第三章一元一次不等式单元进阶卷（温州地区）2026～2027 学年浙教版数学八年级上册

2026~2027 学年浙教版八年级上册数学第三章一元一次不等式单元进阶卷（温州地区） 满分 100 分 考试时间 90 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3 分）下列说法中，正确的是（　　） A．不等式 x+1＞3 的解集是 x=2　　B．不等式 x+1＞3 的解集是 x＞2　　C．x=2 是不等式 x+1＞3 的一个解　　D．不等式 x+1＞3 只有两个解 2．（3 分）已知实数 a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a−1＞b−2　　B．a2＞b2　　C．＞　　D．−3a＞−3b 3．（3 分）已知 x＞−2，且 y=3−2x，则 y 的取值范围是（　　） A．y＞7　　B．y＜7　　C．y＞3　　D．y＜3 4．（3 分）已知 5x−1 与 2−x 都是正数，则 x 的取值范围是（　　） A．＜x＜2　　B．x＞　　C．x＜2　　D．−＜x＜2 5．（3 分）不等式 −2x≥4 的解集在数轴上表示时，端点处应画（　　） A．空心圆圈，方向向左　　B．空心圆圈，方向向右　　C．实心圆点，方向向左　　D．实心圆点，方向向右 6．（3 分）某校两个班的学生外出参观，现将全体学生分成 8 个小组．如果每组人数比预定每组人数多 1 人，那么学生总数超过 100 人；如果每组人数比预定每组人数少 1 人，那么学生总数不到 90 人．则预定每组学生的人数是（　　） A．11　　B．12　　C．13　　D．14 7．（3 分）若关于 x 的不等式组 的解集是 x＞3，则 a 的取值范围是（　　） A．a＞3　　B．a≥3　　C．a≤3　　D．a＜3 8．（3 分）小明用天平称一个物体的质量．天平调节平衡后，他把 2 个这样的物体放在左盘：当右盘放 2 个 50 g 的砝码时左盘下沉；当右盘放 3 个 50 g 的砝码时右盘下沉．设该物体的质量为 m（单位：g），则 m 的取值范围是（　　） A．m＞50　　B．m＜75　　C．50≤m≤75　　D．50＜m＜75 9．（3 分）若关于 x 的方程 2x+a=1 的解 x 满足 0＜x≤1，则 a 的取值范围是（　　） A．−1≤a＜1　　B．−1＜a≤1　　C．a＜1　　D．−1≤a≤1 10．（3 分）若关于 x 的不等式组 有解但没有整数解，则 a 的取值范围是（　　） A．2＜a≤3　　B．2≤a＜3　　C．2＜a＜3　　D．a≤3 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11．（2 分）不等式 x+3＞0 的解集中最小的整数是＿＿． 12．（2 分）若 3a−2＜3b−2，则 a＿＿b（填「＞」或「＜」）． 13．（3 分）不等式 4x+1＜2x+7 的最大整数解是＿＿． 14．（3 分）某工程队计划用 8 天时间修一条道路．按每天修路 x 米计算，8 天所修的路长不少于 1200 米，且不超过 1360 米，则 x 的取值范围是＿＿． 15．（4 分）若关于 x 的不等式 (a−3)x＞a−3 的解集是 x＜1，则 a 的取值范围是＿＿． 16．（4 分）已知关于 x，y 的方程组 的解满足 x+y＞1，则 m 的取值范围是＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）解下列不等式： (1) 3x−5＞4； (2) 2(x+1)≥5x−10； (3) −1＜； (4) 5−3x≤2(x−5)． 18．（6 分）如图，数轴上方已经画出了一个不等式（组）的解集（−2 处为空心圆圈，3 处为实心圆点，两个端点处各向上画一小段，再用一条与数轴平行的线段连接）．解答下列问题： (1) 写出这个解集； (2) 写出这个解集中的所有整数解； (3) 写出一个解集恰好是 (1) 中所求解集的一元一次不等式组． 19．（6 分）解下列不等式组： (1) (2) 20．（6 分）某快递企业计划购买 A、B 两种型号的智能分拣机器人共 10 台．已知 A 型机器人每台 60 万元，每天可分拣快递 22 万件；B 型机器人每台 40 万元，每天可分拣快递 18 万件．要求这 10 台机器人每天分拣快递的总量不少于 200 万件，购买的总费用不超过 520 万元．解答下列问题： (1) 设购买 A 型机器人 x 台，用含 x 的式子表示购买 B 型机器人的台数，并列出满足条件的不等式组； (2) 该企业共有几种购买方案？请写出所有方案． 21．（7 分）某市自来水收费实行分段计价：每户每月用水量不超过 20 吨的部分，每吨收费 2.5 元；超过 20 吨的部分，每吨收费 3.5 元．解答下列问题： (1) 设某户某月用水 x 吨（x＞20），用含 x 的式子表示该户这个月的水费； (2) 已知小聪家某月的水费不低于 85 元，求小聪家这个月用水量的取值范围． 22．（7 分）小马虎解不等式 −3x+1＞7 的过程如下： 第一步：移项，得 −3x＞7−1，即 −3x＞6； 第二步：两边都除以 −3，得 x＞−2． 解答下列问题： (1) 小马虎的解答是否正确？若不正确，请指出从哪一步开始出错，并说明这样判断的依据； (2) 请写出正确的解集，并检验 x=−3 是否满足原不等式． 23．（7 分）某公司需要印刷一批宣传材料．甲印刷厂的收费方式是：每份收 2 元，另收制版费 1000 元；乙印刷厂的收费方式是：每份收 3 元，不收制版费．设该公司需要印刷 x 份．解答下列问题： (1) 分别写出甲、乙两厂的收费 y1、y2（单位：元）关于 x 的式子； (2) 若该公司需要印刷 800 份，选择哪一家印刷厂更省钱？请通过计算说明； (3) 印刷多少份时，两家印刷厂的收费相同？ (4) 请你分析：当印刷份数满足什么条件时，选择甲印刷厂更省钱？ 24．（7 分）已知关于 x 的不等式 (a−2)x+3＞0．解答下列问题： (1) 若 x=1 是这个不等式的一个解，求 a 的取值范围； (2) 当 a=2 时，求这个不等式的解集； (3) 若这个不等式的解集是 x＜3，求 a 的值． 【参考答案与详细解析】 1．【答案】B 【解析】 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，所有解的全体叫做不等式的解集，解集要用含未知数的不等式表示． ∵ x+1＞3，∴ x＞2． A 把解集写成了「x=2」，是一个数，不是解集，错； B 正确； C 中 x=2 时左边 2+1=3，不满足「＞3」，x=2 不是这个不等式的解，错； D 中比 2 大的数有无数个，这个不等式有无数个解，错．故选 B． 【易错提醒】①解集是「所有解组成的集合」，必须写成含未知数的不等式（如 x＞2），不能写成 x=2 这样的单个等式；②不等式的解一般有无数个，只有解集才完整地刻画它们，判断选项时看清「一个解」与「解集」的区别。 2．【答案】A 【解析】 判断「一定成立」要看结论能否由 a＞b 推出，推不出时举反例即可否定． A：∵ a＞b，∴ a−1＞b−1，而 b−1＞b−2，∴ a−1＞b−1＞b−2，故 a−1＞b−2 成立； B：a2 与 b2 的大小与正负有关，取 a=1、b=−2，则 a＞b 但 a2=1＜b2=4，不一定成立； C：c 的符号没有说明，当 c＜0 时不等号方向要改变，不一定成立； D：两边乘 −3（负数）方向应改变，应为 −3a＜−3b，D 错．故选 A． 【易错提醒】①「一定成立」的结论必须能由已知条件直接推出；②★本题 D 考的不是方向本身，而是很多同学看到 −3a 与 −3b 就忘记变号；③B 是本章最高频的陷阱——由 a＞b 推不出 a2＞b2，反例取一正一负即可。 3．【答案】B 【解析】 要由 x＞−2 得到 y=3−2x 的范围，需要逐步变形． ∵ x＞−2，∴ 两边都乘 −2（负数，方向改变），得 −2x＜4； 两边都加 3，得 3−2x＜4+3=7，即 y＜7．故选 B． 【易错提醒】①乘（除以）负数必须改变不等号方向，这是本题最关键的一步；②要把 x＞−2 一步一步变成 3−2x，先乘再加，顺序不能乱；③可以取 x=0 检验：此时 y=3，而 x 越大 y 反而越小，说明 y 的范围应是「y＜7」这种反向不等式。 4．【答案】A 【解析】 「都是正数」就是两个代数式都大于 0，需要同时满足． 由 5x−1＞0，得 5x＞1，∴ x＞； 由 2−x＞0，得 x＜2； 两个条件要同时满足，取公共部分，得 ＜x＜2．故选 A． 【易错提醒】①「都是正数」是「且」的关系，必须取公共部分，只看其中一个条件就会错选 B 或 C；②2−x＞0 移项得 x＜2，注意移项变号，不要写成 x＞−2． 5．【答案】C 【解析】 先解不等式：两边都除以 −2（负数，方向改变），得 x≤−2． 画数轴时：端点 −2 是「≤」，包含 −2，应画实心圆点； 「x≤−2」表示比 −2 小的数，方向向左．故选 C． 【易错提醒】①除以负数忘记变号，会把解集错解成 x≥−2，方向与端点就都错了，这是本题最主要的失分点；②端点虚实只看原不等式含不含等号：「＞」「＜」空心，「≥」「≤」实心；③方向看不等号：大于向右，小于向左，与端点是实心还是空心无关。 6．【答案】B 【解析】 设预定每组有 x 人，则学生总数为 8x 人． 「每组多 1 人则总数超过 100 人」：8(x+1)＞100； 「每组少 1 人则总数不到 90 人」：8(x−1)＜90． 解 8(x+1)＞100 得 x＞11.5；解 8(x−1)＜90 得 x＜12.25． ∴ 11.5＜x＜12.25，其中唯一的整数是 12，即预定每组 12 人．故选 B． 【易错提醒】①「超过」用「＞」，「不到」用「＜」，两个条件必须都列出来；②求出 11.5＜x＜12.25 后要结合「人数是整数」取整数，注意 x=12 时总数 96 人，两种情况分别得到 104 人与 88 人，与条件相符；③不要把「多 1 人」写成 8x+1，应是每组多 1 人，即 8(x+1)。 7．【答案】C 【解析】 不等式组的解集是两个解集的公共部分，口诀是「同大取大」． 两个不等式都是「＞」型，公共部分应是较大的那个端点所确定的部分． 已知解集是 x＞3，说明 3 不小于 a，即 a≤3： 当 a＜3 时，公共部分是 x＞3，符合；当 a=3 时，两个不等式都是 x＞3，公共部分仍是 x＞3，也符合； 若 a＞3（如 a=5），公共部分是 x＞5，与已知解集不符． ∴ a 的取值范围是 a≤3．故选 C． 【易错提醒】①端点必须单独检验：a=3 时解集仍是 x＞3，所以「≤」中的等号不能丢，写成 a＜3 就漏解；②本题的 a 与 3 位置容易看反，可代入 a=5 检验，排除 a＞3 的选项。 8．【答案】D 【解析】 左盘下沉说明左盘重，右盘下沉说明右盘重，据此列不等式组． 右盘放 2 个 50 g 砝码（共 100 g）时左盘下沉：2m＞100； 右盘放 3 个 50 g 砝码（共 150 g）时右盘下沉：2m＜150． 解 2m＞100 得 m＞50；解 2m＜150 得 m＜75． ∴ 50＜m＜75．故选 D． 【易错提醒】①「左盘下沉」表示左盘物体比右盘砝码重，不要看反方向；②两次称量都含「下沉」，说明两次天平都不平衡，所以两个不等式都不含等号，50＜m＜75 不能写成 50≤m≤75；③左盘的物体是 2 个，列式不要漏乘 2。 9．【答案】A 【解析】 先解方程，把 x 用含 a 的式子表示，再让这个式子落在给定范围内． 由 2x+a=1，得 2x=1−a，∴ x=． ∵ 0＜x≤1，∴ 0＜≤1． 各边都乘 2（正数，方向不变），得 0＜1−a≤2； 各边都减 1，得 −1＜−a≤1；各边都乘 −1（负数，方向改变），得 −1≤a＜1． ∴ a 的取值范围是 −1≤a＜1．故选 A． 【易错提醒】①最后一步两边乘 −1（负数）必须同时改变两个不等号的方向，这是本题最容易出错的地方；②端点放缩要与原范围一一对应：0＜x 对应 −1＜−a 再变号得 a＜1，x≤1 对应 a≥−1，检验时取 a=−1 得 x=1（符合）、取 a=1 得 x=0（不符合），可核对端点取舍。 10．【答案】A 【解析】 先解不等式组，再把「有解」与「没有整数解」两个条件分别转化为限制． 由 2x−1＞3，得 2x＞4，∴ x＞2；另一个不等式是 x＜a． ∴ 解集为 2＜x＜a． 「有解」要求 2＜x＜a 非空，即 a＞2； 「没有整数解」要求 2 与 a 之间不含任何整数：若 a＞3（如 a=3.5），区间 2＜x＜3.5 含整数 3，不合；若 a=3，区间 2＜x＜3 不含整数，符合； ∴ 2＜a≤3．故选 A． 【漏解警示】本题两个端点都要单独检验，是典型的「端点分离」讨论：a=2 时解集为 2＜x＜2，是空集，不满足「有解」，所以 a 不能取 2（左端不带等号）；a=3 时区间 2＜x＜3 内确实没有整数，可以取到 3（右端带等号）。写成 2≤a＜3 或 2＜a＜3 都是把等号放错了位置，是本题最常见的失分原因。 11．【答案】−2 【解析】 解不等式：由 x+3＞0 得 x＞−3． ∴ 这个不等式的解集是所有大于 −3 的数． 在大于 −3 的整数中，最小的是 −2（−3 本身不满足「＞」）． ∴ 填 −2． 【易错提醒】①不等号「＞」不含等号，x＞−3 取不到 −3，所以最小的整数是 −2 而不是 −3；②比 −3 大的整数有无数个，「最小」指的是紧挨着端点且满足条件的那个整数。 12．【答案】＜ 【解析】 可以从已知不等式逆向变形，把两边「还原」成 a 与 b． ∵ 3a−2＜3b−2，∴ 两边都加 2（方向不变），得 3a＜3b； 两边都除以 3（正数，方向不变），得 a＜b． ∴ 填「＜」． 【易错提醒】①两边除以的 3 是正数，方向不变；若除以的是负数，方向必须改变，判断时先看清正负；②可以取 a=1、b=2 检验：3×1−2=1＜3×2−2=4，确实有 a＜b，说明逆推结论正确。 13．【答案】2 【解析】 移项，得 4x−2x＜7−1，即 2x＜6； 两边都除以 2（正数，方向不变），得 x＜3． ∴ 解集是 x＜3，其中最大的整数是 2． ∴ 填 2． 【易错提醒】①移项要变号：1 移到右边变成 −1，写成 4x−2x＜7+1 会得出 x＜4，最大整数解就变成 3；②「＜」不含 3，所以最大整数解是 2 而不是 3；③本题问的是「最大整数解 」而不是解集，答案要写成具体的数。 14．【答案】150≤x≤170 【解析】 8 天修路的总长度为 8x 米，由题意同时满足两个条件： 「不少于 1200 米」：8x≥1200；「不超过 1360 米」：8x≤1360． 解 8x≥1200 得 x≥150；解 8x≤1360 得 x≤170． 两个条件同时满足，取公共部分，得 150≤x≤170． 【易错提醒】①「不少于」用「≥」，「不超过」用「≤」，两句话的等号都不能丢；②本题两个条件都是「含」的关系，必须同时满足，答案要写成「150≤x≤170」这样的双向不等式，只写一半会漏解；③检验端点：每天修 150 米时 8 天修 1200 米，每天修 170 米时 8 天修 1360 米，都在允许范围内。 15．【答案】a＜3 【解析】 这个不等式两边除以 a−3 才能得到 x 的解集，而两边除以一个式子时，必须看这个式子的正负． 已知解集是 x＜1，与原来的「＞」相比方向改变了，说明两边除以的 a−3 是负数，由此可得 a−3＜0，∴ a＜3． 检验：取 a=1，则 a−3=−2＜0，原不等式为 −2x＞−2，两边除以 −2（负数，方向改变）得 x＜1，与已知一致． 【易错提醒】①本题不需要解出 x，关键是看「不等号方向有没有改变」——方向改变说明两边除以的式子是负数，这是判定参数取值范围的核心依据；②若 a−3＞0，解集应是 x＞1，与题设矛盾，所以 a 必须小于 3；③a=3 时原不等式变成 0＞0，无解，也体会不到「x＜1」这种情况，要排除。 16．【答案】m＞0 【解析】 本题不需要分别解出 x 与 y，只要把两个方程整体相加，直接得到 x+y 与 m 的关系． 把两个方程相加：(x+2y)+(2x+y)=3+m， 即 3x+3y=3+m，∴ 3(x+y)=3+m，∴ x+y=． ∵ x+y＞1，∴ ＞1． 两边都乘 3（正数，方向不变），得 3+m＞3，∴ m＞0． 【易错提醒】①本题的巧解是「整体相加直接得到 x+y」，不要分别解出 x、y 再代回，那样计算量大且容易出错；②两边乘 3 是乘正数，方向不变；③检验：取 m=0 时 x+y=1，不满足 x+y＞1，所以端点 0 不能取，答案是 m＞0 而不是 m≥0。 17．【答案】(1) x＞3；(2) x≤4；(3) x＞−13；(4) x≥3． 【解析】 (1) 移项，得 3x＞4+5，即 3x＞9；两边都除以 3（正数，方向不变），∴ x＞3． (2) 去括号，得 2x+2≥5x−10；移项，得 2x−5x≥−10−2，即 −3x≥−12； 两边都除以 −3（负数，方向改变），∴ x≤4． (3) 两边都乘 6（正数，方向不变）并注意分子加括号，得 2(x−2)−6＜3(x+1)； 去括号，得 2x−4−6＜3x+3；移项，得 2x−3x＜3+10，即 −x＜13； 两边都除以 −1（负数，方向改变），∴ x＞−13． (4) 去括号，得 5−3x≤2x−10；移项，得 −3x−2x≤−10−5，即 −5x≤−15； 两边都除以 −5（负数，方向改变），∴ x≥3． 【易错提醒】①移项一定要变号，第 (1)(2) 问中把常数移到右边时符号必须改变；②只要两边除以的是负数，不等号方向必须改变，第 (2)(3)(4) 问都属于这种情况，是本大题最主要的失分点；③第 (3) 问去分母时每一项都要乘 6，分子要加括号，写成 2x−2 就漏乘了；第 (4) 问去括号时 2(x−5)=2x−10，不要漏乘。 18．【答案】(1) −2＜x≤3；(2) −1，0，1，2，3；(3) （答案不唯一）． 【解析】 (1) 数轴上方从 −2 到 3 的一段被画出，说明解集在这两个数之间； 左端点 −2 处是空心圆圈，说明不含 −2，用「＞」；右端点 3 处是实心圆点，说明含 3，用「≤」． ∴ 这个解集是 −2＜x≤3． (2) 在 −2＜x≤3 中的整数有 −1，0，1，2，3，共 5 个（−2 不含，3 含）． (3) 只要把 −2＜x≤3 拆成两个解集的公共部分即可，例如 （也可写成 x+2＞0 与 x−3≤0 组成的不等式组等），答案不唯一． 【易错提醒】①读图时端点虚实决定含不含等号：空心是「＞」或「＜」，实心是「≥」或「≤」，本题左空心、右实心，所以是 −2＜x≤3，容易错写成 −2≤x＜3；②第 (2) 问要逐个列举，−2 不在解集中、3 在解集中，不能多也不能少；③第 (3) 问验证方法：把两个不等式的解集取公共部分，检查是否恰好等于 −2＜x≤3。 19．【答案】(1) x＞3；(2) 0＜x≤3． 【解析】 (1) 由 2x−1＞x+1，得 2x−x＞1+1，∴ x＞2； 由 x+8＜4x−1，得 x−4x＜−1−8，即 −3x＜−9，∴ x＞3； 两个解集都是「＞」型，取较大的端点，公共部分是 x＞3． (2) 由 ≥x−1，两边都乘 2（正数，方向不变），得 x+1≥2x−2； 移项，得 x−2x≥−2−1，即 −x≥−3，∴ x≤3； 由 3x−2＞2(x−1) 去括号得 3x−2＞2x−2，移项得 3x−2x＞−2+2，即 x＞0； 取公共部分，得 0＜x≤3． 【易错提醒】①不等式组的解集是两个解集的公共部分，可用「同大取大、同小取小、大小小大中间找」判断；②第 (1) 问两个解集都是「＞」，取较大端点，答案是 x＞3 而不是 x＞2；③第 (2) 问去分母时整数 −1 也要乘 2，漏乘会写成 x+1≥x−1；④第 (2) 问结果是 0＜x≤3，两端点一个不含、一个含，不能写成 0≤x＜3。 20．【答案】(1) B 型机器人 (10−x) 台，；(2) 2 种：A 型 5 台、B 型 5 台；或 A 型 6 台、B 型 4 台． 【解析】 (1) ∵ 两种型号共 10 台，A 型 x 台，∴ B 型为 (10−x) 台． 每天分拣总量为 22x+18(10−x)（万件），由「不少于 200 万件」得 22x+18(10−x)≥200； 购买总费用为 60x+40(10−x)（万元），由「不超过 520 万元」得 60x+40(10−x)≤520． ∴ 不等式组为 ． (2) 化简第一个不等式：22x+180−18x≥200，∴ 4x≥20，∴ x≥5； 化简第二个不等式：60x+400−40x≤520，∴ 20x≤120，∴ x≤6． ∴ 5≤x≤6，其中整数 x 取 5 或 6，共有 2 种方案： 方案一：A 型 5 台、B 型 5 台；方案二：A 型 6 台、B 型 4 台． 检验：A 型 5 台时每天分拣 22×5+18×5=200（万件），费用 60×5+40×5=500（万元）；A 型 6 台时每天分拣 22×6+18×4=204（万件），费用 60×6+40×4=520（万元），均符合要求． 【易错提醒】①必须先根据「共 10 台」把 B 型的台数用 10−x 表示，否则无法列出两个不等式；②「不少于」用「≥」、「不超过」用「≤」，两个条件都要列出并取公共部分，只列一个会得出错误范围；③求出 5≤x≤6 后要回到实际意义取整数，两个端点都要检验。 21．【答案】(1) 3.5x−20（元）；(2) 用水量不少于 30 吨（即 x≥30）． 【解析】 (1) 用水 x 吨（x＞20）时分两段计算： 前 20 吨收费 20×2.5=50（元）；超过的 (x−20) 吨收费 3.5(x−20)（元）． ∴ 水费为 50+3.5(x−20)=50+3.5x−70=3.5x−20（元）． (2) 由「水费不低于 85 元」得 3.5x−20≥85， 移项，得 3.5x≥105，两边都除以 3.5（正数，方向不变），得 x≥30． ∵ 30＞20，与前提 x＞20 相符，∴ 小聪家这个月的用水量不少于 30 吨． 检验：用水 30 吨时水费为 50+3.5×10=85（元），恰为分界值，符合题意． 【易错提醒】①分段计价的核心是「先算满 20 吨的 50 元，再算超出部分」，直接用 2.5x 或 3.5x 列式都是错的；②整理后的式子是 3.5x−20，注意常数项是 50−70=−20，不要写成 3.5x+70；③求出 x≥30 后要与前提 x＞20 对照，确认结果落在这一段内再作答。 22．【答案】(1) 不正确，从第二步开始出错，依据见解析；(2) 正确解集为 x＜−2，x=−3 满足原不等式． 【解析】 (1) 不正确，从第二步开始出错． 依据：不等式的基本性质 3——不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变． 小马虎在第二步中两边都除以了 −3，这是负数，但不等号方向没有改变，仍然是「＞」，所以这一步错了，（正确的应是）x＜−2． (2) 正确解答： 移项，得 −3x＞7−1，即 −3x＞6； 两边都除以 −3（负数，不等号方向改变），得 x＜−2． ∴ 原不等式的解集是 x＜−2． 检验：把 x=−3 代入原不等式的左边，得 −3×(−3)+1=9+1=10， ∵ 10＞7，∴ x=−3 满足原不等式，与解集 x＜−2 相符（−3＜−2）． 【易错提醒】①本题的失分点不在计算，而在「除以负数要变号」这一性质，凡是在不等式两边乘（除以）一个式子，都要先判断它的正负再决定方向；②回答「从第几步出错」时要写清步数并给出依据，只写「算错了」不得分；③检验时要代入原不等式的左边算出具体数值，不能只写「代入成立」。 23．【答案】(1) y1=2x+1000，y2=3x；(2) 乙厂更省钱（甲 2600 元，乙 2400 元）；(3) 1000 份；(4) 印刷份数超过 1000 份时，选择甲厂更省钱． 【解析】 (1) 甲厂：每份 2 元再加制版费 1000 元，∴ y1=2x+1000； 乙厂：每份 3 元且不收制版费，∴ y2=3x． (2) 当 x=800 时，y1=2×800+1000=2600（元），y2=3×800=2400（元）． ∵ 2400＜2600，∴ 选择乙印刷厂更省钱． (3) 由 y1=y2 得 2x+1000=3x，移项得 x=1000． ∴ 印刷 1000 份时，两家印刷厂的收费相同（都是 3000 元）． (4) 由 y1＜y2 得 2x+1000＜3x， 移项，得 1000＜3x−2x，即 x＞1000． ∴ 当印刷份数超过 1000 份时，选择甲印刷厂更省钱 （反之，少于 1000 份时乙厂更省钱，正好 1000 份时两厂一样）． 检验：取 x=1200，y1=2400+1000=3400（元），y2=3600（元），3400＜3600，说明份数超过 1000 时甲厂确实更省钱． 【易错提醒】①列式时不要漏掉甲厂的制版费 1000 元，它是与份数无关的固定费用；②比较方案时可以先求「费用相同」的分界点（本题为 1000 份），再在分界点两侧各取一个数检验，这样判断「哪一段选哪家」最稳妥；③第 (4) 问要用不等式求解而不是只凭感觉，并且要答出「超过 1000 份」这一条件。 24．【答案】(1) a＞−1；(2) x 取任何实数都是这个不等式的解（解集为全体实数）；(3) a=1． 【解析】 (1) ∵ x=1 是这个不等式的一个解，∴ 把 x=1 代入不等式成立： (a−2)×1+3＞0，即 a−2+3＞0，∴ a+1＞0，∴ a＞−1． (2) 当 a=2 时，原不等式为 (2−2)x+3＞0，即 0·x+3＞0，也就是 3＞0． ∵ 3＞0 恒成立，与 x 取什么值无关， ∴ x 取任何实数都是这个不等式的解，即解集为全体实数． (3) ∵ 解集是 x＜3，说明解不等式时两边除以 a−2 后不等号方向发生了改变， ∴ a−2＜0，两边除以 a−2 得 x＜． 由解集是 x＜3 得 =3，即 −3=3(a−2)，∴ a−2=−1，∴ a=1． 检验：把 a=1 代入原不等式，得 (1−2)x+3＞0，即 −x+3＞0， 移项得 −x＞−3，两边都除以 −1（负数，方向改变），得 x＜3，与题意一致． 【漏解警示】本题第 (3) 问必须把 a−2 的正负分开讨论，这是最容易漏解的地方：若只按「a−2＞0」求解，会得到解集为「x＞3」的情形，与题目要求的「x＜3」矛盾；由解集方向改变可以立刻断定 a−2＜0，再令端点相等求出 a=1。第 (2) 问同样考查分类思想——当 a−2=0 时未知数被「消掉」，不等式变成关于常数的判断，解集可能是全体实数也可能是空集，必须单独拿出来讨论，不能直接两边除以 a−2。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027 学年浙教版八年级上册数学第三章一元一次不等式单元进阶卷（温州地区） 满分 100 分 考试时间 90 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3 分）下列说法中，正确的是（　　） A．不等式 x+1＞3 的解集是 x=2　　B．不等式 x+1＞3 的解集是 x＞2　　C．x=2 是不等式 x+1＞3 的一个解　　D．不等式 x+1＞3 只有两个解 2．（3 分）已知实数 a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a−1＞b−2　　B．a2＞b2　　C．＞　　D．−3a＞−3b 3．（3 分）已知 x＞−2，且 y=3−2x，则 y 的取值范围是（　　） A．y＞7　　B．y＜7　　C．y＞3　　D．y＜3 4．（3 分）已知 5x−1 与 2−x 都是正数，则 x 的取值范围是（　　） A．＜x＜2　　B．x＞　　C．x＜2　　D．−＜x＜2 5．（3 分）不等式 −2x≥4 的解集在数轴上表示时，端点处应画（　　） A．空心圆圈，方向向左　　B．空心圆圈，方向向右　　C．实心圆点，方向向左　　D．实心圆点，方向向右 6．（3 分）某校两个班的学生外出参观，现将全体学生分成 8 个小组．如果每组人数比预定每组人数多 1 人，那么学生总数超过 100 人；如果每组人数比预定每组人数少 1 人，那么学生总数不到 90 人．则预定每组学生的人数是（　　） A．11　　B．12　　C．13　　D．14 7．（3 分）若关于 x 的不等式组 的解集是 x＞3，则 a 的取值范围是（　　） A．a＞3　　B．a≥3　　C．a≤3　　D．a＜3 8．（3 分）小明用天平称一个物体的质量．天平调节平衡后，他把 2 个这样的物体放在左盘：当右盘放 2 个 50 g 的砝码时左盘下沉；当右盘放 3 个 50 g 的砝码时右盘下沉．设该物体的质量为 m（单位：g），则 m 的取值范围是（　　） A．m＞50　　B．m＜75　　C．50≤m≤75　　D．50＜m＜75 9．（3 分）若关于 x 的方程 2x+a=1 的解 x 满足 0＜x≤1，则 a 的取值范围是（　　） A．−1≤a＜1　　B．−1＜a≤1　　C．a＜1　　D．−1≤a≤1 10．（3 分）若关于 x 的不等式组 有解但没有整数解，则 a 的取值范围是（　　） A．2＜a≤3　　B．2≤a＜3　　C．2＜a＜3　　D．a≤3 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11．（2 分）不等式 x+3＞0 的解集中最小的整数是＿＿． 12．（2 分）若 3a−2＜3b−2，则 a＿＿b（填「＞」或「＜」）． 13．（3 分）不等式 4x+1＜2x+7 的最大整数解是＿＿． 14．（3 分）某工程队计划用 8 天时间修一条道路．按每天修路 x 米计算，8 天所修的路长不少于 1200 米，且不超过 1360 米，则 x 的取值范围是＿＿． 15．（4 分）若关于 x 的不等式 (a−3)x＞a−3 的解集是 x＜1，则 a 的取值范围是＿＿． 16．（4 分）已知关于 x，y 的方程组 的解满足 x+y＞1，则 m 的取值范围是＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）解下列不等式： (1) 3x−5＞4； (2) 2(x+1)≥5x−10； (3) −1＜； (4) 5−3x≤2(x−5)． 18．（6 分）如图，数轴上方已经画出了一个不等式（组）的解集（−2 处为空心圆圈，3 处为实心圆点，两个端点处各向上画一小段，再用一条与数轴平行的线段连接）．解答下列问题： (1) 写出这个解集； (2) 写出这个解集中的所有整数解； (3) 写出一个解集恰好是 (1) 中所求解集的一元一次不等式组． 19．（6 分）解下列不等式组： (1) (2) 20．（6 分）某快递企业计划购买 A、B 两种型号的智能分拣机器人共 10 台．已知 A 型机器人每台 60 万元，每天可分拣快递 22 万件；B 型机器人每台 40 万元，每天可分拣快递 18 万件．要求这 10 台机器人每天分拣快递的总量不少于 200 万件，购买的总费用不超过 520 万元．解答下列问题： (1) 设购买 A 型机器人 x 台，用含 x 的式子表示购买 B 型机器人的台数，并列出满足条件的不等式组； (2) 该企业共有几种购买方案？请写出所有方案． 21．（7 分）某市自来水收费实行分段计价：每户每月用水量不超过 20 吨的部分，每吨收费 2.5 元；超过 20 吨的部分，每吨收费 3.5 元．解答下列问题： (1) 设某户某月用水 x 吨（x＞20），用含 x 的式子表示该户这个月的水费； (2) 已知小聪家某月的水费不低于 85 元，求小聪家这个月用水量的取值范围． 22．（7 分）小马虎解不等式 −3x+1＞7 的过程如下： 第一步：移项，得 −3x＞7−1，即 −3x＞6； 第二步：两边都除以 −3，得 x＞−2． 解答下列问题： (1) 小马虎的解答是否正确？若不正确，请指出从哪一步开始出错，并说明这样判断的依据； (2) 请写出正确的解集，并检验 x=−3 是否满足原不等式． 23．（7 分）某公司需要印刷一批宣传材料．甲印刷厂的收费方式是：每份收 2 元，另收制版费 1000 元；乙印刷厂的收费方式是：每份收 3 元，不收制版费．设该公司需要印刷 x 份．解答下列问题： (1) 分别写出甲、乙两厂的收费 y1、y2（单位：元）关于 x 的式子； (2) 若该公司需要印刷 800 份，选择哪一家印刷厂更省钱？请通过计算说明； (3) 印刷多少份时，两家印刷厂的收费相同？ (4) 请你分析：当印刷份数满足什么条件时，选择甲印刷厂更省钱？ 24．（7 分）已知关于 x 的不等式 (a−2)x+3＞0．解答下列问题： (1) 若 x=1 是这个不等式的一个解，求 a 的取值范围； (2) 当 a=2 时，求这个不等式的解集； (3) 若这个不等式的解集是 x＜3，求 a 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $