14.2 三角形全等的判定 题型专练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版（2024）八年级上册 14.2 三角形全等的判定 题型专练 【题型1】作一个角等于已知角 【典例】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP长为半径画弧交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ长为半径画弧交前面的弧于点F． 则下列排序正确的是（   ） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【举一反三1】如图，按尺规作图的要求作一个角等于已知角，其中的依据是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（    ） A．以点C为圆心，的长为半径的弧 B．以点C为圆心，的长为半径的弧 C．以点G为圆心，的长为半径的弧 D．以点G为圆心，的长为半径的弧 【举一反三3】如图，已知直线，以及直线外一点，利用尺规作图按下列作法操作： 在直线上取一点，经过点和点作直线； 作，并使得与是一对同位角； 反向延长射线，得到直线． （1）通过操作，得到直线与直线的位置关系是__________，理由是__________； （2）若，则的大小为__________度． 【举一反三4】如图，已知，延长至D. (1)求作：在射线的上方作，使得.（要求：利用尺规作图完成，不写作法，保留作图痕迹） (2)结合（1）所作的图形，求证： 【举一反三5】如图1，，，平分 (1)______，______； (2)尺规作图：如图2，以点O'为顶点，射线为边作，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【题型2】作角的和与差 【典例】如图，已知∠AOB与∠EO'F(∠AOB>∠EO'F)，分别以点O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'.以点B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧A'B'于点H，作射线OH.下列结论正确的是 A．∠AOB=2∠EO'F B．∠AOH=∠EO'F C．∠AOH=∠BOH D．∠HOB=∠EO'F 【举一反三1】下列尺规作图的语句错误的是（      ） A．作，使 B．以点 O 为圆心作线段 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作，使 【举一反三2】如图，∠α=35°，观察尺规作图的痕迹，∠AOB的度数为__________ . 【举一反三3】尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）. 已知：∠α，∠β， 求作：∠AOB=∠α+∠β. 【题型3】作三角形 【典例】如图（1）所示，已知线段，，求作△ABC，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（　　） A．作△ABC的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以点A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【举一反三1】用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【举一反三3】如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段__________； （2）在的同旁，作__________，作__________，与交于点__________，故就是所求作的三角形． 【举一反三4】(人教课本P71习题T9)如图，分别以线段 为一直角边和斜边，作直角三角形. 【题型4】用SAS判定三角形全等 【典例】如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，.测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离.图中与全等的依据是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 __________． 【举一反三2】如图，中，，平分，点为上一点，则图中全等三角形有__________对． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE∥AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE.试说明：△DEB≌△ABC. 【举一反三4】如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE． 【题型5】SAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在中，，，，平分，则的长为__________ ． 【举一反三2】如图，已知，则的度数是__________． 【举一反三3】如图，在中 ，，点D、E分别在上，且，连接 ，交于点F. (1)求证：； (2)求证：. 【题型6】SAS的实际应用 【典例】数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即A，B两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案．数学原理是△ABC和△DEC全等．要用“SAS”判定△ABC≌△DEC，学习小组设计方案的步骤正确的顺序是（　　） 学习小组的设计的画图步骤有：①连接BC，并延长到点E，使CE＝CB；②连接DE，并测量出它的长度，则DE的长度就是A，B两点之间的距离.③先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C；④连接AC并延长到点D，使CD＝CA. A．①②③④ B．①③④② C．③④②① D．④③②① 【举一反三1】要测量，间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 对于方案I，II，下列说法正确的是（   ） A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I,II都不可行 D．I,II都可行 【举一反三2】如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带__________ 去（填序号）. 【举一反三3】常见的折叠椅如图．若相交于点，且是的中点．求证：． 【举一反三4】为培养学生学习数学的兴趣爱好，让学生在探索解法的过程中亲自体验到数学思想和数学方法，能运用所学知识和方法解决实际问题，感受数学在生活中的应用，某中学八年级数学组组织开展数学综合实践活动——构建全等三角形测距离．测量目标：测量柱子底部不相邻的两直角顶点间的距离．兴趣小组提出了一种测量方案：如图，长方形为柱子底部的截面图，只要延长到使得，延长到使得，这时只要测出的长即为A,B之间的距离．请判断这个方案是否可行，并说明理由． 【题型7】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，点B,F,C,E在同一直线上，，，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】如图，OM=ON，直线过与的交点，要想用“ASA”判定，需要添加的条件是 （    ） A．AC=BD B． C． D．AD=BC 【举一反三2】如图，已知∠1＝∠2，还需从下列条件中选一个用ASA说明△ABD≌△ACD，这个条件是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC 【举一反三3】如图，要测量河两岸相对两点A，B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C，D，使CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A，C，E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A，B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是__________.  【举一反三4】如图，，，垂足分别为，，与相交于点，且，求证：． 【题型8】ASA与全等三角形性质的综合 【典例】如图，四边形中，，，，四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为__________ . 【举一反三3】如图，中，，，是边上的中线，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，若则的面积为__________． 【举一反三4】如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠E，AC=AE，∠1=∠2，AD，BC相交于点F. (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)若AB∥DE，∠D=30°，求∠AFB的度数. 【举一反三5】如图，在△ABC中，AD=BD，AC=5，F是高AD和BE的交点，求BF的长. 【题型9】ASA的实际应用 【典例】数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（　　） A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS 【举一反三1】如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这个测量用到三角形全等判定方法是__________． 【举一反三2】小迪站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 那么凉亭与游艇之间的距离是__________米． 【举一反三3】某数学研究小组的同学们把测量某池塘两端之间的距离作为一项课题活动，设计了如表所示的测量方案： 请你根据以上测量方案说明该数学研究小组的结论是否正确，并说明理由． 【题型10】用AAS判定三角形全等 【典例】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件 A．AD=BC B．BD=AC C．∠D=∠C D．∠DAB=∠C 【举一反三1】如图，若∠B＝∠C，若用AAS判定△BOE≌△COD，需要添加的条件是（　　） A．OE=OD B．AB=AC C．AE＝AD D．∠AEC＝∠ADB 【举一反三2】如图，已知，，添加一个条件__________ 判定． 【举一反三3】如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点.若，则的面积为 __________ . 【举一反三4】如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型11】AAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在与中，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，的两条高和交于点．已知，，则的长为（　　）， A．1 B．2 C． D． 【举一反三2】如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，连结，的值为（    ） A． B．4 C． D．3 【举一反三3】如图，在△ABC中，已知，，，，则 __________ ． 【举一反三4】如图，在△ABC中，，，于，于，，，求△BDE的面积． 【举一反三5】已知：如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【题型12】AAS的实际应用 【典例】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A．30 B．35 C．40 D．45 【举一反三1】小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【举一反三2】如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作于C，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，，若，作，垂足为F．则到的距离为（   ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图所示，在△ 中, 是 上一点, 交 于点 ,若 ,则图中阴影部分的面积为_____。 【举一反三4】(课本P119复习题T16)如图，太阳光线 与 是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗? 说说你的理由。 【举一反三5】(教材改编)如图，从C地看A，B两地的视角∠C是锐角，C地与A，B两地的距离相等.A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗?为什么? 【题型13】用SSS判定三角形全等 【典例】如图，在△ABC和△FED中，若AC＝FD，BC＝ED，则下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，能利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【举一反三1】如图 ，AB=CD，BC=AD，用SSS可判定的三角形的条件是（ ） A．AB∥DC B．∠B＝∠D C．∠A＝∠C D．连接AC或BD 【举一反三2】如图，AB=DC，AC=BD，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，其证明过程如下. 在△ABC与△DCB中， ∴△ABC≌△DCB.请补充完整. 【举一反三3】已知：如图，AB=AD.请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明. 【举一反三4】如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“SSS”使的条件有_________（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【题型14】SSS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在中，点，分别为边，上的点，且，，，则__________． 【举一反三2】如图，点B，C，E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为__________． 【举一反三3】如图，在四边形中，连接、．已知，，求证：． 【题型15】SSS的实际应用 【典例】春风送暖，万物复苏，某地举办了一年一度的风筝节，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是__________. 【举一反三2】如图，为码头，，两个灯塔与码头的距离相等，，为海岸线，一轮船离开码头，计划沿的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔和灯塔的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由． 【举一反三3】综合与实践： 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的时，用到判定三角形全等的依据 　   　； 类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图2，在∠AOB的边OA，OB上分别取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点C，D重合，则过角尺顶点E的射线OE是∠AOB的平分线，请证明此做法的合理性； 拓展实践：（3）如图3，四边形OCED中，OC＝OD，EC＝ED，对角线CD与OE相交于点F，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．猜想该“筝形”OCED的面积S与对角线CD，OE的数量关系，并进行证明． 【题型16】用HL判定直角三角形全等 【典例】下列命题中，不正确的是 A．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等 B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．有一条边对应相等的两个等腰直角三角形全等 D．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 【举一反三1】如图所示，点，在线段上，，相交于点，，且，若用“”判定和全等，则需添加的条件是__________． 【举一反三2】如图，在四边形中，与相交于点，若用“”判定和全等，则需添加的条件是__________． 【举一反三3】如图，点B，F，C，E在同一直线上，，垂足为B，，垂足为E，且，求证：． 【题型17】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【举一反三2】如图，在中，点在边上，于点于点．若，则__________． 【举一反三3】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和的高，AD=AF,AC=AE. (1)求证：; (2)求证：BC=BE． 【举一反三4】如图，在中，，直线经过点A，于点E，于点F，求证：． 【题型18】HL的实际应用 【典例】南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【举一反三2】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【举一反三3】如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则的度数为__________． 【举一反三4】(人教课本P43练习T1)如图, 是路段 的中点，两人从 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 两地，且 到路段 的距离相等吗? 为什么? 【题型19】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 【典例】判断两个直角三角形全等的方法不正确的是(　　) A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【举一反三1】下列命题中，真命题有(    ) ①三个内角对应相等的两个三角形全等； ②全等三角形的面积必然相等； ③有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等； ④有两边和其中一边的高对应相等的两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】根据下列条件能画出唯一的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三3】下图网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．就是一个格点三角形，在如图给定的网格中，能够画出__________个与全等的格点三角形(不包括)． 