专题1.4 正方形的性质与判定（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“正方形的性质与判定”核心知识点，从定义出发，梳理其作为特殊平行四边形、矩形、菱形的性质，系统整合边、角、对角线、对称性等特征，延伸至判定方法及中点四边形规律，构建完整知识支架。 资料通过分层题型设计（基础、培优、压轴），结合解题技巧指导与变式训练，培养学生几何直观与推理能力。易错点、重难点总结助力查漏补缺，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升，体现数学思维与模型意识的培养。

专题1.4 正方形的性质与判定 知识点1：正方形的定义   1. 定义内容：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。   2. 核心定位：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者的所有几何性质，是平行四边形体系中性质最完备的图形。 知识点2：正方形的性质   正方形融合平行四边形、矩形、菱形的全部性质，专属核心性质如下，对比整理如下： 几何维度 具体性质 几何语言 图例 边 四条边全部相等，对边平行，邻边互相垂直 ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC，AB⊥BC 角 四个内角均为90°直角 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 对角线 对角线相等、互相垂直、互相平分，且每条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC平分∠DAB、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC 对称性 轴对称图形（4条对称轴）、中心对称图形（对称中心为对角线交点） 正方形沿对边中线、对角线对折完全重合，绕对角线交点O旋转180°与原图重合   3. 面积公式：（a为边长）；（对角线乘积的一半）。   4. 衍生性质：正方形的两条对角线将图形分成四个全等的等腰直角三角形。 知识点3：正方形的判定   判定核心逻辑：矩形+菱形特征=正方形，四种常用判定方法，分层梳理如下：   1. 定义法（从平行四边形判定）：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。   2. 从矩形判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。   3. 从菱形判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。   4. 直接判定法（任意四边形）：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 知识点4：中点四边形   1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，称为中点四边形。   2. 形状规律：中点四边形的形状由原四边形对角线的位置和数量关系决定，对角线垂直且相等的四边形，其中点四边形为正方形。   3. 核心结论：任意正方形的中点四边形仍是正方形。 【基础必考题型】 【题型1】利用正方形性质求基础角度 1.核心知识点   掌握正方形四边相等、四角为直角、对角线平分内角（45°）的核心性质；能结合等腰三角形、直角三角形性质进行角度计算。   熟悉正方形对角线分割出的等腰直角三角形角度特征，快速推导关联角度。 2.解题方法技巧   ①优先标注正方形直角、45°内角，梳理图形中已知角度；   ②结合三角形内角和、外角性质、等腰三角形等边对等角推导未知角度；   ③复杂图形拆解为单个直角三角形、等腰三角形，分步求解。 【例题1】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、菱形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上图形的性质是解决本题的关键． 根据题意可证是等腰直角三角形，则即可求出的度数，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 故选C． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可推出，，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】利用直角三角形的性质求得，再求得，最后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知平分，再由条件平分即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，平分， ， 平分， ． 【题型2】利用正方形性质求线段长度 1.核心知识点   运用正方形边长相等、对角线与边长的数量关系（对角线长=边长）；结合勾股定理、全等三角形求线段长度。   掌握正方形中线段等量转化的基本思路，区分边长、对角线、分割线段的数量关系。 2.解题方法技巧   ①根据正方形性质锁定相等线段，简化已知条件；   ②对角线相关计算优先使用公式，避免重复勾股定理计算；   ③线段和差问题通过图形平移、等量替换转化为常规线段求解。 【例题2】.（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得出，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵每个小正方形边长均为1，， ∴，， ∴． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形中，点E在边上，若，， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的对角线的长为4． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到． 【详解】解：正方形中，， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正方形的性质算出，用面积法求出，再利用勾股定理求出，通过证明得到，最后用算出． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【题型3】基础条件判定正方形 1.核心知识点   掌握正方形四类判定方法，能根据已知图形（平行四边形、矩形、菱形）补充唯一条件判定正方形。   区分矩形、菱形、正方形的判定差异，规避判定条件混淆问题。 2.解题方法技巧   ①先判断已知图形基础类型，再针对性补充条件（矩形补邻边相等/对角线垂直，菱形补直角/对角线相等）；   ②排除无效条件，优先选择最简判定路径；   ③牢记判定核心：必须同时满足矩形和菱形的核心特征。 【例题3】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、四边形是矩形，恒成立，无法判定四边形是正方形，故本选项符合题意； B、由于四边形是矩形，当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、由于四边形是矩形，当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是矩形， ∴， 若， 则， ∴， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 【变式题3-1】.