湖南省2026-2027学年高三上学期10月数学联考模拟卷

湖南省2026-2027学年高三上学期10月 数学联考模拟题 （范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得，故. 等价于且，整理得， 故. 由补集定义，结合全集为得. 故选：C. 2.设，则的大小关系为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，对数函数为增函数，由得，故. ，对数函数为减函数，由得，故. ，指数函数为增函数，由得，故. 结合得. 故选：D. 3.函数在处的切线方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得，故切点为. 因为，所以时，求导得，代入得，即切线斜率为. 由点斜式得切线方程为，整理得. 故选：D. 4.若函数是偶函数，则（） A.0 B. C. D. 【答案】D 【解析】因为是偶函数，所以，整理得，即是偶函数. 由是偶函数得，结合，故. 代入化简得，计算得. 答案为D. 5.已知函数，若且，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，定义域为. 由，得的图象关于直线对称. 令，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当且仅当即时，取得最小值. 在上单调递增，结合复合函数单调性得在上单调递减，在上单调递增. 由得，两边平方整理得. 因为，所以，即. 故选：B. 6.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由正弦定理得，代入，得， 化简得. 由二倍角公式整理得，结合辅助角公式得. 因为，所以，从而，故， 解得. 故选：B. 7.在中，角、、的对边分别是、、若则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由正弦定理，得（为外接圆半径）. 由得 故即. 因为所以 代入上式得整理得 即 两边同除以（），得. 设则.由正弦定理 分子分母同除以得. 因为（当且仅当时取等号），故. 又所以 即最大值为. 答案为B. 8.已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（） A. B.为减函数 C.的值域为 D. 【答案】D 【解析】对于选项A，令， 代入原式得，解得或. 当时，令， 整理得，令代入原式得， 计算得，两式矛盾， 故. 验证得成立，因此A错误. 对于选项B，令，结合得，是上的增函数，故B错误. 对于选项C，，求导得， 当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增，最小值为. 因此的值域为，故C错误. 对于选项D，， 由基本不等式得， 故，即，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知，则下列各选项正确的是（） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】因为,所以, 由,,,得,故,A正确； 取,,,则,, 所以,B错误； 由得,则, 所以,C正确； 取,,,则,, 所以,D错误； 答案为AC. 10.若函数，则下列说法正确的为（） A.是函数一个对称中心 B.函数在上的值域为 C.若，则 D.若函数在上恰好有两个极值点， 【答案】ABD 【解析】. 对A选项，代入得，故，由正弦函数对称中心性质得是的一个对称中心，故A正确. 对B选项，时，，可得，从而，即在上的值域为，故B正确. 对C选项，由得，故，，化简得，，即，与选项给出区间不一致，故C错误. 对D选项，求导得，令，得，，整理得，，时，前三个极值点依次为，，，若在上恰好有两个极值点，则，即，故D正确. 故选：ABD. 11.已知函数，则下列说法正确的是（） A.是函数的一个极小值点 B.函数的对称中心为 C.过点能作两条不同直线与相切 D.函数有个零点 【答案】ABD 【解析】，求导得. 令， 解得，，或时，单调递增，时，单调递减， 故是的一个极小值点，A正确. 计算， 化简得，由此可得的对称中心为，B正确. 设过点的切线切点为，切线斜率为， 由切线过点得，整理得， 解得唯一根， 故过点仅能作一条切线与相切，C错误. 令，则等价于，解方程得三个根，，，满足， 结合的极值与单调性，有个不同实根，和各有个不同实根， 故共有个零点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，且，则的最小值为                  . 【答案】 【解析】由得.即，且. . 当且仅当，即，结合.解得，满足条件. 故的最小值为. 故答案为：. 13.已知的面积为，，则的最小值为                   ． 【答案】 【解析】由与联立，得，解得. 由三角形面积公式得，化简得. 由余弦定理得，整理得，结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 14.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为                   . 【答案】 【解析】的定义域为，分情况讨论实数的取值. 当时，，当时，不符合题意. 当时，代入得，不符合题意. 当时，设，， 由基本不等式得， 当且仅当时取等号.若， 即，取，得，， 故，不满足题意. 若， 即，要在上恒成立，需在上恒成立，求导得， 当时，当时，故在上单调递增， 在上单调递减.由此得，令，解得， 故. 综上可得实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】解：(1)当时,不等式为,得, 故.或, 故或或. (2)因为是的充分条件,所以. 当时,,得,满足. 当时,,故. 由,得或,结合,得. 当时,,故. 由,得,得. 综上,实数的取值范围为. 16.已知为锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】解：(1)由,得．由, 得,故． 由二倍角公式,得． (2)由为锐角,得． 由,得,故． 由,得． 由,得． 17.设函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值． 【答案】解：(1)由,得.,即. 结合且,得.故,定义域为. 由,得.,即. 结合,得. 故不等式的解集为. (2)令,当时,,则. 当时,在上单调递增. 的最大值为,最小值为. 由最大值与最小值之差为1,得., 故. 当时,在上单调递减. 的最大值为,最小值为. 由最大值与最小值之差为1,得. ,即,故. 综上,的值为或. 18.在中，分别是角所对的边，且满足. (1)求的大小； (2)点是边上一点，且满足， ①求的值； ②求的值. 【答案】解：(1)由及正弦定理,得. 因为,故,得. 由, 代入上式得, 化简得. 因为,故. 因为,所以. (2)①由,得. 在中,由正弦定理得. 在中,由正弦定理得. 两式相乘得. 由,得. 因为,故. ②由,得,故. 代入得. 展开得. 两边乘4得. 由辅助角公式得. 因为,故. 所以或,解得或. 当时,,与原式分母不为0矛盾,舍去. 故,,由正弦定理得. 19.设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． (ⅰ)求的取值范围； (ⅱ)证明：，． 【答案】(1)解：因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． (2)(ⅰ)解：， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． (ⅱ)证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026-2027学年高三上学期10月 数学联考模拟题 （范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合，，则（） A. B. C. D. 2.设，则的大小关系为（） A. B. C. D. 3.函数在处的切线方程为（） A. B. C. D. 4.若函数是偶函数，则（） A.0 B. C. D. 5.已知函数，若且，则（） A. B. C. D. 6.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（） A. B. C. D. 7.在中，角、、的对边分别是、、若则的最大值为（） A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（） A. B.为减函数 C.的值域为 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知，则下列各选项正确的是（） A. B. C. D. 10.若函数，则下列说法正确的为（） A.是函数一个对称中心 B.函数在上的值域为 C.若，则 D.若函数在上恰好有两个极值点， 11.已知函数，则下列说法正确的是（） A.是函数的一个极小值点 B.函数的对称中心为 C.过点能作两条不同直线与相切 D.函数有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，且，则的最小值为                  . 13.已知的面积为，，则的最小值为                   ． 14.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为                   . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 16.已知为锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 17.设函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值． 18.在中，分别是角所对的边，且满足. (1)求的大小； (2)点是边上一点，且满足， ①求的值； ②求的值. 19.设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． (ⅰ)求的取值范围； (ⅱ)证明：，． 学科网（北京）股份有限公司 $