【举一反三4】如图，在和中，下列三个论断：    （1）；（2）；（3），将两个论断作为条件，另一作为结论，构成一个正确的命题．如果__________，那么__________（填序号）． 【举一反三5】如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD. (1)△AOD与△BOC全等吗？请说明理由. (2)△ACD与△BDC全等吗？为什么？ 【举一反三6】数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 【题型20】添加适当条件判定三角形全等 【典例】如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加的一个条件是 A．AB=AC B．BE=CE C．AE=AE D．∠C=∠BAE 【举一反三1】如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是__________.(只需添一个)  【举一反三2】如图，在和中，，，当添加条件__________ 时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 【举一反三3】如图，AB=AC，请你添加一个条件，使△ABE≌△ACD. (1)写出你添加的条件； (2)根据上述添加的条件证明△ABE≌△ACD. 【题型21】全等三角形的性质与判定的综合 【典例】如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的结论有 （      ）  A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【举一反三1】如图，，则的长为__________ ． 【举一反三2】风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：． 【举一反三3】如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12，求AC的长． 【题型22】全等三角形与动点问题 【典例】如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【举一反三1】如图，，垂足为C，AC=2 cm，BC=5 cm，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1 cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN=AB，随着P点运动而运动．当点P运动t s（）时，与全等，则的值为__________． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝8 cm，CD＝14 cm，∠B＝∠C，E为线段AB的中点．点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为__________ cm/s时，有一个时刻能够使△BPE与以C，P，Q三点为顶点的三角形全等． 【举一反三3】如图1和图2，在四边形中，已知，，点E，F分别在，上，. (1) 如图1，若，都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段，和之间的数量关系. (2) 如图2，若，都不是直角，但满足，线段，和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由. (3) 拓展：如图3，在中，，点D，E均在边上，且，若，求的长. 【举一反三4】在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且. （1）如图1，若点E是的中点，求证：. （2）如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由. 【题型23】倍长中线法 【典例】如图△ABC，AB=7，AC=3,AD是BC边上的中线则AD的取值范围为（ ） A．4<AD<10 B．2<AD<5 C．1<AD< D．无法确定 【举一反三1】如图，AD是△ABC中BC边上的中线．若AB＝5，AC＝9，则AD的取值范围是（  ） A．4＜AD＜14 B．2＜AD＜7 C．5＜AD＜9 D．4＜AD＜9 【举一反三2】在△ABC中，AB=6，AC=8，AD为BC边上的中线，则AD长度的取值范围是__________.  【举一反三3】如图，CE是△ACD的中线，点B在AD的延长线上，BD=AC，∠ACD=∠ADC，求证：CE=BC. 【举一反三4】先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【题型24】全等三角形与垂线问题 【典例】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为__________． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°.试说明：AB+CD=BC. 【题型25】与尺规作图相关的全等三角形问题 【典例】小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与△ABC全等的是 A． B． C． D． 【举一反三1】程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【举一反三2】如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，若，过点G作交于点P，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三3】已知，如图，中，在和边上分别截取，，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E，作射线，点P，D分别是射线，上一点，过点P作，垂足为点C，连接，若，，则的面积是__________． 【举一反三4】如图，在中，以点C为圆心，以长为半径画圆弧，交的延长线于点D．分别以点C，D为圆心，以线段为半径画弧，两弧交于点E，连接．根据以上作图过程，求证：． 【举一反三5】阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________； (2)[继续探索]如图②，四边形是()等角四边形，平分平分，在的证明过程不太完整，请你补充完整； (3)如图③，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)． 人教版（2024）八年级上册 14.2 三角形全等的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】作一个角等于已知角 【典例】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP长为半径画弧交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ长为半径画弧交前面的弧于点F． 则下列排序正确的是（   ） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【答案】B 【举一反三1】如图，按尺规作图的要求作一个角等于已知角，其中的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据作图过程可知，， 在和中， ∴， ∴， 即. 故选：D. 【举一反三2】如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（    ） A．以点C为圆心，的长为半径的弧 B．以点C为圆心，的长为半径的弧 C．以点G为圆心，的长为半径的弧 D．以点G为圆心，的长为半径的弧 【答案】A 【解析】解：由作图可知作图步骤为 ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于F，E， ②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于G， ③以点G为圆心，以长为半径画弧，交弧于D， ④过点C作射线， 根据同位角相等，两直线平行，可得． 【举一反三3】如图，已知直线，以及直线外一点，利用尺规作图按下列作法操作： 在直线上取一点，经过点和点作直线； 作，并使得与是一对同位角； 反向延长射线，得到直线． （1）通过操作，得到直线与直线的位置关系是__________，理由是__________； （2）若，则的大小为__________度． 【答案】解：（1）， ， 理由是同位角相等，两直线平行． （2）， ． 【举一反三4】如图，已知，延长至D. (1)求作：在射线的上方作，使得.（要求：利用尺规作图完成，不写作法，保留作图痕迹） (2)结合（1）所作的图形，求证： 【答案】(1)如图，∠DCE为所作； (2)证明：∵， ∴， ∴， ∴. 【举一反三5】如图1，，，平分 (1)______，______； (2)尺规作图：如图2，以点O'为顶点，射线为边作，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】解：（1），， ， 平分， ， ． （2）如图所示，即为所求． 【题型2】作角的和与差 【典例】如图，已知∠AOB与∠EO'F(∠AOB>∠EO'F)，分别以点O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'.以点B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧A'B'于点H，作射线OH.下列结论正确的是 A．∠AOB=2∠EO'F B．∠AOH=∠EO'F C．∠AOH=∠BOH D．∠HOB=∠EO'F 【答案】D 【解析】连接HB'和E'F'，如图， 由作图过程可知，OH=O'E'，OB'=O'F'，B'H=F'E'. 在△HOB'和△E'O'F'中， 所以△HOB'≌△E'O'F'(SSS)， 所以∠HOB=∠EO'F. 【举一反三1】下列尺规作图的语句错误的是（      ） A．作，使 B．以点 O 为圆心作线段 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作，使 【答案】B 【解析】解：A项，作，使，原说法正确，不符合题意； B项，以点O为圆心作线段，未说明半径，原说法错误，符合题意； C项，以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，原说法正确，不符合题意； D项，作，使，原说法正确，不符合题意． 【举一反三2】如图，∠α=35°，观察尺规作图的痕迹，∠AOB的度数为__________ . 【答案】70° 【解析】由作图可知∠AOB=2∠α， 因为∠α=35°， 所以∠AOB=2∠α=70°. 【举一反三3】尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）. 已知：∠α，∠β， 求作：∠AOB=∠α+∠β. 【答案】解　如图所示，∠AOB=∠α+∠β. 【题型3】作三角形 【典例】如图（1）所示，已知线段，，求作△ABC，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（　　） A．作△ABC的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以点A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【举一反三1】用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由作图得，， 在和中， ∴， ∴能得到的依据是． 【举一反三2】如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【答案】C 【解析】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①． 【举一反三3】如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段__________； （2）在的同旁，作__________，作__________，与交于点__________，故就是所求作的三角形． 【答案】c　 【解析】解：先在射线上截取，在的同旁，作，作，与交于点C，故就是所求作的三角形． 【举一反三4】(人教课本P71习题T9)如图，分别以线段 为一直角边和斜边，作直角三角形. 【答案】已知: 线段 ,如图所示. 求作: Rt ,使 . 作法:(1)作射线 . (2)过点 作射线 . (3)在 上截取 ,使 . (4)以点 为圆心，以 为半径画弧，交 于点 ,连接 . 则 为所求作的直角三角形，如图所示. 【题型4】用SAS判定三角形全等 【典例】如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，.测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离.图中与全等的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：. 【举一反三1】如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 __________． 【答案】 【解析】解：需添加的条件为；理由如下： 在与中， ， ∴（）． 【举一反三2】如图，中，，平分，点为上一点，则图中全等三角形有__________对． 【答案】 【解析】解： 平分， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 共对全等三角形． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE∥AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE.试说明：△DEB≌△ABC. 【答案】解　因为DE∥AC，所以∠EDB=∠A. 在△DEB与△ABC中， 所以△DEB≌△ABC(SAS). 【举一反三4】如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE． 【答案】证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． 【题型5】SAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三1】如图，在中，，，，平分，则的长为__________ ． 【答案】 【解析】在上取一点，使，连接，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三2】如图，已知，则的度数是__________． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【举一反三3】如图，在中 ，，点D、E分别在上，且，连接 ，交于点F. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ (2)由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴. 【题型6】SAS的实际应用 【典例】数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即A，B两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案．数学原理是△ABC和△DEC全等．要用“SAS”判定△ABC≌△DEC，学习小组设计方案的步骤正确的顺序是（　　） 学习小组的设计的画图步骤有：①连接BC，并延长到点E，使CE＝CB；②连接DE，并测量出它的长度，则DE的长度就是A，B两点之间的距离.③先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C；④连接AC并延长到点D，使CD＝CA. A．①②③④ B．①③④② C．③④②① D．④③②① 【答案】C 【解析】由题意知CD＝CA，CE＝CB， 在△DCE和△ABC中， ， ∴△DEC≌△ABC（SAS）． ∴△ABC≌△DEC（SAS）． 故选：C． 【举一反三1】要测量，间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 对于方案I，II，下列说法正确的是（   ） A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I,II都不可行 D．I,II都可行 【答案】D 【解析】解：方案Ⅰ：，，, , ． 方案Ⅱ：，，, , , 综上所述，方案I,II都可行． 【举一反三2】如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带__________ 去（填序号）. 【答案】③ 【举一反三3】常见的折叠椅如图．若相交于点，且是的中点．求证：． 【答案】证明：是的中点， 在和中， ． ． 【举一反三4】为培养学生学习数学的兴趣爱好，让学生在探索解法的过程中亲自体验到数学思想和数学方法，能运用所学知识和方法解决实际问题，感受数学在生活中的应用，某中学八年级数学组组织开展数学综合实践活动——构建全等三角形测距离．测量目标：测量柱子底部不相邻的两直角顶点间的距离．兴趣小组提出了一种测量方案：如图，长方形为柱子底部的截面图，只要延长到使得，延长到使得，这时只要测出的长即为A,B之间的距离．请判断这个方案是否可行，并说明理由． 【答案】解：这个方案可行，理由： 与是对顶角， ， 在与中， ， ， ． 【题型7】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，点B,F,C,E在同一直线上，，，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【举一反三1】如图，OM=ON，直线过与的交点，要想用“ASA”判定，需要添加的条件是 （    ） A．AC=BD B． C． D．AD=BC 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， 在中， ∴添加“”,可用“ASA”判定. 【举一反三2】如图，已知∠1＝∠2，还需从下列条件中选一个用ASA说明△ABD≌△ACD，这个条件是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC 【答案】A 【解析】解：A、加∠ADB＝∠ADC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），是正确选法； B、加∠B＝∠C∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠B＝∠C，不符合ASA，不符合题意； C、加DB＝DC，满足SSA，不能得出△ABD≌△ACD，是错误选法； D、加AB＝AC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AC，不符合ASA，不符合题意；． 故选：A． 【举一反三3】如图，要测量河两岸相对两点A，B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C，D，使CD=BC，再在过点D的垂线上取点E，使A，C，E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A，B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是__________.  【答案】ASA 【解析】由题意可得∠ABC=∠EDC=90°， 在△EDC和△ABC中， ∴△EDC≌△ABC. 【举一反三4】如图，，，垂足分别为，，与相交于点，且，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴ ∴． 【题型8】ASA与全等三角形性质的综合 【典例】如图，四边形中，，，，四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴四边形的面积与的面积相等 ∴， 故选：． 【举一反三1】如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点，过点作于点， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ，. ， ，即， ， . 故选：D. 【举一反三2】如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为__________ . 【答案】2 【解析】如图， ∵平分， ∴， 在和中，， ， ∴. 又∵，∴. ∴. ∵， ∴， 故答案是：2. 【举一反三3】如图，中，，，是边上的中线，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，若则的面积为__________． 【答案】32 【解析】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠E，AC=AE，∠1=∠2，AD，BC相交于点F. (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)若AB∥DE，∠D=30°，求∠AFB的度数. 【答案】(1)证明　∵∠1=∠2， ∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD， ∴∠CAB=∠EAD， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(ASA). (2)解　∵AB∥DE， ∴∠1=∠D=30°， 由(1)可知，∠B=∠D=30°， ∴∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-30°-30°=120°. 【举一反三5】如图，在△ABC中，AD=BD，AC=5，F是高AD和BE的交点，求BF的长. 【答案】解：∵AD、BE是高， ∴∠ADC=∠BDF=90°，∠BEC=90°， ∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC， 在△ADC和△BDF中， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF=AC， ∵AC=5， ∴BF=5. 【题型9】ASA的实际应用 【典例】数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（　　） A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS 【答案】D 【解析】A、图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线，解释正确，不符合题意； B、图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性，解释正确，不符合题意； C、图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最，解释正确，不符合题意； D、图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法ASA，解释不正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三1】如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这个测量用到三角形全等判定方法是__________． 【答案】ASA 【解析】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB=∠CAB′=90°．在△ABC和△AB′C中，，∴△ABC≌△AB′C（ASA），∴AB′=AB．故答案为ASA． 【举一反三2】小迪站在堤岸凉亭点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 那么凉亭与游艇之间的距离是__________米． 【答案】6 【解析】解： 米，米， ， ，， ， 在与中， ， 米． 凉亭与游艇之间的距离是6米． 【举一反三3】某数学研究小组的同学们把测量某池塘两端之间的距离作为一项课题活动，设计了如表所示的测量方案： 请你根据以上测量方案说明该数学研究小组的结论是否正确，并说明理由． 【答案】解：正确，理由如下， 由题意得， 在与中， ， ， ∴该数学研究小组的结论是正确的． 【题型10】用AAS判定三角形全等 【典例】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件 A．AD=BC B．BD=AC C．∠D=∠C D．∠DAB=∠C 【答案】C 【举一反三1】如图，若∠B＝∠C，若用AAS判定△BOE≌△COD，需要添加的条件是（　　） A．OE=OD B．AB=AC C．AE＝AD D．∠AEC＝∠ADB 【答案】A 【解析】解：∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COD，当OE=OD时，可用AAS判定△BOE≌△COD. 而B、C、D选项不符合题意． 故选：A． 【举一反三2】如图，已知，，添加一个条件__________ 判定． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：添加一个条件，判定， 理由如下： 在和中， ． 【举一反三3】如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点.若，则的面积为 __________ . 【答案】 【解析】过点D作于点M， 则 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：. 【举一反三4】如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型11】AAS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在与中，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，的两条高和交于点．已知，，则的长为（　　）， A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】解：， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ∴ ， ， 故选：A． 【举一反三2】如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，连结，的值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【解析】解：延长，交于点，如图所示. ，D为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【举一反三3】如图，在△ABC中，已知，，，，则 __________ ． 【解析】3 【举一反三4】如图，在△ABC中，，，于，于，，，求△BDE的面积． 【解析】解：， 【举一反三5】已知：如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】（1）证明：∵于点于点，交于点， ， ， 在和中， ∴． （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ∴的长为4． 【题型12】AAS的实际应用 【典例】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】D 【解析】解：如图，由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 【举一反三1】小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】解： ， 又，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ． ∵，， ∴． 【举一反三2】如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作于C，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，，若，作，垂足为F．则到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即到的距离为． 【举一反三3】如图所示，在△ 中, 是 上一点, 交 于点 ,若 ,则图中阴影部分的面积为_____。 【答案】24 【解析】因为 ,所以。 在 和 中, 因为, 所以, 所以 , 所以题图中阴影部分的面积 。 【举一反三4】(课本P119复习题T16)如图，太阳光线 与 是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗? 说说你的理由。 【答案】解:影子一样长。 理由:因为, 所以。 因为, 所以。 在 和 中,, 所以(AAS), 所以 ,即影子一样长。 【举一反三5】(教材改编)如图，从C地看A，B两地的视角∠C是锐角，C地与A，B两地的距离相等.A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗?为什么? 【答案】解：相等.理由如下： 根据题意，可知，AC=BC，且AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠BEC=90°， 在和中， ∴，∴． 【题型13】用SSS判定三角形全等 【典例】如图，在△ABC和△FED中，若AC＝FD，BC＝ED，则下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，能利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【解析】解：如果添加条件①AE＝FB， 则AE+BE＝FB+BE， ∴AB＝FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， 故添加条件①可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件②AB＝FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， 故添加条件②可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件③AE＝BE，不能得出AB＝FE， 故添加条件③不可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件④BF＝BE，不能得出AB＝FE， 故添加条件④不可以利用SSS判定△ABC和△FED全等． 综上所述：添加条件①或②可以利用SSS判定△ABC和△FED全等． 故选：A． 【举一反三1】如图 ，AB=CD，BC=AD，用SSS可判定的三角形的条件是（ ） A．AB∥DC B．∠B＝∠D C．∠A＝∠C D．连接AC或BD 【答案】D 【解析】解：可构造辅助线连接AC或BD，这样利用SSS可以得到全等三角形，所以正确的是D. 【举一反三2】如图，AB=DC，AC=BD，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，其证明过程如下. 在△ABC与△DCB中， ∴△ABC≌△DCB.请补充完整. 【答案】BC　CB　公共边 【举一反三3】已知：如图，AB=AD.请添加一个条件使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明. 【答案】解　若添加条件为：BC=CD，证明如下： 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)（答案不唯一）. 【举一反三4】如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“SSS”使的条件有_________（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【答案】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“SSS”，可以判定； ②虽然，，，但“边边角”不能判定两个三角形全等； ③因为，，，根据全等三角形判定定理“边角边”能判定两个三角形全等，但不符合“SSS”条件，所以不符合题意； ④，，，“边边角”不能判定两个三角形全等． （2）证明：选条件①， 在和中， 所以． 【题型14】SSS与全等三角形性质的综合 【典例】如图，，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，，， ∴， ， ． 【举一反三1】如图，在中，点，分别为边，上的点，且，，，则__________． 【答案】 【解析】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，点B，C，E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】解：在与中， ， ，， 在中，由三角形性质得， ， ． 【举一反三3】如图，在四边形中，连接、．已知，，求证：． 【答案】证明：在和中 ， ， ∴． 【题型15】SSS的实际应用 【典例】春风送暖，万物复苏，某地举办了一年一度的风筝节，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在和中， ， ． 【举一反三1】“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是__________. 【答案】边边边 【解析】解：在△DEH和△DFH中 ， ∴△DEH≌△DFH（SSS）， ∴∠DEH＝∠DFH， 故选：边边边 【举一反三2】如图，为码头，，两个灯塔与码头的距离相等，，为海岸线，一轮船离开码头，计划沿的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔和灯塔的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由． 【答案】解：此时轮船没有偏离航线． 理由：由题意知，假设轮船在处，则，如图， 又，， ∴， ∴，即为的平分线， ∴此时轮船没有偏离航线． 【举一反三3】综合与实践： 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的时，用到判定三角形全等的依据 　   　； 类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图2，在∠AOB的边OA，OB上分别取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点C，D重合，则过角尺顶点E的射线OE是∠AOB的平分线，请证明此做法的合理性； 拓展实践：（3）如图3，四边形OCED中，OC＝OD，EC＝ED，对角线CD与OE相交于点F，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．猜想该“筝形”OCED的面积S与对角线CD，OE的数量关系，并进行证明． 【答案】（1）解：以CD为边作等边三角形CDE， ∴CE＝DE， 又∵OC＝OD，OE＝OE， ∴△OCE≌△ODE （SSS）， ∴∠COE＝∠DOE， ∴OE平分∠AOB， 故应该填写：SSS； （2）证明：∵OC＝OD，OE＝OE，CE＝DE， ∴△OCE≌△ODE （SSS）， ∴∠COE＝∠DOE， ∴OE平分∠AOB； （3）解：∵OC＝OD，EC＝ED， ∴OE垂直平分CD， ∴S＝S△OCE+S△ODE， ∴S＝OE•CF+OE•FD＝OE•（CF+DF）＝OE•CD， ∴S＝OE•CD． 【题型16】用HL判定直角三角形全等 【典例】下列命题中，不正确的是 A．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等 B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．有一条边对应相等的两个等腰直角三角形全等 D．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【举一反三1】如图所示，点，在线段上，，相交于点，，且，若用“”判定和全等，则需添加的条件是__________． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， 当添加条件时，． 【举一反三2】如图，在四边形中，与相交于点，若用“”判定和全等，则需添加的条件是__________． 【答案】AD=BC或BD=AC 【解析】解：在和中， ∴， 或在和中， ∴． 【举一反三3】如图，点B，F，C，E在同一直线上，，垂足为B，，垂足为E，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 【题型17】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 【举一反三1】如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，在中，点在边上，于点于点．若，则__________． 【解析】50° 【举一反三3】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和的高，AD=AF,AC=AE. (1)求证：; (2)求证：BC=BE． 【解析】证明：（1）∵AD,AF是高， 【举一反三4】如图，在中，，直线经过点A，于点E，于点F，求证：． 【答案】证明：于点于点F， ， 在和中， ， ，    ， ，   ∵直线经过点A， ，    ． 【题型18】HL的实际应用 【典例】南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴若添加，无法证明，A选项符合题意； 若添加，可根据“”证明，B选项不符合题意； 若添加，可根据“”证明，C选项不符合题意； 若添加，可根据“”证明，D选项不符合题意． 【举一反三1】在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【解析】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 【举一反三2】如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【解析】解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．则（1）AB=DE，正确；（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；（3）∠ABC=∠DEF．故选C． 【举一反三3】如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】解：在和中， ， ， 【举一反三4】(人教课本P43练习T1)如图, 是路段 的中点，两人从 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 两地，且 到路段 的距离相等吗? 为什么? 【答案】解　, 到路段 的距离相等.理由: . 是 的中点, . 由题意可知 . 在 Rt 和 Rt 中, . 到路段 的距离相等. 【题型19】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 【典例】判断两个直角三角形全等的方法不正确的是(　　) A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【答案】D 【解析】两条直角边对应相等，SAS判定两个直角三角形全等，A不符合题意； 斜边和一锐角对应相等，AAS判定两个直角三角形全等，B不符合题意； 斜边和一条直角边对应相等，HL判定两个直角三角形全等，C不符合题意； 两个锐角对应相等，AAA，没有边对应相等，不能判定两个直角三角形全等，D符合题意. 【举一反三1】下列命题中，真命题有(    ) ①三个内角对应相等的两个三角形全等； ②全等三角形的面积必然相等； ③有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等； ④有两边和其中一边的高对应相等的两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】解：①三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，是假命题； ②全等三角形的面积必然相等，正确，是真命题； ③有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，原说法错误，是假命题； ④有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，若两个三角形分别为一个锐角三角形，一个钝角三角形，则不全等，原说法错误，是假命题， 综上所述，真命题有1个． 【举一反三2】根据下列条件能画出唯一的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、∵，∴为边不能画出三角形，不符合题意； B、，不能判定三角形全等，故B不能画出唯一三角形，不符合题意； C、，不能判定三角形全等，故C不能画出唯一三角形，不符合题意； D、，能判定三角形全等，故D能画出唯一三角形，符合题意； 故选：D． 【举一反三3】下图网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．就是一个格点三角形，在如图给定的网格中，能够画出__________个与全等的格点三角形(不包括)． 【答案】 【解析】解：每相邻的两行有个，每相邻的两列有个， ∴共有(个)． 【举一反三4】如图，在和中，下列三个论断：    （1）；（2）；（3），将两个论断作为条件，另一作为结论，构成一个正确的命题．如果__________，那么__________（填序号）． 【答案】②③；①． 【解析】解：如果②；③，那么①； 证明：在和中，， 所以， 所以.（答案不唯一） 故答案为：②③；①． 【举一反三5】如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD. (1)△AOD与△BOC全等吗？请说明理由. (2)△ACD与△BDC全等吗？为什么？ 【答案】解　(1)△AOD≌△BOC.理由如下， 因为∠AOD与∠BOC是对顶角， 根据“对顶角相等”， 所以∠AOD=∠BOC. 在△AOD和△BOC中， 因为OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△AOD≌△BOC. (2)△ACD≌△BDC，理由如下， 由(1)可知，△AOD≌△BOC， 根据“全等三角形的对应边相等”， 所以AD=BC. 因为OA=OB，OC=OD， AC=OA+OC，BD=OB+OD， 所以AC=BD. 在△ACD和△BDC中， 因为AD=BC，AC=BD，DC=CD， 根据三角形全等的判定条件“SSS”， 所以△ACD≌△BDC. 【举一反三6】数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 【答案】解：(1)乙：∵，，， ∴； 丙：∵，，， ∴． (2)甲：∵，，， ∴； 乙：∵，，， ∴； 丙：∵，，， ∴． 【题型20】添加适当条件判定三角形全等 【典例】如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加的一个条件是 A．AB=AC B．BE=CE C．AE=AE D．∠C=∠BAE 【答案】B 【解析】∵∠1=∠2， ∴∠AEB=∠AEC， 又AE为公共边， 当AB=AC时，无法证明△ABE≌△ACE，故A不符合题意； 当BE=CE时，利用“SAS”证明△ABE≌△ACE，故B符合题意； 当AE=AE时，无法证明△ABE≌△ACE，故C不符合题意； 当∠C=∠BAE时，无法证明△ABE≌△ACE，故D不符合题意. 【举一反三1】如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是__________.(只需添一个)  【答案】AB=DE(答案不唯一) 【解析】添加AB=DE，理由如下： ∵AB∥ED， ∴∠B=∠E， ∵AC∥FD， ∴∠ACB=∠DFE， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF. 【举一反三2】如图，在和中，，，当添加条件__________ 时，就可得到．（只需填写一个你认为正确的条件） 【答案】或或． 【解析】添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 ． 添加． ， ． ． 在和中 故答案为：或或． 【举一反三3】如图，AB=AC，请你添加一个条件，使△ABE≌△ACD. (1)写出你添加的条件； (2)根据上述添加的条件证明△ABE≌△ACD. 【答案】(1)解　添加的条件是∠B=∠C或AE=AD或∠AEB=∠ADC（答案不唯一）. (2)证明　若添加∠B=∠C， 在△ABE和△ACD中 所以△ABE≌△ACD(ASA). 若添加AE=AD， 在△ABE和△ACD中 所以△ABE≌△ACD(SAS). 若添加∠AEB=∠ADC， 在△ABE和△ACD中 所以△ABE≌△ACD(AAS). 【题型21】全等三角形的性质与判定的综合 【典例】如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的结论有 （      ）  A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD， 即∠AOC=∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD(SAS)， ∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，①正确； 由三角形的外角性质得∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确； 作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，如图所示， 则∠OGC=∠OHD=90°， 在△OCG和△ODH中， ∴△OCG≌△ODH(AAS)， ∴OG=OH， 在Rt△OMG和Rt△OMH中， ∴Rt△OMG≌Rt△OMH(HL)， ∴∠OMG=∠OMH， ∴MO平分∠BMC，④正确； ∵∠AOB=∠COD， ∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM=∠AOM， ∵∠COD=∠AOB， ∴∠COM=∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO=∠BMO， 在△COM和△BOM中， ∴△COM≌△BOM(ASA)， ∴OB=OC， ∵OA=OB， ∴OA=OC， 与OA>OC矛盾， ∴③错误， 正确的有①②④. 【举一反三1】如图，，则的长为__________ ． 【答案】3 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【举一反三2】风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提线和尾巴等部分构成．如图所示，风筝的两侧骨架，底部骨架，点在的延长线上．求证：． 【答案】解：依题意，在和中， ． ， ． 【举一反三3】如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB， ∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∴∠DEB＝∠A， 在△ACB和△EBD中， ， ∴△ACB≌△EBD（AAS）； （2）解：由（1）得：△ACB≌△EBD， ∴BC＝DB，AC＝EB， ∵E是BC的中点， ∴， ∵DB＝12，BC＝DB， ∴BC＝12， ∴AC＝EB＝BC＝6． 【题型22】全等三角形与动点问题 【典例】如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【解析】设t秒后，与全等， 根据题意得： ，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 【举一反三1】如图，，垂足为C，AC=2 cm，BC=5 cm，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1 cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN=AB，随着P点运动而运动．当点P运动t s（）时，与全等，则的值为__________． 【解析】3或7或10 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝8 cm，CD＝14 cm，∠B＝∠C，E为线段AB的中点．点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为__________ cm/s时，有一个时刻能够使△BPE与以C，P，Q三点为顶点的三角形全等． 【答案】或3 【解析】∵E为线段AB的中点，AB＝12 cm， ∴BE＝AB＝6 cm. 设运动时间为t(s)，点Q的运动速度为v(cm/s)，则BP＝3t(cm)，CQ＝vt(cm). ∵BC＝8 cm，∴CP＝(8－3t)cm. 又∵∠B＝∠C，∴可分两种情况讨论： ①当△BEP≌△CQP时， BE＝CQ，BP＝CP， ∴ 解得t＝，v＝，此时BE＝CQ＝6 cm，BP＝CP＝4 cm，符合题意； ②当△BEP≌△CPQ时， BE＝CP，BP＝CQ， ∴ 解得t＝，v＝3，此时BE＝CP＝6 cm，BP＝CQ＝2 cm，符合题意． 综上所述，当点Q的运动速度为 cm/s 或3 cm/s时，有一个时刻能够使△BPE与以C，P，Q三点为顶点的三角形全等． 【举一反三3】如图1和图2，在四边形中，已知，，点E，F分别在，上，. (1) 如图1，若，都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段，和之间的数量关系. (2) 如图2，若，都不是直角，但满足，线段，和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由. (3) 拓展：如图3，在中，，点D，E均在边上，且，若，求的长. 【答案】(1) 如图1， 把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ； (2) 成立，理由如下： 如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与①同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； (3) 中，，， ， 由勾股定理得：， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接. 则，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即. 【举一反三4】在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且. （1）如图1，若点E是的中点，求证：. （2）如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由. 【答案】（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过E作交于F， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 【题型23】倍长中线法 【典例】如图△ABC，AB=7，AC=3,AD是BC边上的中线则AD的取值范围为（ ） A．4<AD<10 B．2<AD<5 C．1<AD< D．无法确定 【答案】B 【解析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示： ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC， ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴BE=AC=3， 在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE， 即7-3＜2AD＜7+3， ∴2＜AD＜5， 故选：B． 【举一反三1】如图，AD是△ABC中BC边上的中线．若AB＝5，AC＝9，则AD的取值范围是（  ） A．4＜AD＜14 B．2＜AD＜7 C．5＜AD＜9 D．4＜AD＜9 【答案】B 【解析】如图，过点C作CE∥AB，与AD的延长线交于点E． ∵CE∥AB， ∴∠ABC＝∠ECD，∠BAD＝∠E． 又∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD＝CD． 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC（AAS）． ∴AB＝CE＝5，AD＝DE＝AE， ∵AC＝9，CE＝5， ∴9﹣5＜AE＜9+5，即4＜AE＜14． ∴2＜AD＜7． 故选：B． 【举一反三2】在△ABC中，AB=6，AC=8，AD为BC边上的中线，则AD长度的取值范围是__________.  【答案】1<AD<7 【解析】如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE. 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE=AB. 在△ACE中，AC-CE<AE<AC+CE， 即2<2AD<14， 1<AD<7. 【举一反三3】如图，CE是△ACD的中线，点B在AD的延长线上，BD=AC，∠ACD=∠ADC，求证：CE=BC. 【答案】证明　延长CE至点F，使EF=CE，连接AF，DF，如图. ∵CE=EF，AE=DE， ∴△ACE≌△DFE(SAS)， ∴∠CAD=∠ADF，DF=AC. 又∵∠CDF=∠ADC+∠ADF，∠BDC=∠CAD+∠ACD，∠ACD=∠ADC， ∴∠CDF=∠BDC. 又∵DF=AC=BD，CD=CD， ∴△CDF≌△CDB(SAS)， ∴FC=BC， ∴CE=BC. 【举一反三4】先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】解：延长AD到G，使DF=DG，连接CG， ∵AD是中线， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDG中， ∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG， ∴△BDF≌△CDG， ∴BF=CG，∠BFD=∠G， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠AFE=∠G， ∵BF=CG，且已知BF=AC， ∴CG=AC， ∴∠G=∠CAF， ∴∠AFE=∠CAF， ∴AE=EF． 【题型24】全等三角形与垂线问题 【典例】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴, 又∵，， ∴，， ∴． 【举一反三1】如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，OD=， ∴． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°.试说明：AB+CD=BC. 【答案】解　因为∠B=∠APD=90°， 所以∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠DPC=90°， 所以∠BAP=∠DPC. 又PA=PD，∠B=∠C=90°，所以△BAP≌△CPD(AAS). 所以BP=CD，AB=PC，所以BC=BP+PC=AB+CD. 【题型25】与尺规作图相关的全等三角形问题 【典例】小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与△ABC全等的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 由作图痕迹可得，DE=AB，∠DEF=∠ABC，EF=BC， ∴△DEF≌△ABC(SAS)， 故A选项正确，不符合题意； 如图， 由作图痕迹可得，DE=AB，EF=BC，DF=AC， ∴△DEF≌△ABC(SSS)， 故B选项正确，不符合题意； 如图， 由作图痕迹可得，∠DEF=∠ABC，EF=BC，∠DFE=∠ACB， ∴△DEF≌△ABC(ASA)， 故C选项正确，不符合题意； 如图， 由作图痕迹可得，∠DEF=∠ABC，EF=BC，DF=AC， 不能得出△DEF与△ABC全等， 故D选项不正确，符合题意. 【举一反三1】程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【解析】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确． 【举一反三2】如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G，若，过点G作交于点P，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】解：由尺规作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【举一反三3】已知，如图，中，在和边上分别截取，，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E，作射线，点P，D分别是射线，上一点，过点P作，垂足为点C，连接，若，，则的面积是__________． 【答案】6 【解析】解：如图，过点P作交于点F，    由作图可知，是的平分线， ∵，， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：6． 【举一反三4】如图，在中，以点C为圆心，以长为半径画圆弧，交的延长线于点D．分别以点C，D为圆心，以线段为半径画弧，两弧交于点E，连接．根据以上作图过程，求证：． 【答案】证明：根据作图知， ∴， ∴，∴． 【举一反三5】阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________； (2)[继续探索]如图②，四边形是()等角四边形，平分平分，在的证明过程不太完整，请你补充完整； (3)如图③，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)． 【答案】(1)解：∵四边形是等角四边形， ∴， 又 ∴ (2)证明：四边形是等角四边形， ． 设， 在四边形中，， ． 平分平分 ， ， 在中，， (3)解：如图所示，点即为所求 学科网（北京）股份有限公司 $