（26-27八年级下·全国·课后作业）已知：如图，四边形是矩形，，M是的中点，N是矩形外一点，且，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明： ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ， M是的中点， 又 ， ， 、都是等腰直角三角形 是菱形 又 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 四边形是正方形． 【分析】根据已知条件先证明四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），再证明四边形是菱形，最后证明四边形有一个内角是直角，根据正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形）得出证明． 【详解】略 【变式题3-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】先推出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形是矩形，再由角平分线的性质，得到，即可证明四边形是正方形． 【详解】略 【变式题3-3】.（2026·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型4】正方形基础面积计算 1.核心知识点   熟练运用正方形两种面积计算公式，能结合分割、补全法计算正方形及内嵌、外附图形面积。   掌握正方形对角线分割图形的面积比例关系（四等分）。 2.解题方法技巧   ①已知边长用平方公式，已知对角线用对角线乘积一半公式；   ②不规则阴影面积通过割补、平移转化为正方形标准面积求解；   ③利用对角线四等分面积结论，快速求解分割图形面积。 【例题4】.（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所表示的正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可看出所处的正方形的面积等于直角三角形的短直角边的平方，已知斜边和另一较长的直角边的平方，则不难求得字母所代表的正方形面积． 【详解】解：根据正方形面积与边长的关系可知，图中直角三角形的长直角边的平方为64，斜边的平方为100， 根据勾股定理，该直角三角形的短直角边的平方， ∴字母所代表的正方形面积是． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，分别以的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是_____． 【答案】6 【分析】根据正方形的面积可知和，利用勾股定理求出，进而可得出字母R所代表的正方形的边长． 【详解】解：根据正方形的面积为边长的平方可知和， 在中，， 则字母R所代表的正方形的边长为． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的对角线，交于点，点又是正方形的一个顶点．若，则阴影部分的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设与交于点，与交于点，证明，阴影部分面积转化为面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，，， ． 又， ． )， ， ， ，即正方形边长为， 正方形面积为， ， ，即阴影部分面积为． 【培优高频题型】 【题型5】正方形性质与全等三角形综合证明 1.核心知识点   结合正方形边、角相等的性质，判定三角形全等（SAS、ASA、HL）；利用全等性质推导线段相等、角度相等。   掌握正方形“十字模型”基础结论，能进行简单几何推理证明。 2.解题方法技巧   ①从正方形性质中提取全等所需的边、角等量条件；   ②梳理角的互余、互补关系，推导隐藏相等角；   ③先证全等，再依托全等结论完成后续线段、角度证明。 【例题5】.（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】利用正方形性质证明，推出，根据三角形外角性质得到，利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， 在和中，， ， ， ， ， ， 即是直角三角形， 点为的中点， ． 【变式题5-1】.（2026·江苏南通·模拟预测）如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明得到，进而推导出，结合和等腰直角三角形的性质，易得答案． 【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是正方形的对角线上一点，连接．求证：． 【答案】证明：四边形是正方形，是正方形的对角线， ，． 在和中， ， ， ∴． 【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定证明． 【详解】略． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)10 (3) 【分析】（1）根据正方形性质得出，，证明，得出即可； （2）先证明四边形为平行四边形，得出，再证明，最后根据（1）同理可得：； （3）连接，交于点H，过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1），同理可得：； （3）解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：． 【题型6】中点四边形形状判定与计算 1.核心知识点   理解中点四边形的形成原理，掌握原四边形对角线与中点四边形形状的对应关系。   能判定任意四边形的中点四边形，熟练证明正方形对应的中点四边形特征。 2.解题方法技巧   ①先判断原四边形对角线的数量、位置关系；   ②根据“垂直得矩形、相等得菱形、垂直且相等得正方形”快速判定；   ③结合中位线定理计算中点四边形的边长、面积。 【例题6】.（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】连接菱形的对角线，根据菱形的对角线性质和三角形的中位线定理先证明四边形是平行四边形，再证明，即证四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接、相交于点； 四边形为菱形， ． 点，，，分别是菱形四边的中点， ，； 同理可证：，，， ，， 四边形为平行四边形； ，，， ， 四边形为矩形． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，连接与交于点，若，则四边形的周长是__________． 【答案】12 【分析】由三角形中位线定理易得四边形是菱形，即可求得结果． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长是． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·河北承德·期末）数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【答案】(1)菱形；矩形 (2)如图，四边形中，对角线相等且互相垂直． 【分析】（1）矩形的中点四边形：顺次连接各边中点，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形； 菱形的中点四边形：顺次连接各边中点，根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形． 【详解】（1）解：矩形的中点四边形：如图，矩形，顺次连接各边中点， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形； 菱形的中点四边形：如图，菱形，顺次连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：图略， 证明：顺次连接各边中点， 由三角形中位线定理可得，，，，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是正方形． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·广东汕头·期末）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形称为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过探究发现，中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定． 【探究】 (1)如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边的中点．求证：中点四边形是平行四边形． 【猜想】 (2)当时，中点四边形是_____________； (3)当______________时，中点四边形是矩形； (4)当______________时，中点四边形是正方形． 【答案】(1)证明：连接，如图 ∵E、F是的中点 ∴且， 又∵H、G是的中点， ∴且， ∴且 ∴中点四边形是平行四边形； (2)菱形 (3) (4)且 【分析】（1）连接，先推导出且，且，得到且，则中点四边形是平行四边形，即可解答； （2）连接，先推导出，得到，再根据菱形的判定进行证明即可； （3）先推导出，得到，继而推导出，得到，再根据矩形的判定进行证明即可； （4）由（2）可知，当时，中点四边形是菱形，由（3）可知，当时，，再根据正方形的判定进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图 ∵E、H分别是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵中点四边形是平行四边形， ∴中点四边形是菱形； （3）解：当时，中点四边形是矩形；理由如下： 如图 ∵E、H分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中点四边形是平行四边形， ∴中点四边形是矩形； （4）解：当且时，中点四边形是正方形．理由如下： 如图 由（2）可知，当时，中点四边形是菱形， 由（3）可知，当时，， ∴菱形是正方形， 即中点四边形是正方形． 【题型7】正方形折叠创新应用 1.核心知识点   结合折叠的全等性质、轴对称性质，联动正方形边角特征，求解折叠后线段、角度、面积。   掌握折叠问题中“对应边相等、对应角相等”的核心等量关系。 2.解题方法技巧   ①标注折叠前后所有相等的边和角，梳理隐藏等量关系；   ②结合勾股定理建立方程，求解未知线段长度；   ③利用正方形对称性简化复杂折叠图形，规避重复计算。 【例题7】.（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的折叠的性质，利用勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】∵正方形纸片的边长为， ∴，， 根据折叠的性质可得：， 设， 则，，， ∵在中，， 即，解得：， ∴，． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）四边形是一张正方形纸片，点E为边上一点，如图1，将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，交于点M． (1)__________； (2)折痕与存在什么数量关系，并说明理由； (3)如图2，点G为边上一点，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵四边形是正方形，且， ∴有，即， ∴在和中有， ∵， ∴ ， ∴． (3)猜想：， 证明： 过点G作，交线段于点P， 由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴， ∵， ∴有，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在和中有， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】（1）根据翻折的性质找出垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可． （2）利用（1）的信息找出等角，进而找出全等三角形即可． （3）根据翻折的性质找出垂直平分线，得出，通过（2）的启发构造全等三角形转化线段，再结合正方形四边相等的性质进行代换即可. 【详解】（1）由翻折的性质可得由翻折的性质可得点B和点互为对应点， ∴对称轴，即， ∴． （2）略． （3）略． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）按要求完成以下问题 问题发现 (1)基本模型十字架模型 如图所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，请证明命题：若，则有结论． (2)模型运用 ①如图，在正方形中，，点在线段上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．若，求的值． ②如图，正方形，为延长线上一点，，的垂直平分线分别交、于点和点，连接交于点，连接，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ (2)①；② 【分析】（1）根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，即可得； （2）①设、相交于点，由翻折得垂直平分，故，结合正方形性质及勾股定理求出长，在中利用等积法求出，即可得，由（1）中结论得，最后由即可求解；②连接、、，由正方形对角线垂直平分得，由是的垂直平分线得，过作于点，于点，由平分得，证得，证四边形为矩形得，故，等量代换得，即，在中利用勾股定理求出长，即可得长． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，设、相交于点， 由翻折得垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， 正方形中，即，由（1）得， ∴； ②如图，连接、、， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴垂直平分，平分，， ∴， 过作于点，于点，则， ∵在对角线上，平分， ∴， ∵为的垂直平分线，在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，解得， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】坐标系中的正方形计算 1.核心知识点   结合平面直角坐标系坐标特征，利用正方形边长相等、邻边垂直的性质，求顶点坐标、线段长度。   掌握坐标系中垂直、平行线段的坐标变化规律，实现几何与代数的结合。 2.解题方法技巧   ①根据已知顶点坐标，结合正方形边长、垂直关系推导未知坐标；   ②利用横纵坐标差值计算边长，结合勾股定理验证对角线长度；   ③分类讨论正方形在坐标系中的不同摆放位置，避免漏解。 【例题8】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形中点的坐标为则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，根据正方形的性质，可证，可得，，根据点的坐标可确定的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，且点在第二象限， ∴. 【变式题8-1】.（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】先利用正方形性质与折叠性质得到相等线段，接着在中，由勾股定理求出，然后设，构造，再次使用勾股定理建立方程，解出，从而求出点坐标． 【详解】解：如图：过点作交于点， ∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，， ∵、分别是边和的中点， ∴，，， ∵点落在线段上， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴在中，， ∴， ∵交于点， ∴，， 设，则，， ∵在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 【点睛】折叠问题核心是折叠前后对应边相等，在平面直角坐标系中，常借助勾股定理列方程求点的坐标． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，与轴相交于，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，与轴相交于， 正方形的边在轴上， 四边形是矩形， ，，， 折叠， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 在中，， ， 解得， ，， 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴的正半轴重合，边与轴正半轴重合，且点的坐标是，点是边上的一个动点，连接，，过点作交正方形外角的角平分线于点． (1)直接写出点的坐标； (2)连接，当点运动到时，求直线的解析式； (3)在点运动的过程中，是否存在一个位置，使的值最小?若存在，请求出的最小值以及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据正方形的性质推出，利用点的坐标求出长度，即可求出正方形的每边长度，从而求出点坐标． （2）在上取一点，使，利用等腰三角形的判定和性质推出，结合垂直的定义和角度等量代换推出和，从而证明推出，过点作轴，根据证明推出和，从而知道点坐标，通过待定系数法即可求出直线的解析式． （3）在上取一点，使，由（1）知，推出，依据题意求最小值就是求最小值，利用三点共线线段最短以及对称的性质根据勾股定理即可求出值，即是所求最小值，利用点纵坐标的特殊性，结合待定系数法求出直线解析式，即可求出满足 最小值点坐标． 【详解】（1）解：正方形， ， ， ， ， 在第一象限， ． （2）解：， ∴． 如图所示，过点作轴，在上取一点，使，则，， ． ，，是角平分线， ， ，， ． ，， ，， ． ，， ， ，． ，，， ， ，， ， ． 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为． （3）解：如图所示，在上取一点，使，则，， 由（2）知，， ∴． ∴为最小值，即为最小值， 作点作关于轴的对称点，连接交轴于点，则即为最小值，则是满足最小值所求点坐标． ，则， ，， ， 在中，，即的最小值为． ，， 设直线的解析式为，则解得， 直线的解析式为， 设，则，解得， ，即满足最小值所求点坐标． 【题型9】正方形旋转动态探究问题 1.核心知识点   结合图形旋转的性质，联动正方形边角、对角线特征，探究旋转过程中线段、角度、面积的不变量与变化规律。   掌握共顶点正方形旋转模型的核心结论，培养动态几何探究素养。 2.解题方法技巧   ①锁定旋转中心、旋转角，明确旋转前后全等的图形；   ②探究动态过程中的定值（重叠面积、线段和差、垂直关系）；   ③特殊位置取值验证一般规律，结合全等、勾股定理完成证明计算。 【例题9】.（2026·河南周口·二模）如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形． (1)如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数． (2)如图，当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，正方形的性质，推出为等腰三角形，进而求出的度数，利用角的和差关系即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长，证明为等边三角形即可得出结果. 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∵正方形，点落在的延长线上， ∴， ∴点落在线段上， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， 连接，则，， 由题意，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴. 【变式题9-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，，理由如下： ， ， ， 四边形和四边形为菱形， ，， 在和中， （）， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 直线与的夹角度数为； (4) 【分析】（1）利用正方形的边、角相等证得，进而得出，结合三角形内角和推出两线段夹角； （2）将旋转前后的角同减公共角得到一组等角，然后根据证得全等三角形，得到，再结合对顶角相等、三角形内角和求出夹角； （3）将，同减公共角推出，根据证得，进而得到，再利用三角形内角和、对顶角相等求出夹角； （4）在以为圆心、为半径的圆上，求出菱形对角线长，用圆外一点到圆最短距离得最小值． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为． （2）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，且， ∴， ∴， 即直线与直线的夹角度数为． （3）略 （4）解：如图，以点为圆心，长为半径作圆，连接，交于， 根据题意可知，点在以为圆心、为半径的圆上运动，当点在上时，线段取得最小值， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·河南新乡·期末）【实践探究】小明同学在做《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分．正方形可绕点O旋转． 【问题发现】 (1)图1中，连接，线段、、之间的数量关系是________； 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的对角线相交于点O，点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【结论应用】 (3)如图3，在直角梯形中，，，点E为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点N、M，矩形可绕点E旋转．已知，，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： 延长交于点G，连接，，， 矩形的对角线相交于点O， ，，， ，， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ； (3)或10 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，再结合勾股定理，即可求得答案； （2）延长交于点G，连接，，，先证明，得到，，进一步推得，再结合勾股定理，即可求得答案； （3）设， ①当点N在线段上时，过点C作，交的延长线于点P，连接， 由（2）知，再结合勾股定理列方程求解即可； ②当点N在线段上时，过点C作，交的延长线于点Q，连接，，先证明，并进一步证明，，即可根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：线段的长为或10．理由如下： 设， ①当点N在线段上时， 过点C作，交的延长线于点P，连接， 由知， ，， ， 由（2）知， ， 在中，， ， ， 解得； ②当点N在线段的延长线上时， 过点C作，交的延长线于点Q，连接，， 点E为梯形对角线的中点， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， 综上所述，线段的长为或10． 易错点 1、混淆正方形、矩形、菱形的判定条件，判定正方形时只满足单一特殊图形特征，遗漏另一组核心条件，导致判定错误。 2、忽略正方形对角线平分内角的45°隐藏条件，在角度计算、三角形全等证明中缺少关键等量条件。 3、中点四边形判定出错，混淆原四边形对角线垂直、相等的对应结论，误判中点四边形形状。 4、正方形折叠、旋转问题中，遗漏动态变化的边角关系，未分类讨论导致漏解、错解。 5、混淆正方形两种面积公式的适用场景，对角线计算面积时忘记乘以二分之一。 重点 1、熟练掌握正方形的边角、对角线、对称性核心性质，能快速完成角度、线段、面积的基础计算。 2、牢记正方形的四类判定方法，能根据已知图形类型灵活选择最简判定思路。 3、掌握正方形与全等三角形、坐标系、折叠的综合应用，形成基础几何推理能力。 4、理解中点四边形的判定规律，能准确判断任意四边形对应的中点四边形形状。 难点 1、正方形旋转、半角模型等动态几何问题，精准捕捉图形变化中的不变量，完成综合证明与计算。 2、正方形动点最值问题，结合对称模型、转化思想，突破线段和差最值的几何探究难点。 3、跨学科、情境化创新题型的建模转化，剥离复杂背景，抽象出正方形核心几何模型求解。 4、多结论综合题型，全面分析图形边角、位置关系，精准判断所有正确结论，规避思维漏洞。 【对应练习题】 一、单选题 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 【答案】A 【详解】正方形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质为：四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，对角线不一定相等； ∴正方形具有而菱形不一定有的性质是对角线相等． 2．如图，，，均为正方形，是直角三角形，的面积为，的面积为30，则的面积为（     ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【详解】解：由图可知，为直角三角形，且 ， ∴. ∵正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积． 3．如图，图1是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处于正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖互相平行，它们的四周设计按图1中的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．图2是它的示意图，若切割线，，则正方形地漏的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，构造直角三角形，结合题意推出且，进而证明，再利用直角三角形性质，以及勾股定理推出，即可解题． 【详解】解：延长交于点， 正方形各边与正方形平行， ， 正方形中， ， ， 由题知，且， ， ， 在中，， ， ， ， 即正方形的边长为． 二、填空题 4．对于菱形，当满足______________时，它可成为正方形． 【答案】有一个内角为直角（答案不唯一） 【分析】菱形是特殊的平行四边形，只需额外添加符合正方形判定的条件即可． 【详解】解：∵菱形已经满足四条边相等，属于平行四边形， ∴要使菱形成为正方形，只需要添加正方形相对于菱形的额外判定条件： 若菱形有一个内角是直角，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，可得四个内角均为直角，符合正方形的定义，此时菱形是正方形； 若菱形对角线相等，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，可判定该菱形满足正方形的判定要求，此时菱形也是正方形． 因此本题可填写的条件为有一个内角为直角或对角线相等． 5．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________________． 【答案】或或 【分析】利用正方形的性质得到，，进而得到的中点的坐标为，再分当点在上时、当点在上时、当点在上时三种情况，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，， ∴的中点的坐标为，， 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点的坐标为； 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 6．在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 / 【分析】根据正方形性质和已知线段长证明，从而得出，即；结合图形及可知为中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点，即在中，是斜边上的中线， ， 在中，， ， ． 三、解答题 7．如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】利用四边形性质得出，，结合题目条件通过证明，从而． 【详解】略． 8．在正方形中，，， (1)________，________； (2)证明：为直角三角形． 【答案】(1)20；5 (2)证明：，， ， ∵， ， 是直角三角形． 【分析】（1）对运用勾股定理求解即可； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理逆定理求解． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ∵， ， ， ； （2）略 9．【初步感受】 (1)如图1，在正方形中，点、、分别是、、边上的点，连接、．若，垂足为．将沿方向平移到，连接．求证：； 【迁移应用】 (2)如图2，在矩形中，点、、分别是、、边上的点，连接、，，垂足为．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，王叔叔家有一个矩形菜地，他计划对其进行改造，点、分别在、边上，在改造的过程中始终要满足，连接，过点作交边于点，垂足为．他计划在四边形区域内种植茄子，在四边形区域内种植西红柿，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，米，为了控制成本，要求灌溉水渠（）的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（）总长度的最小值．（水渠宽度忽略不计） 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，，， 将沿方向平移到， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴、、、在一条直线上， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， ； (2)解：，理由如下： 如图2，取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，点是的中点，点是的中点， ，，是的中位线， ， ， ， ， ； (3)米 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接，同理（1）可得，，即可得结论； （3）过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形，，，取的中点，的中点，同理（2）可得，，在中，可得，则，在中，可得，再由，即可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形， ，， ， 当、、在一条直线上时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， ， 取的中点，的中点，连接， 则，，是的中位线， ∴，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ，     ，， ， 在中，， 的最小值为米， 故灌溉水渠（）总长度的最小值为米． 10．【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 (1)①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形顶点是矩形对角线的中点，相交于点，延长，，连接．矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 (3)如图3，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与边，相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②； (2)解：；理由如下： 连接， ∵是矩形对角线的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． (3) 【分析】（1）连接，利用正方形的性质证明可得，进而得到，再利用勾股定理即可得到线段之间的数量关系； （2）连接，利用矩形的性质证明可得，易得垂直平分，即，再利用勾股定理即可得到线段，，之间的数量关系； （3）构造矩形，延长交于G，连接，利用（2）的方法可得，利用勾股定理可得，设，，构建方程可求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形的对角线相交于点， ∴，，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴． 如图：构造矩形，延长交于G，连接， ∵D是矩形对角线的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，， ∴，解得：， 即， ∴的面积为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 正方形的性质与判定 知识点1：正方形的定义   1. 定义内容：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。   2. 核心定位：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者的所有几何性质，是平行四边形体系中性质最完备的图形。 知识点2：正方形的性质   正方形融合平行四边形、矩形、菱形的全部性质，专属核心性质如下，对比整理如下： 几何维度 具体性质 几何语言 图例 边 四条边全部相等，对边平行，邻边互相垂直 ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC，AB⊥BC 角 四个内角均为90°直角 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 对角线 对角线相等、互相垂直、互相平分，且每条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC平分∠DAB、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC 对称性 轴对称图形（4条对称轴）、中心对称图形（对称中心为对角线交点） 正方形沿对边中线、对角线对折完全重合，绕对角线交点O旋转180°与原图重合   3. 面积公式：（a为边长）；（对角线乘积的一半）。   4. 衍生性质：正方形的两条对角线将图形分成四个全等的等腰直角三角形。 知识点3：正方形的判定   判定核心逻辑：矩形+菱形特征=正方形，四种常用判定方法，分层梳理如下：   1. 定义法（从平行四边形判定）：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。   2. 从矩形判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。   3. 从菱形判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。   4. 直接判定法（任意四边形）：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 知识点4：中点四边形   1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，称为中点四边形。   2. 形状规律：中点四边形的形状由原四边形对角线的位置和数量关系决定，对角线垂直且相等的四边形，其中点四边形为正方形。   3. 核心结论：任意正方形的中点四边形仍是正方形。 【基础必考题型】 【题型1】利用正方形性质求基础角度 1.核心知识点   掌握正方形四边相等、四角为直角、对角线平分内角（45°）的核心性质；能结合等腰三角形、直角三角形性质进行角度计算。   熟悉正方形对角线分割出的等腰直角三角形角度特征，快速推导关联角度。 2.解题方法技巧   ①优先标注正方形直角、45°内角，梳理图形中已知角度；   ②结合三角形内角和、外角性质、等腰三角形等边对等角推导未知角度；   ③复杂图形拆解为单个直角三角形、等腰三角形，分步求解。 【例题1】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【变式题1-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，，则的度数为_____ ． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则________． 【题型2】利用正方形性质求线段长度 1.核心知识点   运用正方形边长相等、对角线与边长的数量关系（对角线长=边长）；结合勾股定理、全等三角形求线段长度。   掌握正方形中线段等量转化的基本思路，区分边长、对角线、分割线段的数量关系。 2.解题方法技巧   ①根据正方形性质锁定相等线段，简化已知条件；   ②对角线相关计算优先使用公式，避免重复勾股定理计算；   ③线段和差问题通过图形平移、等量替换转化为常规线段求解。 【例题2】.（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·河南周口·期末）正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型3】基础条件判定正方形 1.核心知识点   掌握正方形四类判定方法，能根据已知图形（平行四边形、矩形、菱形）补充唯一条件判定正方形。   区分矩形、菱形、正方形的判定差异，规避判定条件混淆问题。 2.解题方法技巧   ①先判断已知图形基础类型，再针对性补充条件（矩形补邻边相等/对角线垂直，菱形补直角/对角线相等）；   ②排除无效条件，优先选择最简判定路径；   ③牢记判定核心：必须同时满足矩形和菱形的核心特征。 【例题3】.（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27八年级下·全国·课后作业）已知：如图，四边形是矩形，，M是的中点，N是矩形外一点，且，．求证：四边形是正方形． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【变式题3-3】.（2026·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【题型4】正方形基础面积计算 1.核心知识点   熟练运用正方形两种面积计算公式，能结合分割、补全法计算正方形及内嵌、外附图形面积。   掌握正方形对角线分割图形的面积比例关系（四等分）。 2.解题方法技巧   ①已知边长用平方公式，已知对角线用对角线乘积一半公式；   ②不规则阴影面积通过割补、平移转化为正方形标准面积求解；   ③利用对角线四等分面积结论，快速求解分割图形面积。 【例题4】.（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所表示的正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，分别以的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是_____． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的对角线，交于点，点又是正方形的一个顶点．若，则阴影部分的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【培优高频题型】 【题型5】正方形性质与全等三角形综合证明 1.核心知识点   结合正方形边、角相等的性质，判定三角形全等（SAS、ASA、HL）；利用全等性质推导线段相等、角度相等。   掌握正方形“十字模型”基础结论，能进行简单几何推理证明。 2.解题方法技巧   ①从正方形性质中提取全等所需的边、角等量条件；   ②梳理角的互余、互补关系，推导隐藏相等角；   ③先证全等，再依托全等结论完成后续线段、角度证明。 【例题5】.（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，在正方形中，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式题5-1】.（2026·江苏南通·模拟预测）如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【变式题5-2】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是正方形的对角线上一点，连接．求证：． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 (1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 (3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【题型6】中点四边形形状判定与计算 1.核心知识点   理解中点四边形的形成原理，掌握原四边形对角线与中点四边形形状的对应关系。   能判定任意四边形的中点四边形，熟练证明正方形对应的中点四边形特征。 2.解题方法技巧   ①先判断原四边形对角线的数量、位置关系；   ②根据“垂直得矩形、相等得菱形、垂直且相等得正方形”快速判定；   ③结合中位线定理计算中点四边形的边长、面积。 【例题6】.（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，连接与交于点，若，则四边形的周长是__________． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·河北承德·期末）数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·广东汕头·期末）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形称为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过探究发现，中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定． 【探究】 (1)如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边的中点．求证：中点四边形是平行四边形． 【猜想】 (2)当时，中点四边形是_____________； (3)当______________时，中点四边形是矩形； (4)当______________时，中点四边形是正方形． 【题型7】正方形折叠创新应用 1.核心知识点   结合折叠的全等性质、轴对称性质，联动正方形边角特征，求解折叠后线段、角度、面积。   掌握折叠问题中“对应边相等、对应角相等”的核心等量关系。 2.解题方法技巧   ①标注折叠前后所有相等的边和角，梳理隐藏等量关系；   ②结合勾股定理建立方程，求解未知线段长度；   ③利用正方形对称性简化复杂折叠图形，规避重复计算。 【例题7】.（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）四边形是一张正方形纸片，点E为边上一点，如图1，将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，交于点M． (1)__________； (2)折痕与存在什么数量关系，并说明理由； (3)如图2，点G为边上一点，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）按要求完成以下问题 问题发现 (1)基本模型十字架模型 如图所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，请证明命题：若，则有结论． (2)模型运用 ①如图，在正方形中，，点在线段上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．若，求的值． ②如图，正方形，为延长线上一点，，的垂直平分线分别交、于点和点，连接交于点，连接，求线段的长． 【压轴素养题型】 【题型8】坐标系中的正方形计算 1.核心知识点   结合平面直角坐标系坐标特征，利用正方形边长相等、邻边垂直的性质，求顶点坐标、线段长度。   掌握坐标系中垂直、平行线段的坐标变化规律，实现几何与代数的结合。 2.解题方法技巧   ①根据已知顶点坐标，结合正方形边长、垂直关系推导未知坐标；   ②利用横纵坐标差值计算边长，结合勾股定理验证对角线长度；   ③分类讨论正方形在坐标系中的不同摆放位置，避免漏解。 【例题8】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形中点的坐标为则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴的正半轴重合，边与轴正半轴重合，且点的坐标是，点是边上的一个动点，连接，，过点作交正方形外角的角平分线于点． (1)直接写出点的坐标； (2)连接，当点运动到时，求直线的解析式； (3)在点运动的过程中，是否存在一个位置，使的值最小?若存在，请求出的最小值以及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9】正方形旋转动态探究问题 1.核心知识点   结合图形旋转的性质，联动正方形边角、对角线特征，探究旋转过程中线段、角度、面积的不变量与变化规律。   掌握共顶点正方形旋转模型的核心结论，培养动态几何探究素养。 2.解题方法技巧   ①锁定旋转中心、旋转角，明确旋转前后全等的图形；   ②探究动态过程中的定值（重叠面积、线段和差、垂直关系）；   ③特殊位置取值验证一般规律，结合全等、勾股定理完成证明计算。 【例题9】.（2026·河南周口·二模）如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【变式题9-1】.（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形． (1)如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数． (2)如图，当时，求的长． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 (1)如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） (2)如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________． 【深入探究】 (3)如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 (4)如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·河南新乡·期末）【实践探究】小明同学在做《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分．正方形可绕点O旋转． 【问题发现】 (1)图1中，连接，线段、、之间的数量关系是________； 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的对角线相交于点O，点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【结论应用】 (3)如图3，在直角梯形中，，，点E为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点N、M，矩形可绕点E旋转．已知，，当时，请直接写出线段的长． 易错点 1、混淆正方形、矩形、菱形的判定条件，判定正方形时只满足单一特殊图形特征，遗漏另一组核心条件，导致判定错误。 2、忽略正方形对角线平分内角的45°隐藏条件，在角度计算、三角形全等证明中缺少关键等量条件。 3、中点四边形判定出错，混淆原四边形对角线垂直、相等的对应结论，误判中点四边形形状。 4、正方形折叠、旋转问题中，遗漏动态变化的边角关系，未分类讨论导致漏解、错解。 5、混淆正方形两种面积公式的适用场景，对角线计算面积时忘记乘以二分之一。 重点 1、熟练掌握正方形的边角、对角线、对称性核心性质，能快速完成角度、线段、面积的基础计算。 2、牢记正方形的四类判定方法，能根据已知图形类型灵活选择最简判定思路。 3、掌握正方形与全等三角形、坐标系、折叠的综合应用，形成基础几何推理能力。 4、理解中点四边形的判定规律，能准确判断任意四边形对应的中点四边形形状。 难点 1、正方形旋转、半角模型等动态几何问题，精准捕捉图形变化中的不变量，完成综合证明与计算。 2、正方形动点最值问题，结合对称模型、转化思想，突破线段和差最值的几何探究难点。 3、跨学科、情境化创新题型的建模转化，剥离复杂背景，抽象出正方形核心几何模型求解。 4、多结论综合题型，全面分析图形边角、位置关系，精准判断所有正确结论，规避思维漏洞。 【对应练习题】 一、单选题 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．邻边相等 2．如图，，，均为正方形，是直角三角形，的面积为，的面积为30，则的面积为（     ） A．50 B．40 C．30 D．20 3．如图，图1是飞镖型地漏实物图，图中正方形地漏处于正方形地砖的正中心，各边与正方形地砖互相平行，它们的四周设计按图1中的实线切开，可以形成4块全等的“飞镖”型地砖．图2是它的示意图，若切割线，，则正方形地漏的边长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．对于菱形，当满足______________时，它可成为正方形． 5．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________________． 6．在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．若，，，则的长为__________． 三、解答题 7．如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 8．在正方形中，，， (1)________，________； (2)证明：为直角三角形． 9．【初步感受】 (1)如图1，在正方形中，点、、分别是、、边上的点，连接、．若，垂足为．将沿方向平移到，连接．求证：； 【迁移应用】 (2)如图2，在矩形中，点、、分别是、、边上的点，连接、，，垂足为．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，王叔叔家有一个矩形菜地，他计划对其进行改造，点、分别在、边上，在改造的过程中始终要满足，连接，过点作交边于点，垂足为．他计划在四边形区域内种植茄子，在四边形区域内种植西红柿，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，米，为了控制成本，要求灌溉水渠（）的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（）总长度的最小值．（水渠宽度忽略不计） 10．【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 (1)①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形顶点是矩形对角线的中点，相交于点，延长，，连接．矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 (3)如图3，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与边，相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $