22.3 第6课时 相似三角形的应用(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“相似三角形的应用”，系统梳理判定方法（两角对应相等、两边成比例夹角相等、三边成比例）和性质（对应边成比例、对应角相等，对应高、中线等比等于相似比，面积比为相似比平方），通过物高与影长关系搭建从基础到应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于结合典例（测量旗杆高度、设计最大正方形方案）和分层演练，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理、用数学语言建模的核心素养。采用多解法解析与规律总结，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

初中数学 指南针•课堂优化·九年级数学HS 第22章图形相仙 22.3相似三角形 CONTENTS 景 基础导学 典例探究 3 课后演练 第6课时 相似三角形的应用 基础导学 1.判断两个三角形相似的方法：（1)有两个 角对应相等的两个三角形是相似三角形； (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质：相似三角形的 成比例， 相等，相似三角形的 的比、 的比、 的比、 比都等于相似比；相似 三角形 的比等于相似比的平方. 3.我们可利用物高与影长成 ,测 量物体的高度 典例探究 考点① 利用相似三角形的性质测量物体的 高度或宽度 墙 【例1】 赵亮同学利用影长测学校旗杆长 度，如图所示，他在某一时刻竖立1米长的标杆 测得其影长为1.2米，同时，旗杆的投影一部分 2米 B 在地面上，另一部分在某一建筑物的墙上，其投 9.6米 影长度分别为9.6米和2米，求学校旗杆的 高度 解析：本题可用同一时刻物高 与影长成正比例或相似三角形的知 识求解 方法2：延长AD交BC的延长线于点N,由(1)知 解：方法1：过点D作DM平行 于BC交AB于点M,可用高度与影 长=DC2末，品CN=2.4米，BN=12米3 :∠DCN=∠ABN,∠N=∠N, 长表正比制，得=2AM=8未，AB=AM+MB= △D△NB.%- AM+CD=10米. 即-=AB=10米 规律与方法：运用数学知识解决问题，要先 将实际问题转化为数学问题一建立数学模型， 再运用数学知识求解 【变式训练1】(2022·陕西)小明和小华利 用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的 高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别 测得该建筑物OB的影长O℃为16米，OA的影 长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中 O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点 在同一直线上，且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明 的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB. A B E G F D 0 ..A0=15, .AD∥BC, .'.△BOC∽△AOD, 2=16 209 ..B0=12, ..AB=AO-B0=15一12=3（米）； 考点② 利用相似三角形的判定和性质进行 方案的设计 D 【例2】 一块直角三角形木板的一条直角 边AB长为1.5m,面积为1.5m,工人师傅要把 F 图1 它加工成一个面积最大的正方形，请甲、乙两位同 B 学设计加工方案.甲设计的方案如图1，乙设计的方 P 案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好？试说 AG H F 明理由.（加工损耗忽略，计算结果可保留分数) 图2 解析：图1中利用相似三角形的对应边成比例，求出正 方形的边长。图2中可利用相似三角形对应高的 比等于相似比，求出正方形的边长，然后比较其 大小即可 解：设加工成的正方形边长为xm,易求BC=2m,AC =2.5m. 方案一：由题意可知，DE∥BA, .'。∠CDE=∠B,∠CED=∠A,可得△CDE△CBA, 2=9 方案二：过点B作BH⊥AC于H,易求BH=1.2m, DE∥AC,∴.∠BDE=∠A,∠BED=∠C,得△BDE △BAC25=22x- 371 .·6、30 ·737” ,,如图1加工出的正方形的面积最大，综上所述，甲 同学设计的方案较好 规律与方法：相似三角形知识的应用非常广 泛，不仅用在测量上，几何中的计算与证明也往 往要反复利用相似三角形知识. 课后演练 【基础过关】 1.如图，一个人拿着有厘米刻度的小尺，站在距 电线杆30m的地方，把手臂向前伸出并伸直， 小尺竖直，看到小尺上到约0.18m刻度处恰 好遮住电线杆，已知这个人的手臂长0.6m, 则电线杆的高是 () A.9 m B.8m C.6m D.10m 2.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上， 从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是 我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问 题，它的题意可以由图获得，则井深为 5 A.1.25尺 B ‘0.4 B.57.5尺 C.6.25尺 D.56.5尺 3.如图，有一同学在离某大楼底部20米处放置 一块镜子，然后后退一米，正好在镜中看到楼 顶，该同学身高1.5米，则楼高 () A.20米 B.25米 C.30米 D.35米 眉 4.(湖州中考)某数学兴趣小组测量校园内一棵 树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF) 放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E 处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰 好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测 量BF,DF,EF,观测者目高(CD)的长，利用测 得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥ BD于点D,EF⊥BD于点F,AB⊥BD于点B, BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7 米，则这棵树的高度(AB的长)是 米. 5.如图，已知零件的外径25mm, 现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC和BD相等，OC=OD)量零 件的内孔直径AB,若O℃：AC A B =1：3,量得CD=10mm,则零 件的厚度为 φ25→ 6.小华为了测量操场上旗杆的高度，她邀请了 好朋友小玲和小芳一同参加，她向体育组借 了一根长3米的标杆和皮尺，如图所示，小华 的眼睛(A)、标杆的顶部(C)、旗杆的顶部(E) 在同一直线上，测得小华的眼睛到地面的距 离(AB)为1.6米，小华的脚到标杆(CD)的底 部的距离为5米，到旗杆(EF)底部的距离为 30米，根据上述数据，请求出旗杆的高度，并 简述理由， 解：过点A作AM⊥EF于M,交CD于N, 易将泛EM=, 即0=1 ,x=8.4,EF=8,4十1.6=10（米） 所以旗杆高10米. 【能力提升】 7.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板 (Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF,点D在 边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC 上，若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形 CDEF后，剩余部分的面积为 cm2. E C D 8.如图，某一时刻大树AB的影子正好落在墙 DE上的C点，同时1.2m的标杆的影长为 3m,已知CD=4m,BD=6m,则大树的高度 是 B 77777777777777777 9.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问 小军：“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考 片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长 来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线 Q移动，如图，当小聪正好站在广场的A点 (距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1 块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距 点11块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地 砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形 地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥ NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ.请你根据以上信息， 求出小军身高BE的长.（结果精确到0.01米） 。1.61×0.8 ·MN (5+1)×0.8” .°.MN=9.6, 又，∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN, BF ·△EFB∽△MFN,R NE EB 2X0.8 ·9.6 (2+9)×0.8” ..EB≈1.75，.。小军身高约为1.75米. 【创新探究】 10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC =5,AD=6,BC=12,动点P从D点出发沿 DC以每秒1个单位的速度向点C运动，动 点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的 速度向B点运动，两点同时出发，当P点到 达C点时，Q点随之停止运动. (1)梯形ABCD的面积等于 (2)当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 秒； (3)P,Q,C三点构成直角三角形时，P点离 开D点多长时间？ B Q 即-51=1 若PQ⊥CD,则△PQC∽△MDC, 8-即-5号= 11 所以P点高开D点智秒或秒时△P心C是直角三 角形.