14.2三角形全等的判定（分层作业，24大题型）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“理解-掌握-运用”三级分层设计，覆盖三角形全等判定全知识点，从基础直接应用到综合辅助线构造，梯度清晰，适配差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|全等判定（SAS/ASA/AAS/SSS/HL）、基础尺规作图|直接应用判定方法，如选择SAS条件证全等，巩固核心概念| |B组|判定与性质综合、添加条件、尺规作图与全等结合|间接证明及综合应用，如“全等性质与SAS综合”，提升推理能力| |C组|辅助线构造（倍长中线/旋转等模型）、线段和差证明|高阶思维训练，如“旋转模型构造全等”，发展空间观念与创新意识|

分层作业 14.2 三角形全等的判定 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型02 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型03 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型04 用HL证全等（HL） 题型05 尺规作一个角等于已知角 题型06 过直线外一点作已知直线的平行线 题型07 尺规作图——作三角形 B组 能力进阶 题型01 用SAS间接证明三角形全等（SAS） 题型02 全等的性质和SAS综合（SAS） 题型03 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型04 用SSS间接证明三角形全等（SSS） 题型05 全等的性质和SSS综合（SSS） 题型06 全等的性质和HL综合（HL） 题型07 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型08 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型09 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 题型10 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） C组 思维拔高 题型01 连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 题型02 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型03 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型04 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型05 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 题型06 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型07 全等三角形综合问题 用SAS证明三角形全等（SAS）题型01 1．（24-25八年级上·湖北黄石·月考）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可； 【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即， 故选：C． 2．（25-26八年级上·期末）如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的边和角． 已知，，且为与的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可依据判定两三角形全等． 【详解】解：在和中， ∴ （）． 故选：． 3．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】根据两直线平行内错角相等，再根据即可证明． 【详解】解：， ∴， ， ， ， 在△ABC和△DEF中 ， 故选． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是根据两直线平行内错角相等解答． 4．如图，如果，，那么，根据是________． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法．注意两个三角形中的公共边通常是证两个三角形全等隐含的条件．和中，已知了，，隐含的条件是，因此可根据判断出． 【详解】解：∵，，， ∴， 即根据是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广西防城港·月考）如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即：， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合平角的定义推出，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）题型02 1．如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【详解】解：此玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定． 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形； ②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； ③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形； ④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； 根据全等三角形的判定定理，进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃． 故选C． 3．（25-26八年级上·新疆·期中）如图已知，，则直接判断的根据是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据判断，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选C． 4．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为________．    【答案】110 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 5．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，，． 求证：． 【答案】 证明：， ，， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明． 【详解】略 用SSS证明三角形全等（SSS）题型03 1．如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则弹簧M在向上滑动的过程中，总有（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证明即可对各选项作出判断． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， 即平分， 故C正确； 对于A、B、D三个选项，只在伞开合的某一时刻正确； 故选：C． 2．（25-26八年级·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由得到，判断这两个三角形全等的依据是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图与全等三角形的判定， 熟练掌握全等三角形的判定定理是关键． 根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，，，符合根据判定三角形全等． 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，以为公共边可以画3个三角形，以为公共边可以画2个三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是________． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知和及全等， 理由是：∵根据图形可知， 在和中， ∴， 根据图形可知， 在和中， ∴， 故答案为：，． 5．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图所示，在三角形屋架中，是的中线，．求证：． 【答案】 证明：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由是边上的中线，则，然后根据进行判定即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 用HL证全等（HL）题型04 1．（2026·山西晋中·模拟）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：、 在和中 ． 2．如图，，，以下能作为与全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，题中隐含，根据即可证得． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 3．如图，为内一点，作于点，于点，且，则能直接判断和全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两个直角三角形，如果斜边和其中一条直角边对应相等，则可以判断这两个三角形全等． 【详解】解：， 在和中，， ， 判断的依据是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】证明：∵AM⊥CE、AN⊥BD， 在和中， ， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】略 尺规作一个角等于已知角题型05 1．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级·期末）如图，已知直线相交于点，点在直线上．利用直尺和圆规作，下列结论错误的是（   ） A．弧②与弧①的半径相等 B． C．