所以 且，又由题设，因此，两两垂直， 以为原点，分别以的方向为轴的正方向， 以过点且平行于的直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知，则，所以，，， 设的坐标为（）， 由于， ， 所以，解得 ， 所以，则， 所以，，， 点满足，其中，，所以， 设平面的法向量为，，， 则，令，则，所以 ， 设平面的法向量，，， 则， 令，则， 所以 ， 设平面与平面所成角为，为锐角， 则， 因为，所以，所以， 两边平方得 ， 化简得， 解得或， 这两个解都在范围内， 因此存在满足条件的点，此时或. 17. 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次． （1）求第2次操作取到的是白球的概率； （2）求第2次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率； （3）记连续操作3次后箱子中白球的个数为，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2） （3） X 3 4 5 6 P ． 【解析】 【分析】（1）根据全概率计算公式计算求解即可； （2）结合（1），根据条件概率公式计算求解即可； （3）列举随机变量的所有可能取值，计算对应概率即可列出分布列，根据数学期望计算公式计算可得数学期望. 【小问1详解】 设第次取到白球为事件（，2，3），则取到黑球为事件， 所以； 【小问2详解】 结合（1）可知：，， 记第1次取到白球且第2次取到黑球为事件， 则， 又因为，所以； 【小问3详解】 的可能取值为3，4，5，6，于是有： 表示3次操作均取到黑球，故：， 表示3次操作中只有一次取到白球，另外两次均取到黑球， ， 表示3次操作中有两次取到白球，一次取到黑球， 表示3次操作均取到白球，， 分布列为： X 3 4 5 6 P 所以． 18. 已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． （1）求抛物线的方程； （2）记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由，求出点的坐标，代入抛物线方程求解即可； （2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，，由，，，四点共圆可得，从而得，代入的表达式，得，求解即可； （ⅱ）先求出点的横坐标，由三角形的面积可得，求出的范围即可得答案. 【小问1详解】 因为点，则， 又， 则， 所以， 代入抛物线：， 得到，解得， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为直线方程为， 设，， 联立， 消得到， 则，， 当，，，四点共圆时， 则有，， 故，则， 所以， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，， 所以， 即， 整理得到， 又，所以， 故直线的方程为． （ⅱ）由，，得到直线：， 由，，得， 直线：， 联立方程， 解得， 由，， 得， 所以， 又 ， 当时，由，得， 又直线的斜率， 则， 所以， 故的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 故要证，需证，即证， 即证（*）， 令，则． 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 令，从而由（*）只需证． 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，从而恒成立． （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可求出； （2）利用同构思想求证即可； （3）令，分、两种情况讨论其单调性求最大值，得出，再构造函数即可求出． 【小问1详解】 的定义域为，令，即， 即，即， 设，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减，所以． 又，当时，；时，． 画出的大致图象如图所示． 函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使, 由图象可得，实数a的取值范围为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 时，恒成立，即恒成立， 也即恒成立． 设函数， （ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减． 且当时，，与题意不符； （ⅱ）当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 依题意，，即， 所以， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，最大值为． 故， 所以，当，时等号成立． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 已知，且是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. C. 240 D. 5. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧上的点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作．类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数．若，则（ ） A. 100 B. 5049 C. 5050 D. 5052 7. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 8. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 数据，，，，的第百分位数是 B. 若随机变量，，则 C. 已知随机事件与相互独立，且，，则 D. 已知，，若，则 10. 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 11. 已知正方体的棱长为6，，，分别为，，的中点，为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是（ ） A. 经过，，三点的截面形状为四边形 B. 点到经过，，三点的截面的距离为 C. 存在点，使得点和点到平面的距离相等 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线在处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则__________． 13. 已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 14. 如果数列满足：，对任意，都有，，则称为“自然速增数列”．若数列为“自然速增数列”（，，，…，），且，，，则正整数的最大值为______，使取得最大值的数列有______个． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，四棱锥的体积为，． （1）求证：平面； （2）是否存在点，使平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17. 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次． （1）求第2次操作取到的是白球的概率； （2）求第2次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率； （3）记连续操作3次后箱子中白球的个数为，求的分布列和期望． 18. 已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． （1）求抛物线的方程； （2）记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $