22.3.6 相似三角形的应用2 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册 相似三角形的应用\(\boldsymbol{2}\)（盲区、遮挡、标尺、小孔成像） ## 一、知识点梳理 ### 核心模型：视线遮挡 / 盲区模型（A字型） 原理：人的眼睛作为公共顶点，视线构成两条边，障碍物平行于被观测物体，构造**A字型相似三角形（AA）**。 > 特点：上下两条横线平行，形成一大一小两个共顶点的三角形。 公式： $$\frac{\text{障碍物高度}}{\text{被测物体高度}}=\frac{\text{眼睛到障碍物水平距离}}{\text{眼睛到被测物体水平距离}}$$ ### 小孔成像模型（也是A字型） 光线穿过小孔，上下倒立，$\triangle$相似。 $$\frac{\text{物高}}{\text{像高}}=\frac{\text{物体到小孔距离}}{\text{像到小孔距离}}$$ ### 解题通用步骤 1. 找平行线，证两个三角形相似（AA） \(\boldsymbol{2}\). 分清：**近的小三角形、远的大三角形** 3. 列对应边比例式（千万别写反！） \(\boldsymbol{4}\). 统一单位，解方程 5. 作答 ⚠本节易错点 1. 距离要看**水平距离**，不是斜边； \(\boldsymbol{2}\). 区分：人眼高度是否要加减； 3. 盲区类题目：看不到的部分，就是相似三角形里小三角形对应的高度。 ## 二、选择题 1. 小孔成像，物体到小孔距离30cm，像到小孔距离10cm，物体高6cm，则像高（） A.1cm B.\(\boldsymbol{2}\)cm C.3cm D.6cm \(\boldsymbol{2}\). 小明眼睛距离地面1.6m，看前方一堵墙，墙高3m，小明离墙5m，墙后面的大楼离小明总共30m。利用相似，墙遮挡大楼的高度是（） A.0.8m B.1.\(\boldsymbol{4}\)m C.\(\boldsymbol{2}\)m D.\(\boldsymbol{2}\).\(\boldsymbol{4}\)m 3. 小孔成像实验，物距:像距=\(\boldsymbol{4}\):1，则物体高度:像高=（） A.1:\(\boldsymbol{4}\) B.\(\boldsymbol{4}\):1 C.1:\(\boldsymbol{2}\) D.\(\boldsymbol{2}\):1 \(\boldsymbol{4}\). 如图，人眼$O$，标杆$AB\parallel CD$，则相似三角形是（） A.$\triangle OAB\backsim\triangle OCD$ B.$\triangle OAB\backsim\triangle ODC$ C.$\triangle OBA\backsim\triangle OCD$ D.$\triangle ABO\backsim\triangle COD$ 5. 下列不属于A字型相似应用的是（） A.小孔成像 B.视线盲区测高 C.镜子反射测树高 D.标尺测距 ## 三、填空题 1. 小孔成像，物高与像高之比等于________之比。 \(\boldsymbol{2}\). 视线盲区模型，障碍物平行于被测物体，构成____字型相似。 3. 物体距小孔\(\boldsymbol{2}\)0cm，像距小孔5cm，物体高8cm，则像高____cm。 \(\boldsymbol{4}\). 人眼离标杆水平距离\(\boldsymbol{2}\)m，标杆离大楼水平距离8m，标杆高1.5m，则大楼被观测部分高____m。 5. 小孔成像，像高3cm，物高1\(\boldsymbol{2}\)cm，物距16cm，则像距=____cm。 ## 四、解答题 1. 小孔成像：蜡烛高1\(\boldsymbol{2}\)cm，蜡烛到小孔距离\(\boldsymbol{2}\)\(\boldsymbol{4}\)cm，光屏到小孔距离8cm，求光屏上像的高度。 \(\boldsymbol{2}\). 小明站在距离标杆\(\boldsymbol{2}\)m处，眼睛高度1.5m，标杆高3.5m，标杆距离大楼18m，利用视线刚好看到大楼顶端。求大楼总高度。 3. 如图，人眼在点$O$，$AB$是标杆，$CD$为楼房，$AB\parallel CD$，$OA=\(\boldsymbol{4}\)\mathrm{m},AC=16\mathrm{m},AB=1.8\mathrm{m}$，求楼房$CD$的高度。 \(\boldsymbol{4}\). 拓展题：用小孔成像，物体高10cm，物距\(\boldsymbol{2}\)0cm，像高\(\boldsymbol{4}\)cm，求像到小孔的距离。 ## 五、参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：$\dfrac{6}{h}=\dfrac{30}{10},h=\(\boldsymbol{2}\)$ \(\boldsymbol{2}\).D 3.B 解析：物高:像高=物距:像距 \(\boldsymbol{4}\).A 5.C 解析：镜子反射是8字型，不是A字型 ### 填空题 1. 物距与像距 \(\boldsymbol{2}\). A 3. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)}$ 解析：$\dfrac{8}{h}=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)0}{5},h=\(\boldsymbol{2}\)$ \(\boldsymbol{4}\). $\boldsymbol{\(\boldsymbol{7.5}\)}$ 解析：总距离$\(\boldsymbol{2}\)+8=10$，$\dfrac{1.5}{H}=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)}{10},H=\(\boldsymbol{7.5}\)$ 5. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{4}\)}$ 解析：$\dfrac{1\(\boldsymbol{2}\)}{3}=\dfrac{16}{x},x=\(\boldsymbol{4}\)$ ### 解答题 1.解： 设像高$x\mathrm{cm}$ $$\frac{\text{物高}}{\text{像高}}=\frac{\text{物距}}{\text{像距}}$$ $\dfrac{1\(\boldsymbol{2}\)}{x}=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)\(\boldsymbol{4}\)}{8}$ $\(\boldsymbol{2}\)\(\boldsymbol{4}\)x=96$，$x=\(\boldsymbol{4}\)$ 答：像高\(\boldsymbol{4}\)cm。 \(\boldsymbol{2}\).解： 标杆高出人眼部分：$3.5-1.5=\(\boldsymbol{2}\)\mathrm{m}$ 人眼到标杆水平距离\(\boldsymbol{2}\)m；人眼到大楼总水平距离$\(\boldsymbol{2}\)+18=\(\boldsymbol{2}\)0\mathrm{m}$ 设大楼高出人眼部分为$H$ $\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)}{H}=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)}{\(\boldsymbol{2}\)0}$，解得$H=\(\boldsymbol{2}\)0\mathrm{m}$ 大楼总高：$\(\boldsymbol{2}\)0+1.5=\(\boldsymbol{2}\)1.5\mathrm{m}$ 答：大楼总高\(\boldsymbol{2}\)1.5m。 3.解： $OC=OA+AC=\(\boldsymbol{4}\)+16=\(\boldsymbol{2}\)0\mathrm{m}$ $\because AB\parallel CD \Rightarrow \triangle OAB\backsim\triangle OCD$（AA） $$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$$ $\dfrac{1.8}{CD}=\dfrac{\(\boldsymbol{4}\)}{\(\boldsymbol{2}\)0}$ $\(\boldsymbol{4}\)\cdot CD=36$，$\(CD=9\)$ 答：楼房高9m。 \(\boldsymbol{4}\).解： 设像距为$x\mathrm{cm}$ $\dfrac{10}{\(\boldsymbol{4}\)}=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)0}{x}$ $\(10\(x=8\)0\)$，$\(x=8\)$ 答：像到小孔距离8cm。 --- 接下来是**\(\boldsymbol{2}\)\(\boldsymbol{2}\).6 图形的位似**，继续吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 22.3.6相似三角形的应用2 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第22章 图形的相似 复习回顾 相似三角形的应用有哪些？ ①利用相似三角形测量高度； ②利用相似三角形测量宽度； 构造“A”字形： 构造“X”字形： 新知探究 如图，在中，，为边上的高. 求证: 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系 分析：对于，可拆分为比例形式，利用相似三角形对应边成比例，只需找到对应的两个三角形即可求解. 探索 A B C D 新知探究 如图，在中，，为边上的高. 求证: 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系 探索 A B C D 你还能找出其他类似的结论吗？ 新知探究 如图，在中，，为边上的高. 求证: 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系 探索 A B C D 分析：根据题意，还可以证明，. 利用相似三角形，可以证明几条线段之间的乘积关系. 典例分析 例1 如图，点分别在的边上，且，. 求证：＝ . 解：∵， ∴四边形是平行四边形． ∴. ∵， ∴. ∴＝ . ∴＝ . 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系 知识点1 利用相似三角形证等积式 1. 如图，在中，于点 ， 给出下列等积式： ； ； ； . 其中能证明 的有( ) C A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ 举一反三 7 【点拨】 ， . ，. ， 举一反三 8 即 ，故①符合题意. ， .由 ，易得，， ，故②符合题意. ， 举一反三 .又 ， ，故③符合题意. 由不能证明 ，故④不符合题意. 返回 举一反三 新知探究 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 三角形中位线的应用 回顾 试一试 如图，在中，分别是边的中点，相交于点. 求证:＝ = . A B C D E G 分析：根据题意，构造中位线，利用三角形中位线定理+相似三角形求解. 新知探究 三角形中位线的应用 试一试 如图，在中，分别是边的中点，相交于点.求证:＝ = . A B C D E G 证明：如图，连结. ∵分别是边的中点， ∴ ， = (三角形的中位线定理). ∴. ∴ = = = . ∴＝ = . 拓展探究 三角形的重心 如果在上图所示的中取边的中点，假设与相交于点. A B C D G E A C D F B 同理可得 = ，所以 = =，即两图中的点与点是重合的. 13 三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 归纳总结 归纳总结 三角形的重心 数学上的“重心”与物理上的“重心”是一致的. 典例分析 例2 如图，在中，，是三角形的重心，，过点的直线，求的长． 三角形的重心 G C M N A B 解：连结并延长，与交于点H. ∵点是的重心， ∴，点为的中点． ∵，且， ∴.（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴. H 2. 如图，在 中， ，为 内部一点且 始终满足，延长 交 于点 . （1）求证： . 【证明】 ， ， . . 举一反三 16 （2）若，求证： . 举一反三 17 ， . ， . . 又， . . . 由（1）可知，， . 返回 举一反三 知识点2 三角形重心性质 （第3题） 3. 如图，已知点是 的重心，分别 延长线段,交边,于点, ,若 ,则 的长是( ) D A. 5 B. 7.5 C. 9 D. 10 【点拨】 点是 的重心， .又， ，故选D. 返回 举一反三 19 （第4题） 4. 如图，的重心为， 和 在 边上的高之比为( ) D A. B. C. D. 举一反三 20 【点拨】如图，连结并延长，交于点，是 的重心，是的高，是 的 高， . 返回 举一反三 21 5. 如图，在菱形中，为的中点，连结 交对 角线于点，若菱形的周长为， ， 求与菱形 的面积比. 举一反三 22 【解】 如图，连结，交于点 . 四边形 是菱形， 是，的中点，且 . 菱形的周长为， ， ， . 举一反三 23 在 中，由勾股定理得 ， . . 为的中点，为 的中点， 点是 的重心. 举一反三 . . ， 即与菱形 的面积比为1:6. 返回 举一反三 6. 如图，在矩形中，为边上一点，且 . （1）求证： ； 举一反三 26 【证明】 四边形 为矩形, , . . , . . 又, . 举一反三 27 . . 又， . 举一反三 （2）为线段延长线上一点，且满足 ， 求证： . 举一反三 29 连结交于点 . 易得 . 又, . 四边形为矩形, . 又 , . 举一反三 30 , . , . 在和中, . 返回 举一反三 证明线段乘积关系 相似三角形的应用2 中位线 利用中位线证相似比 重心 三角形三条边上的中线交于一点 课堂小结 谢谢观看 THANKS $