的理论依据是“同位角相等，两直线平行” D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，由作图方法可知，弧②与弧①的半径相等，，则可由同位角相等，两直线平行得到，再由平行线的性质可得，根据现有条件无法得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，弧②与弧①的半径相等，， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 3．（25-26七年级·浙江杭州·月考）如图所示，过点P画直线a的平行线b的作图依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【详解】解：如图所示，根据图中直线a、b被c所截形成的内错角相等，可得依据为内错角相等，两直线平行 4．如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：    ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点； 已知，，则________度． 【答案】 140 【分析】根据作图可知，，三角形的内角和定理求出的度数，根据平角的定义，求出的度数即可. 【详解】解：由作图可知，， ∵，， ∴， ∴. 5．作图题∶    (1)如图1，点A、B、C均在正方形网格的格点上，用直尺画图∶ ① 过点B画的平行线； ② 过点C画的垂线． (2)如图2，已知内部有一射线，利用直尺和圆规作图∶在下方作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) ①如图，即为所求；    ②如图，即为所求； (2) 如图，射线即为所求．    【分析】本题主要考查了网格图——作平行线，垂线；尺规作图——作一个角等于已知角： （1）①取格点P，连接，即可；②取格点Q，连接，即可； （2）作，即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 过直线外一点作已知直线的平行线题型06 1．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 2．如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（     ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据基本作图痕迹可知内错角相等，再根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：由作图可知，内错角相等，则这两条直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角、平行线的判定，理解题意，根据作图痕迹得出内错角相等是解答的关键． 3．如图，∠CAD为△ABC的外角，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N； ②以点A为圆心，以BM长为半径画弧，交AD于点P； ③以点P为圆心，以MN长为半径画弧，交前一条弧于点Q； ④经过点Q画射线AE，若∠C＝50°，则∠EAC的大小是_____度． 【答案】50 【分析】由作图可知：∠DAE＝∠B，推出AE//BC，利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：由作图可知：∠DAE＝∠B， ∴AE//BC， ∴∠EAC＝∠C＝50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握知识点是解题关键． 4．（25-26七年级·山东青岛·期末）如图是小明过直线外一点C，作直线的平行线的作图痕迹，他这样作平行线的依据是________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】由作图方法可知，则由同位角相等，两直线平行可得． 【详解】解：如图所示， 由作图方法可知， ∴（同位角相等，两直线平行）． 5．如图，已知，点是边上的一点，求作直线． 【答案】 如图所示，直线即为所求． 【分析】本题主要考查尺规作图，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点（位于点的右侧），以点为圆心，以为半径作弧，与前弧交于点，作直线，易知，根据“同位角相等，两直线平行”，即可证明． 【详解】略 尺规作图——作三角形题型07 1．如图，小王做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，他想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，他作图的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题解析：图中的三角形已知一条边以及两个角，则他作图的依据是ASA. 故选C. 2．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ） A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 【答案】B 【分析】观察图像可知已知线段AB，AC，∠A，由此即可判断． 【详解】解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边， 符合“两边及夹角”， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 3．（25-26八年级上·吉林松原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有，使得．小宏同学先画出了，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 4．（25-26九年级上·山西太原·月考）已知：已知线段a，c和 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 5．如图，已知，，用直尺和圆规作，使得，，． 　　　　 　　　　　 【答案】 如图，为所作． 【分析】作 ，在射线 上截取，然后作 ， 与 交于点 ， 【详解】略 【点睛】本题主要考查了尺规作图画三角形，熟练掌握五种基本尺规作图是解题的关键． 用SAS间接证明三角形全等（SAS）题型01 1．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 2．（24-25八年级上·山东聊城·月考）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 3．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 4．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【答案】##边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2) 添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）略 全等的性质和SAS综合（SAS）题型02 1．如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后利用定理证明出，进而判断①；利用证明出进而可判断②；得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】， ， 平分， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∴ 又∵ ∴，故③正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在与中，．若，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据证明，再根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴（）， ∴，故A结论错误； ，故B结论错误； ，故C结论错误； 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用证明，则可得到米． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴米， ∴A，B间的距离为25米， 故选：A． 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则__________°． 【答案】135 【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，属于较容易的基础题．根据题意知，，所以由全等三角形的对应角相等进行推理论证即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135． 5．（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：在与中， ， ． (2)6 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质； （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可解决问题； 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可知， ， ． 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）题型03 1．如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； 证明即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 无法得出， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（    ） A．12米 B．16米 C．28米 D．40米 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ． ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故选：． 4．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____． 【答案】5 【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度． 【详解】∵PF∥BQ， ∴∠Q＝∠FPD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP＝PF， ∵AP＝CQ， ∴PF＝CQ， ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形， ∴AE＝EF， ∴AE+DC＝EF+FD， ∴DE＝AC， ∵AC＝10， ∴DE＝AC＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，∠1=∠2．求证：AB=AD． 【答案】 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B=∠D=90°， ∵在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB=AD． 【分析】求出∠B=∠D，根据AAS证△ABC≌△ADC，即可推出结论． 【详解】略 用SSS间接证明三角形全等（SSS）题型04 1．（25-26八年级上·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 5．如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2) 证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）略 全等的性质和SSS综合（SSS）题型05 1．如图，在和中，点C在边上，边交边于点F．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得与的关系，根据三角形外角的性质，可得答案． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． 2．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图以及全等三角形的判定与性质，根据题意得出证即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵， ∴ ∴ ∴ 故选：C 3．（25-26八年级上·期末） 如图，已知，以下结论错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，由全等三角形的性质可得，据此可判断A、C、D，根据现有条件无法证明，则可判断B． 【详解】解：∵， ∴，故C结论正确，不符合题意， ∴，故D结论正确，不符合题意， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B结论错误，符合题意； 故选：B． 4．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为___度． 【答案】65 【详解】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D， ∴AB=CD，BC=AD． 又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）． ∴∠ADC=∠B=65°． 故答案为：65． 5．如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； (2)， 理由如下， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先证明，然后结合已知条件即可证明； （2）根据，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 全等的性质和HL综合（HL）题型06 1．如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的定义是关键．根据全等得出是的平分线，可得，再利用余角性质得到结果即可． 【详解】解：∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 4．如图，点D、A、E在直线m上，，于点D，于点E，且．若，则______             【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 根据，得，再结合已知可推出，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 5．如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】略 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）题型07 1．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是    A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定 【详解】A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意； D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，选择合适的判定方法是解决此题的关键． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，补充一个直接条件，使．这个条件不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定. 利用全等三角形的判定方法，结合图形和条件，逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； B、，，，不能得到，故本选项符合题意； C、在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； D、在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形确定，根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵，，， ∴不能判定，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 故选：C 4．如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意可得，且，，运用的方法，添加一条边 即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，，， ∵要运用“”判断， ∴添加的条件为：， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）题型08 1．如图在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，BD=CE，图中全等三角形的对数为（  ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据AB=AC，得∠B=∠C，再由BD=CE，得△ABD≌△ACE，进一步推得△ABE≌△ACD. 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE ∵BD=CE， ∴BD+DE=CE+DE ∴BE=CD ∴△ABE≌△ACD（SSS）． 故选C． 【点睛】解题的关键是熟记普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等． 2．如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（    ）    A．带①②去 B．带②③去 C．带①④去 D．带①③去 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以A选项不符合题意； 由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片②③不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以B选项符合题意； 由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①④能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以C选项不符合题意； 由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3．如图．从下列四个条件：①，②，③，④中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，可以推出①②③为条件，④为结论，依据是“SAS”；①②④为条件，③为结论，依据是“SSS”． 【详解】解：当①②③为条件，④为结论时： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当①②④为条件，③为结论时： ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理． 4．如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角## 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 5．如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E． （1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由； （2）试说明△AOD≌△EOC． 【答案】 （1）AD//BE， 理由：∵AB//CD， ∴∠B＝∠DCE， ∵∠B＝∠D， ∴∠DCE＝∠D， ∴AD//BE； （2）∵O是CD的中点， ∴DO＝CO， 在△ADO和△ECO中， ∴△AOD≌△EOC（ASA）． 【分析】（1）由AB//CD可得∠B＝∠DCE，进而可得∠DCE＝∠D，问题得证； （2）由O是CD的中点，可得DO＝CO，结合（1）中∠DCE＝∠D，再结合对顶角，可根据ASA判定全等． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）题型09 1．下列所给条件中，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，根据能画出唯一，故此选项符合题意； C、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 2．用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：C． 3．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（    ） 甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求； 乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求． A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论． 【详解】甲的作法如图一： ∵为等边三角形，是的角平分线 ∴ 由甲的作法可知， 在和中， 故甲的作法正确； 乙的作法如图二： 在和中， 故乙的作法正确； 故选：A． 4．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个． 【答案】4 【详解】如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形．因此最多能画出4个 故答案为：4 【点睛】考点：作图题． 5．（25-26八年级上·天津·月考）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 【答案】 如图所示，与 不一定全等． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】略 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形）题型10 1．（25-26八年级上·质检）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级·质检）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 4．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题）题型01 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案． 【详解】在中，，，， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； 则， 若时， 则， ∵， ∴， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明． 2．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 3．如图，在四边形ABCD中，，，E，F分别是BC，CD上的点，且，求证：． 【答案】 证明：延长至点，使，连接， 在和中， ， ，， ，， ，且，， ， ． 【分析】通过构造辅助线，在中找到点，使，连接，先证，再证，从而推导出与的关系． 【详解】略 4．（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【答案】(1) 如图，为所求． (2) 如图，为所求． (3) 【分析】本题考查作图，三角形的中线和高，三角形的面积，全等三角形的判定及性质． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）取格点M，N，连接，交于点E，则E为的中点，根据三角形的中线的定义画图即可； （3）由三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴是中边上的中线，即为所求． （3）解：由图可得，， ∴， ∵是中线， ∴． 故答案为：． 5．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 【答案】 （1）证明：∵CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△CAE与△ABD中 ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴AE＝BD； （2）∠EDH＝45°；（3）EH＝． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可； （2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）连接AH ∵AB＝AC，BH＝CH， ∴∠BAH＝，∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝∠BAH＝45°， ∴AH＝BH， ∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD， ∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD， ∴∠EAH＝∠DBH， 在△AEH与△BDH中 ∴△AEH≌△BDH（SAS）， ∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD， ∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90° 即∠EHD＝90°， ∴∠EDH＝∠DEH＝； （3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T． ∵DG⊥FH，ER⊥FH， ∴∠DGH＝∠ERH＝90°， ∴∠HDG+∠DHG＝90° ∵∠DHE＝90°， ∴∠EHR+∠DHG＝90°， ∴∠HDG＝∠HER 在△DHG与△HER中 ∴△DHG≌△HER （AAS）， ∴HG＝ER， ∵ET∥BC， ∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET， ∠ETF＝∠FHM， ∵∠EHB＝∠BHG， ∴∠HET＝∠ETF， ∴HE＝HT， 在△EFT与△MFH中 ， ∴△EFT≌△MFH（AAS）， ∴HF＝FT， ∴， ∴ER＝MS， ∴HG＝ER＝MS， 设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k， ， k＝， ∴FH=， ∴HE＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题． 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)题型02 1．（25-26八年级上·内蒙古·月考）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 2．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 3．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 4．已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，作，使，，中线，延长到点E，使，连接，证明，得，由，得，解不等式求出它的解集即可．正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，使，，中线，延长到点E，使，连接，如图， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴第三边上中线长x的取值范围是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·期末）如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知： 所以，即． 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)题型03 1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 2．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 3．如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）∠DAE＝28°； （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可， （2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可． 【详解】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°， （2）略 【点睛】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键． 4．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 5．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明． (提示：延长CD到G，使得DG＝BE) (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．(可利用(2)的结论) 【答案】(1)EF＝BE+DF；(2)EF＝BE+DF仍然成立；(3)此时两舰艇之间的距离是140海里． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等解答； （2）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B＝∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再求出∠EAF＝∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝GF，然后求解即可； （3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF＝∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可． 【详解】解：(1)EF＝BE+DF； 证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； (2)EF＝BE+DF仍然成立． 证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； (3)如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C， ∵∠AOB＝20°+90°+(90°﹣60°)＝140°， ∠EOF＝70°， ∴∠EOF＝∠AOB， 又∵OA＝OB， ∠OAC+∠OBC＝(90°﹣20°)+(60°+50°)＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+BF成立， 即EF＝1×(60+80)＝140(海里)． 答：此时两舰艇之间的距离是140海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点． 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)题型04 1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 3．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____． 【答案】440． 【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示： 则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形， ∴BM＝DM，BN＝AN， ∵AE⊥CD， ∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°， ∴∠EAN＝∠DCM， 在△AEN和△CDM中， ， ∴△AEN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM，EN＝DM， ∴BN＝CM， ∴BM＝CN， ∴BM＝DM＝CN＝EN， ∵BE：CE＝5：6， ∴设BE＝5a， 则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a， ∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2， ∵S△BDE＝BE×DM＝×5a×3a＝75， ∴a2＝10， ∴S△ABC＝BC×AN＝×11a ×8a＝44 a2＝440； 故答案为：440． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角形的面积公式和方程思想是解决此题的关键． 4．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 5．如图，将边长为5正方形OACD放在平面直角坐标系中，О是坐标原点，点D的坐标为横坐标为3，求A的坐标． 【答案】 【分析】过点A、D分别作x轴的垂线，可证，由此得，，即可求出点A的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴ ∵四边形OACD是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵正方形边长为5，点D的横坐标为3， 即，， ∴ ∴，， 又∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为， 答：点A的坐标为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的特征、全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 其他模型(全等三角形的辅助线问题)题型05 1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，所以①正确； 在和中， ， ，所以②正确； ， ∵∠AFD=∠MFB， ， ，所以③正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 2．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（     ） A．AD+BC=AB+CD， B．AB+AC=DB+DC, C．AD+BC＜AB+CD， D．AB+AC＜DB+DC 【答案】D 【分析】在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接ED,证△ACD≌△AED,推出DE=DC,根据三角形中任意两边之和大于第三边即可得到AB+AC＜DB+DC. 【详解】解: 在BA的延长线上取点E, 使AE=AC,连接ED, ∵AD是△ABC的外角平分线， ∴∠EAD=∠CAD, 在△ACD和△AED中, ∴△ACD≌△AED(SAS) ∴DE=DC, 在△EBD中,BE＜BD+DE, ∴AB+AC＜DB+DC 故选:D. 【点睛】本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以AB、AC、DB、DC的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点. 3．如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系和全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点分别作轴，轴于点和点，构造全等三角形，先根据已知条件利用角边角证得，再根据全等三角形的性质得到，最后通过等量代换将换成即可得出答案． 【详解】解：如图， 过点分别作轴，轴于点和点，则， 点的坐标为， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【答案】(1) 解：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； (2) ∵， ，， 又，， ， ， 即． (3) 设点A到边，所在直线的距离分别为，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即点A到边，所在直线的距离相等． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明； （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）题型06 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（ ） ①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点 ③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】在AB上截取AF=AD．证明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可证4个结论都正确． 【详解】解：在AB上截取AF=AD． 则△AED≌△AEF（SAS）． ∴∠AFE=∠D． ∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°． ∴∠C=∠BFE． ∴△BEC≌△BEF（AAS）． ∴①BC=BF，故AB=BC+AD； ②CE=EF=ED，即E是CD中点； ③∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°； ④S△AEF=S△AED，S△BEF=S△BEC， ∴S△AEB=S四边形BCEF+S四边形EFAD=S四边形ABCD． 故选D． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了截取法构造全等三角形解决问题，难度中等． 2．如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①作高线EH，先根据角平分线定理得：CE=EH，再证明△ACE≌△AHE(AAS)可得：AH=AC，根据线段的和可得结论； ②先证明点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°； ③作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌△BCG，根据等腰三角形三线合一得BD=DG，知道：△BDC和△CDG的面积相等，由此可得：； ④根据③知：AB=AG=AC+CG，在△CDG中，可知CD>CG，从而得结论． 【详解】①过点E作EH⊥AB于H，如图1， ∵∠ABC=45°， ∴△BHE是等腰直角三角形， ∴EH=BH， ∵AE平分∠CAB， ∴EH=CE， ∴CE=BH， 在△ACE和△AHE中， ∵ ， ∴△ACE≌△AHE(AAS)， ∴AH=AC， ∴AB−AC=AB−AH=BH=CE， 故①正确； ②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∴点A，B，D，C在以AB为直径的圆上， ∴∠ADC=∠ABC=45°， ∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135° 故②正确； ③如图2，延长BD、AC交于点G， ∵AD平分∠BAG，AD⊥BG， ∴BD=DG， ∴CD是Rt△BCG的斜边的中线， ∴CD=BD， ， ∴∠DBC=∠DCB=22.5°， ∴∠CBG=∠CAE=22.5°， ∵AC=BC，∠ACE=∠BCG， ∴△ACE≌△BCG， ∴ ， 故③正确； ④∵AB=AG=AC+CG， ∵BG=2CD>AC，CD>CG， ∴AB≠3CD， 故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅助线的做法证明三角形全等是解题的关键. 3．如图，已知在中，平分，，则___________. （用含的代数式表示）. 【答案】a-b 【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题. 【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠A′CD， 在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）， ∴DA′=DA，∠CA′D=∠A， ∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB=∠B， ∴BA′=A′D=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD ∴AD=BC-AC=a-b， 故答案为：a-b. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 4．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)不成立，， 理由：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即：． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 全等三角形综合问题题型07 1．如图，已知，下列条件中，不能使的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出，故本选项不符合题意； B． ，，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出，故本选项不符合题意； C． ，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故本选项不符合题意； D． ，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，两直角三角形全等还有HL． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 3．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(    ) A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE C．∠ACE＝30° D．∠1＝70° 【答案】C 【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B=∠C．∵BE=CD，∴△ABE≌△ACD，故A正确； ∵BE=CD，∴BD=CE．∵AB＝AC，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACE，故B正确； ∵∠2=110°，∴∠1=∠AED=70°，故D正确； ∵∠1=∠AED=70°，∴∠DAE=180°-70°×2=40°，∴∠BAD=60°－40°=20°，∴∠ACE=∠B=∠1－∠BAD=70°－20°=50°，故C错误． 故选C． 4．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝________． 【答案】90°##90度 【分析】根据题意可得出两个三角形全等，从而可以得出∠1+∠2=90°． 【详解】解：根据题意得：△AEC≌△BDA， ∴∠2=∠CAE， ∴∠1+∠2=90°， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了全等图形的知识，解题的关键是根据题意得到全等的三角形，难度不大． 5．如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质及三角形的内角和即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的对应角相等． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 14.2 三角形全等的判定 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型02 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型03 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型04 用HL证全等（HL） 题型05 尺规作一个角等于已知角 题型06 过直线外一点作已知直线的平行线 题型07 尺规作图——作三角形 B组 能力进阶 题型01 用SAS间接证明三角形全等（SAS） 题型02 全等的性质和SAS综合（SAS） 题型03 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型04 用SSS间接证明三角形全等（SSS） 题型05 全等的性质和SSS综合（SSS） 题型06 全等的性质和HL综合（HL） 题型07 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型08 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型09 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 题型10 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） C组 思维拔高 题型01 连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 题型02 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型03 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型04 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型05 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 题型06 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 题型07 全等三角形综合问题 用SAS证明三角形全等（SAS）题型01 1．（24-25八年级上·湖北黄石·月考）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·期末）如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 3．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．如图，如果，，那么，根据是________． 5．（25-26八年级上·广西防城港·月考）如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证： (1)； (2)． 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）题型02 1．如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（25-26八年级上·新疆·期中）如图已知，，则直接判断的根据是（  ） A． B． C． D． 4．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为________．    5．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，，． 求证：． 用SSS证明三角形全等（SSS）题型03 1．如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则弹簧M在向上滑动的过程中，总有（     ） A． B． C．平分 D． 2．（25-26八年级·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由得到，判断这两个三角形全等的依据是（  ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是________． 5．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图所示，在三角形屋架中，是的中线，．求证：． 用HL证全等（HL）题型04 1．（2026·山西晋中·模拟）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，以下能作为与全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，为内一点，作于点，于点，且，则能直接判断和全等的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 尺规作一个角等于已知角题型05 1．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·期末）如图，已知直线相交于点，点在直线上．利用直尺和圆规作，下列结论错误的是（   ） A．弧②与弧①的半径相等 B． C．的理论依据是“同位角相等，两直线平行” D． 3．（25-26七年级·浙江杭州·月考）如图所示，过点P画直线a的平行线b的作图依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 4．如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：    ①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点； 已知，，则________度． 5．作图题∶    (1)如图1，点A、B、C均在正方形网格的格点上，用直尺画图∶ ① 过点B画的平行线； ② 过点C画的垂线． (2)如图2，已知内部有一射线，利用直尺和圆规作图∶在下方作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 过直线外一点作已知直线的平行线题型06 1．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 2．如图，过直线外一点作它的平行线， 其作图依据是（     ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 3．如图，∠CAD为△ABC的外角，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N； ②以点A为圆心，以BM长为半径画弧，交AD于点P； ③以点P为圆心，以MN长为半径画弧，交前一条弧于点Q； ④经过点Q画射线AE，若∠C＝50°，则∠EAC的大小是_____度． 4．（25-26七年级·山东青岛·期末）如图是小明过直线外一点C，作直线的平行线的作图痕迹，他这样作平行线的依据是________． 5．如图，已知，点是边上的一点，求作直线． 尺规作图——作三角形题型07 1．如图，小王做试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，他想在一张白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，他作图的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ） A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 3．（25-26八年级上·吉林松原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有，使得．小宏同学先画出了，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山西太原·月考）已知：已知线段a，c和 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 5．如图，已知，，用直尺和圆规作，使得，，． 　　　　 　　　　　 用SAS间接证明三角形全等（SAS）题型01 1．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25八年级上·山东聊城·月考）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 4．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 全等的性质和SAS综合（SAS）题型02 1．如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在与中，．若，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．以上答案都不对 3．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则__________°． 5．（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）题型03 1．如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（    ） A．12米 B．16米 C．28米 D．40米 3．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____． 5．已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，∠1=∠2．求证：AB=AD． 用SSS间接证明三角形全等（SSS）题型04 1．（25-26八年级上·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 4．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 5．如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 全等的性质和SSS综合（SSS）题型05 1．如图，在和中，点C在边上，边交边于点F．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·期末） 如图，已知，以下结论错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 4．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为___度． 5．如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 全等的性质和HL综合（HL）题型06 1．如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 4．如图，点D、A、E在直线m上，，于点D，于点E，且．若，则______             5．如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）题型07 1．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是    A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，补充一个直接条件，使．这个条件不可以是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：_______． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）题型08 1．如图在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，BD=CE，图中全等三角形的对数为（  ）    A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（    ）    A．带①②去 B．带②③去 C．带①④去 D．带①③去 3．如图．从下列四个条件：①，②，③，④中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 5．如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E． （1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由； （2）试说明△AOD≌△EOC． 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）题型09 1．下列所给条件中，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 2．用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（    ） 甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求； 乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求． A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个． 5．（25-26八年级上·天津·月考）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形）题型10 1．（25-26八年级上·质检）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·质检）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 5．如图所示是一个的正方形，求的度数． 连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题）题型01 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 3．如图，在四边形ABCD中，，，E，F分别是BC，CD上的点，且，求证：． 4．（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 5．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．    （1）如图1，求证BD=AE； （2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长． 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)题型02 1．（25-26八年级上·内蒙古·月考）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 3．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是________． 5．（25-26八年级上·期末）如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)题型03 1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 2．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 3．如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 4．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 5．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明． (提示：延长CD到G，使得DG＝BE) (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．(可利用(2)的结论) 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)题型04 1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____． 4．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    5．如图，将边长为5正方形OACD放在平面直角坐标系中，О是坐标原点，点D的坐标为横坐标为3，求A的坐标． 其他模型(全等三角形的辅助线问题)题型05 1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（     ） A．AD+BC=AB+CD， B．AB+AC=DB+DC, C．AD+BC＜AB+CD， D．AB+AC＜DB+DC 3．如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 5．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）题型06 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（ ） ①BC+AD=AB ； ②Ｅ为CD中点 ③∠AEB=90°； ④S△ABE=S四边形ABCD A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，已知在中，平分，，则___________. （用含的代数式表示）. 4．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 全等三角形综合问题题型07 1．如图，已知，下列条件中，不能使的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(    ) A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE C．∠ACE＝30° D．∠1＝70° 4．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝________． 5．如图，已知，，，求的度数． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $