精品解析：湖南省长沙市第十五中学2027届高三上学期9月素质评价数学试卷

长沙市第十五中学九月综合素质评价 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设为虚数单位．若复数满足，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，解得，即， 即 ，则选项B正确. 2. 若函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 3. 在中，.若于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题，B，C，D三点共线，可设，然后由 可得答案. 【详解】由图及题，B，C，D三点共线，则. 又于，则 . ， 则. 故选：B 4. 若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ） A. B. 1015 C. D. 1014 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 5. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间数比较即得. 【详解】∵幂函数是[0,+∞）上单调递增，∴； ∵指数函数是单调减函数，∴. ∴ ∵对数是(0,+∞)上的单调减函数， ∴， ∴. 故选：A 6. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（ ） A. 2% B. 3% C. 4% D. 5% 【答案】B 【解析】 【分析】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的，由全概率公式求. 【详解】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的. 则，，,,，. 由全概率公式：. 即. 故选：B 7. 已知非零向量，，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量定义先求，再根据范围确定与的夹角. 【详解】根据投影向量定义，在上的投影向量为， 将代入化简得， 即.又因为， 所以. 8. 马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 的数学期望 【答案】B 【解析】 【分析】本题是马尔可夫链状态转移概率问题，先枚举一次交换的所有情况算出与；再建立递推关系式，通过构造法证明是等比数列；利用对称性得到，代入期望公式求得数学期望，从而判断四个选项对错． 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，当时， ， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； 对于D，， ， ， 因为，所以， 所以，D正确． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数（）相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（    ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上的值域为 D. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简函数的解析式为，结合题意求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，化简得， 由题意知周期，得，所以， 对于A，当时，，，故A项错误； 对于B，当时，，，故B项正确； 对于C，当时，，故，故C项正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 得到，再向左平移个单位， 可得，故D项错误. 故选：BC. 10. 已知定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的单调递增函数，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 不等式的解集为 D. 函数至少有四个极小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法分析判断，对于B，根据偶函数定义分析判断，对于C，根据题意将不等式转化为,然后结合函数的奇偶性和单调性求解即可，对于D，举例分析判断. 【详解】对于A，由， 令，得，得， 令，得，解得，故A错误； 对于B，因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，不等式， 即，即， 由为偶函数，得， 又是区间上的单调递增函数， 所以解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，由得， 令，则，故可设， 则，. 当时，，令，则， 令，得；令，得， 故在上单调递减，在上单调递增. 又，当时，， 所以当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以是在上唯一的极小值点. 由函数是偶函数可得，在定义域内有两个极小值点，故D错误. 故选：BC. 11. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. ，，，…，中最大的是 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，将原等式化为，再利用赋值法、二项式系数的性质求解判断ABC；两边求导并赋值计算判断D. 【详解】令，则原等式化为， 对于A，，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当为小于25的偶数时，， 当为不大于25的奇数时，， 而时，且最大，因此最大，C正确； 对于D，由两边求导得， 当时，D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出与的坐标，利用两向量夹角为锐角等价于两向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式求解后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，，则 ，， 由，可得，整理得，解得，  又两向量共线满足坐标关系 解得，此时，需舍去， 综上，的取值范围是. 13. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有_________种.（用数字作答） 【答案】288 【解析】 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 14. 函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由三角恒等变换公式将函数化简，然后由函数的零点列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 令，即恰有三个实根， 三根为：① ，k， ∵，∴， ∴无解； 或， 当时，解得的范围为， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知数列的前项和为，且满足，，求数列的通项公式． （2）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． ①求数列的通项公式； ②设，记的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）① ②可知， 则， 由，所以. 【解析】 【分析】（1）根据数列前项和的性质，通过作差法求出数列递推公式，判断数列的性质，进而求出通项公式； （2）①根据等差数列的性质，以及等比中项的概念，列出方程，求出数列公差，写出通项公式； ②根据裂项求和法，求出数列的前项和，进而判断的范围即可. 【详解】（1）由题意可知，可得， 得，即，即， 可得数列从第二项开始，后面每一项都是前面一项的2倍， 由题意可知，所以. （2） ①由题意可得，即， 代入得，化简得， 由，解得，所以. ②略. 16. 在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） （3）存在，1 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行得判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）设，由题意可得，进而可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，所以， 因为平面，， 所以平面，所以，，两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则令得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为， 设，则，又， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. 【小问2详解】 由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. 【小问3详解】 由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. 18. 已知椭圆经过点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆与，两点，且，不在轴上. （i）若，求直线的方程； （ii）为椭圆右顶点，直线，与直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，.证明为定值，并求出该值. 【答案】（1） （2）（i）或. （ii）设点，. 直线交直线于， 则，同理得. （方法一）设直线， 由（i）知，，. 则 . （方法二）当的斜率不存在时，可知直线，则，， 直线，令得， 直线，令得， 则； 当的斜率存在时，设直线. . 由（i）知，. 则 . （方法三）设椭圆的左顶点为点，点所对的准线为， 故分别连接并延长与相交，必有三点共线，三点共线. 连接，，根据椭圆的第二定义可知，， 则， 则由外角平分线定理可知是的外角平分线， 同理可得，是的外角平分线，故. 设准线与轴交于点，故， 则. 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）设直线或，与椭圆联立，根据弦长公式求解； （ii）结合（i）中的两种直线方程，求出斜率化简即可；或设椭圆的左顶点为点，可得三点共线，三点共线，再结合椭圆的第二定义以及外角平分线定理可得，再由射影定理和斜率公式化简. 【小问1详解】 由题意可得，，设， 因为椭圆过点得，得，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）（方法一）由题意知，，，， 设点，，直线， 联立，得. 则，， 则， 解得，即. 故直线为或. （方法二） 由题意知，，，. 当直线的斜率不存在时，不满足题意. 设的斜率为，点，，直线. 联立，得， 则，. 则， 解得，，故直线为或. （ii）略 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意正实数x，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）由(1)知，当时，(因为时才取等号)，即：， 因为，两边同时除以，可得：. 构造函数，求导得，因为， 所以，故，所以函数在上单调递增， 有：，即，两边取倒数， 得：， 将两次放缩的结果结合起来，对于任意实数，， 现在，我们令分别取，可以得到以下个不等式： ，，，， 将这个不等式左右两边分别累加得：， 其中， 即，得证. 【解析】 【分析】（1）赋值后，对函数求导研究单调性，即可得解； （2）运用题（1）的结论，再对进行分类讨论，即可得解； （3）运用题（1）的结论可知当时，，再证明当时，，继而证得，综上有，再令分别取，得到个不等式，再将不等式两侧分别累加，即可得证. 【小问1详解】 当时，，， 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增. 因此在处取得最小值. 【小问2详解】 已知条件等价于对任意，不等式恒成立， 我们可以结合第（1）问的结论来进行分类讨论： 由（1）可知，当时，恒成立，当且仅当时等号成立. ①当时：当时，，从而，此时，即恒成立，符合题意； ②当时，若要对任意正实数都有恒成立，则对于特殊的点也必须成立， 将代入函数得：，因为且，所以， 故，与题设条件“恒成立”矛盾，因此不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第十五中学九月综合素质评价 数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设为虚数单位．若复数满足，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，.若于，则（ ） A. B. C. D. 4. 若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ） A. B. 1015 C. D. 1014 5. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（ ） A. 2% B. 3% C. 4% D. 5% 7. 已知非零向量，，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 的数学期望 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数（）相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（    ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上的值域为 D. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得 10. 已知定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的单调递增函数，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 不等式的解集为 D. 函数至少有四个极小值点 11. 设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. ，，，…，中最大的是 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 13. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有_________种.（用数字作答） 14. 函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知数列的前项和为，且满足，，求数列的通项公式． （2）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． ①求数列的通项公式； ②设，记的前项和为，求证：． 16. 在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 18. 已知椭圆经过点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆与，两点，且，不在轴上. （i）若，求直线的方程； （ii）为椭圆右顶点，直线，与直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，.证明为定值，并求出该值. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若对任意正实数x，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $