3.2 不等式的基本性质 分层练习 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

3.2 不等式的基本性质【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节常见考查方式有：性质 1 传递性在三个量之间的大小比较；由不等号方向是否改变反推两边所乘（除）的数的正负（含参数的乘除讨论）；在两边同加 / 同减 / 同乘 / 同除之后判断所得不等式的形式；给出一组变形判断哪些正确、哪些一定成立，并对不一定成立的举反例；把「两边都加上 3」「两边都乘以 −2」这类文字语句翻译成结果不等式；由不等式的解集（常结合数轴）反求其中的字母；比较含字母的代数式的大小（如 2a 与 3a，须按 a 的正负分类）；以及在折扣、购物、成绩等实际情境中用性质解释大小关系。命题趋势上，以小题考查方向是否改变的判断与文字辨析，以中档题考查「性质 → 变形 → 解集 → 数轴」之间的相互转化，以压轴题考查含参讨论与举反例说理，特别强调「一定成立」与「不一定成立」的区别，「两边所乘（除）的数不能为 0」也是高频易漏点。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．不等式 的两边都加上 5，得到（　　） A．　B．　C．　D． 2．下列关于不等式基本性质的说法中，正确的是（　　） A．不等式的两边都乘同一个数，不等号的方向一定不变　B．不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向一定改变 C．不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变　D．不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变 3．不等式 的两边都除以 ，得到（　　） A．　B．　C．　D． 4．下列对不等式两边所做的变形中，必须改变不等号方向的是（　　） A．两边都加上 3　B．两边都减去 5　C．两边都乘 2　D．两边都乘 5．已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 6．已知实数 ， 满足 ，且 ，则 满足（　　） A．　B．　C．　D． 7．已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．如图，数轴上表示的是一个不等式的解集，则这个不等式可能是（　　） A．　B．　C．　D． 9．已知关于 的不等式 的解集在数轴上表示如图，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 10．已知关于 的不等式 ，且 ，则它的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．对于不等式 ，小温写了两种变形：①两边都乘 0，得 ；②两边都除以同一个数 ，但要求 。其中正确的做法是　　　　　（填序号）。 12．下列变形中，正确的是　　　　　（填序号）。①由 ，得 ；②由 ，得 ；③由 ，得 ；④由 ，得 。 13．不等式 的解集在数轴上表示如图，则这个解集中的整数解共有　　　　　个。 14．已知实数 ，，， 满足 且 ，则 与 的大小关系是　　　　　（用不等号连接）。 15．某商店两件商品的原价分别为 元、 元，且 。若两件商品都按相同的折扣「打八折」出售，则打折后的售价 与 的大小关系是 　　　　　（填「」「」或「」）。 16．对于实数 ，比较 与 的大小：当 时，　　　　　；当 时，　　　　　；当 时，　　　　　。（填「」「」或「」） 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）已知 ，用「」或「」填空，并说出每一步依据的是不等式的哪一条基本性质。 (1) 　　　　　； (2) 　　　　　； (3) 　　　　　。 18．（7 分）把下列语句翻译成不等式： (1) 在不等式 的两边都加上 3； (2) 在不等式 的两边都乘 ； (3) 在不等式 的两边都除以 。 19．（8 分）已知实数 。下列结论是否一定成立？对不一定成立的，各举一个反例说明。 (1) ； (2) （其中 是实数）； (3) ； (4) 。 20．（8 分）下面是小北对不等式 的解答过程：「两边都除以 ，得 。」 (1) 小北的解答是否正确？如果不正确，请指出错在哪里； (2) 写出正确的解答，并说明每一步用到的不等式基本性质。 21．（8 分）已知实数 ，， 满足 且 。 (1) 用不等号把 ，， 三个数按从大到小的顺序连接起来； (2) 若 ，试判断 与 5 的大小关系，并说明理由； (3) 已知 ，比较 与 的大小，并说明理由。 22．（8 分）已知实数 。请按下列要求作答（答案不唯一）： (1) 写出一个由 经过「两边都加上同一个数」得到的不等式； (2) 写出一个由 出发、一定不成立的不等式，并说明为什么不成立； (3) 由 出发，能否一定得到 ？请判断并说明理由（能，给出推导；不能，举一个反例）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 不等式的基本性质【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节常见考查方式有：性质 1 传递性在三个量之间的大小比较；由不等号方向是否改变反推两边所乘（除）的数的正负（含参数的乘除讨论）；在两边同加 / 同减 / 同乘 / 同除之后判断所得不等式的形式；给出一组变形判断哪些正确、哪些一定成立，并对不一定成立的举反例；把「两边都加上 3」「两边都乘以 −2」这类文字语句翻译成结果不等式；由不等式的解集（常结合数轴）反求其中的字母；比较含字母的代数式的大小（如 2a 与 3a，须按 a 的正负分类）；以及在折扣、购物、成绩等实际情境中用性质解释大小关系。命题趋势上，以小题考查方向是否改变的判断与文字辨析，以中档题考查「性质 → 变形 → 解集 → 数轴」之间的相互转化，以压轴题考查含参讨论与举反例说理，特别强调「一定成立」与「不一定成立」的区别，「两边所乘（除）的数不能为 0」也是高频易漏点。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．不等式 的两边都加上 5，得到（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 把不等式 的两边都加上 5： 左边 ，只剩 ；右边 。 根据不等式基本性质 2，两边都加上同一个数，不等号的方向不变，原来的「」仍然用「」，所以得到 。 B 把右边算成了 ，把「加上 5」错当成「减去 5」；C 把不等号的方向改反了（性质 2 不改变方向）；D 把右边算成了 ，符号算错。故选 A。 2．下列关于不等式基本性质的说法中，正确的是（　　） A．不等式的两边都乘同一个数，不等号的方向一定不变　B．不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向一定改变 C．不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变　D．不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变 【答案】C 判断的关键在于「两边同乘（或同除）的那个数是正还是负」。 A 错误：若乘的是一个负数，不等号的方向必须改变，不能一概说「一定不变」。 B 错误：若除以的是一个正数，方向并不改变，也不能一概说「一定改变」。 C 正确：两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 D 错误：两边都乘（或除以）同一个负数，方向必须改变，这一条正是基本性质 3 里最容易记错的地方。故选 C。 3．不等式 的两边都除以 ，得到（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 把不等式 的两边都除以 ： 左边 ，右边 。 因为两边除以的是负数 ，根据不等式基本性质 3，必须改变不等号的方向，「」要变成「」，所以得到 。 A 忘了改变不等号的方向；C，D 把右边 错算成了 ，负数除法的符号弄错了。故选 B。 4．下列对不等式两边所做的变形中，必须改变不等号方向的是（　　） A．两边都加上 3　B．两边都减去 5　C．两边都乘 2　D．两边都乘 【答案】D 判断是否需要改变方向，只看两边「同乘或同除」的那个数是正还是负。 A，B 属于两边都加上（或减去）同一个数，按基本性质 2，方向不变； C 两边都乘正数 2，按基本性质 3，方向不变； D 两边都乘负数 ，按基本性质 3，必须改变方向。故选 D。 小结：同加同减不改向；同乘同除看正负 —— 正数不改向，负数必须改向。 5．已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【答案】B 从 出发，经过两步变形： 第一步，两边都乘 。因为乘的是负数，方向要改变，所以 ； 第二步，两边都加上 2。加上同一个数，方向不变，所以 。 可以取 ， 验证：，，确实有 。 A 是在第一步忘了改变方向；C 只有在 时才成立，与 矛盾；D 因为每一步的依据都确定，结果唯一，不是「无法确定」。故选 B。 6．已知实数 ， 满足 ，且 ，则 满足（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 比较前后的变化： 的两边都乘了同一个数 之后，变成了 ，不等号的方向由「」变成了「」。 不等号的方向发生了改变，说明两边同乘的这个数 一定是负数，即 。 验证：若 ，方向不该变，应得 ，与已知矛盾；若 ，则 ，也不可能有 。故选 B。 小结：由不等号的方向是否改变，可以反推出两边所乘（除）的数的正负 —— 这是本节最重要的一种逆向思考。 7．已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 先按基本性质把已知不等式化成「某数」的形式： 的两边都除以正数 2，方向不变，得 。 题目又说它的解集是 ，把两个结果对照， 就等于 ，所以 。 检验：当 时，，两边都除以 2 得 ，与题设一致。 B 把符号搞反了；C，D 忽略了「两边还要除以 2」这一步，直接把解集的端点 （或它的相反数）当成了 。故选 A。 8．如图，数轴上表示的是一个不等式的解集，则这个不等式可能是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 由图可知，这个解集是从 出发向右的射线，端点处是实心点，所以它的解集是 。 逐个把选项化成「 与某个数」比较的形式： A： 的两边都除以负数 ，必须改变方向，得 ，符合； B： 的两边都除以 ，改变方向后得 ，方向正好相反； C： 的两边都除以正数 2，方向不变，得 ，不符合； D： 的两边都除以 ，改变方向后得 ，端点不对。 所以只有 A 的解集是 。故选 A。 9．已知关于 的不等式 的解集在数轴上表示如图，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 由图可知，解集是从 2 出发向左的射线，端点 2 处是空心圈，所以解集是 。 把不等式 与解集 对照：原不等式是「」，解集却是「」，不等号的方向发生了改变。 这说明两边同除的那个数 一定是负数（若 ，方向不会改变），于是 的两边都除以 ，得 。 又因为解集是 ，所以 ，解得 。 检验：当 时，，两边都除以 ，改变方向得 ，与图完全一致。故选 A。 易错点：若忘记先由方向定出 ，就会在「两边都除以 」时错把方向保留，从而得不到正确结果。 10．已知关于 的不等式 ，且 ，则它的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 把不等式 的两边都除以 ，得到 与 的关系。 因为已知 ，两边除以的是一个负数，根据不等式基本性质 3，必须改变不等号的方向，所以「」要变成「」，即 。 A 忘了改变方向；C，D 把「除以 」错当成「乘 」，运算弄错了。故选 B。 （思考：如果只知道 ，而不知道它的正负，就必须分 与 两种情况讨论，不能直接下结论。） 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．对于不等式 ，小温写了两种变形：①两边都乘 0，得 ；②两边都除以同一个数 ，但要求 。其中正确的做法是　　　　　（填序号）。 【答案】② ①两边都乘 0 时，左边 ，右边 ，得到的其实是 ，而不是 ，「」变成了「」。这说明两边不能都乘 0，否则会把「不相等」变成「相等」，原来的不等关系被破坏了。 ②两边都除以同一个不为 0 的数 是允许的：当 时方向不变，当 时改变方向；但如果 ，除法没有意义，变形也就无从谈起。 所以正确的做法是 ②。 小结：不等式基本性质 3 里「两边都乘（或除以）同一个数」，这个数不能为 0，这是本节最容易被忽略的一个前提。 12．下列变形中，正确的是　　　　　（填序号）。①由 ，得 ；②由 ，得 ；③由 ，得 ；④由 ，得 。 【答案】①②③ 逐条判断依据的是哪一条性质、方向有没有变： ①两边都减去 5，属于性质 2，方向不变，得 ，正确； ②两边都乘 ，乘的是负数，方向必须改变，由「」变成「」，得 ，正确； ③两边都除以正数 3，方向不变，得 ，正确； ④两边都乘 ，乘的是负数，方向应当改变，应得 ，写成 就错了。 所以正确的是 ①②③。 ④是最典型的错误：两边同乘（或同除）负数时忘记改变不等号的方向。 13．不等式 的解集在数轴上表示如图，则这个解集中的整数解共有　　　　　个。 【答案】4 先按基本性质把不等式化成最简形式： 的三部分都除以正数 2，不等号的方向不变，得 ，这与数轴上表示的完全一致（左端 处是空心圈，说明 不属于解集；右端 2 处是实心点，说明 2 属于解集）。 在这个范围内取整数：，0，1，2，共 4 个。 注意 是空心圈，不能算进去，所以是 4 个而不是 5 个。 14．已知实数 ，，， 满足 且 ，则 与 的大小关系是　　　　　（用不等号连接）。 【答案】 把 与 逐步靠拢： 先看 ，两边都加上 ，根据基本性质 2（加同一个数，方向不变），得 ； 再看 ，两边都加上 ，同样根据性质 2，得 。 把两式接起来：，且 ，根据基本性质 1（传递性），可得 。 这个结论也叫「同向不等式可以相加」。 注意：同向不等式相加是成立的，但**同向不等式不能相减** —— 由 、 推不出 。 15．某商店两件商品的原价分别为 元、 元，且 。若两件商品都按相同的折扣「打八折」出售，则打折后的售价 与 的大小关系是 　　　　　（填「」「」或「」）。 【答案】 「打八折」就是把原价乘 0.8，所以两件商品的售价分别是 元、 元。 由 ，两边都乘同一个正数 0.8，根据不等式基本性质 3（乘正数方向不变），得 。 也就是说：同样打折，原价高的打完折后仍然高，大小关系不会颠倒。 反过来说，只要两边乘（除）的是同一个正数、或者加（减）的是同一个数，原来的大小关系都保持不变。 16．对于实数 ，比较 与 的大小：当 时，　　　　　；当 时，　　　　　；当 时，　　　　　。（填「」「」或「」） 【答案】；； 因为 的正负未知，不能直接把 与 相减下结论，需要按 的符号分类讨论： 当 时，两边都除以正数 ，方向不变，由 得 ； 当 时，，，两者相等； 当 时，两边都除以负数 ，方向要改变，由 得 。 例如取 ：，，确实有 。 小结：比较含字母的代数式的大小时，必须先判断所乘（除）的字母是正、是负、还是零，否则很容易把不等号的方向弄反。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）已知 ，用「」或「」填空，并说出每一步依据的是不等式的哪一条基本性质。 (1) 　　　　　； (2) 　　　　　； (3) 　　　　　。 【答案】(1) ；(2) ；(3) ；三小题依据的都是不等式基本性质 2 三小题都是在 的两边加上（或减去）同一个数： (1) 两边都加上 5，加的是同一个数，方向不变，所以 ； (2) 两边都减去 7，减的也是同一个数，方向不变，所以 ； (3) 两边都加上 2，方向不变，所以 。 三小题依据的都是不等式基本性质 2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。 可以验证：取 ，（满足 ），则 ，，，结论都成立。 18．（7 分）把下列语句翻译成不等式： (1) 在不等式 的两边都加上 3； (2) 在不等式 的两边都乘 ； (3) 在不等式 的两边都除以 。 【答案】(1) ；(2) ；(3) 每小题都要先判断「两边做的是哪种运算」，再看要不要改变方向： (1) 两边都加上 3，属于基本性质 2，方向不变，得 ； (2) 两边都乘 ，乘的是负数，属于基本性质 3，方向必须改变，由「」变成「」，得 ； (3) 两边都除以 ，除的是负数，方向同样必须改变，由「」变成「」，得 。 小结：把文字语句翻译成不等式，先找出「加、减、乘、除」和那个数，再判断这个数是正还是负，最后决定不等号要不要改变方向。 （如果两边都不加、不减、不乘、不除，只是把两边交换位置，那么不等号的方向也要反过来，例如 可以写成 。） 19．（8 分）已知实数 。下列结论是否一定成立？对不一定成立的，各举一个反例说明。 (1) ； (2) （其中 是实数）； (3) ； (4) 。 【答案】(1) 一定成立；(2) 不一定成立，反例见解析；(3) 不一定成立，反例见解析；(4) 一定成立 (1) 两边都加上 1，依据基本性质 2，方向不变，所以 一定成立。 (2) 不一定成立。两边乘的是 ，但 的正负未知： 当 时 ；当 时 ；当 时 。 反例：取 ，，，则 ，此时 不成立。所以结论 (2) 不一定成立。 (3) 不一定成立。平方不等于「两边同乘同一个数」，不能直接套用基本性质。 反例：取 ，，满足 ，但 ，，此时 不成立。 (4) 两边都减去 ，依据基本性质 2，方向不变，得 ，所以 一定成立。 小结：判断「一定成立」时，要盯住两边做的是不是同一件事；只要出现了「乘（除）的数正负未知」「平方」「取倒数」这类步骤，就要格外小心，往往能举出反例。 20．（8 分）下面是小北对不等式 的解答过程：「两边都除以 ，得 。」 (1) 小北的解答是否正确？如果不正确，请指出错在哪里； (2) 写出正确的解答，并说明每一步用到的不等式基本性质。 【答案】(1) 不正确，错在两边都除以负数 时没有改变不等号的方向；(2) 正确解答为 ，见解析 (1) 小北的解答不正确。 中 的系数是 ，要把它化成 1，需要两边都除以 。 而 是负数，根据不等式基本性质 3，两边都除以负数时必须改变不等号的方向；小北直接照抄了原来的「」，方向没有变，所以错了。 (2) 正确解答：两边都除以 ，得 。（这一步用到的是不等式基本性质 3。） 检验：取 （满足 ），左边 ，成立；取 （不满足 ），左边 ，不成立。说明解集确实是 。 小结：遇到「 某数」这种系数为负的不等式，最容易犯的错就是两边除以负数时忘记改变方向。 另一种不出错的做法是把两边都乘 （同样要改变方向），直接得到 ，本质是一样的。 21．（8 分）已知实数 ，， 满足 且 。 (1) 用不等号把 ，， 三个数按从大到小的顺序连接起来； (2) 若 ，试判断 与 5 的大小关系，并说明理由； (3) 已知 ，比较 与 的大小，并说明理由。 【答案】(1) ；(2) ，理由见解析；(3) ，理由见解析 (1) 由 、，根据基本性质 1（传递性）可得 ，把两个不等式接起来就是 。 (2) 从 出发，两边都加上 ，根据基本性质 2（加同一个数，方向不变），得 ，即 。 又已知 ，代入得 ，两边都除以正数 2，方向不变，得 。 (3) 由 ，两边都加上 （本题中 ），根据基本性质 2（加同一个数，方向不变），得 。 代入 ，也就是 。 这一问其实不必知道 的具体数值 —— 只要两边加的是同一个数，不等号的方向就不会改变。 22．（8 分）已知实数 。请按下列要求作答（答案不唯一）： (1) 写出一个由 经过「两边都加上同一个数」得到的不等式； (2) 写出一个由 出发、一定不成立的不等式，并说明为什么不成立； (3) 由 出发，能否一定得到 ？请判断并说明理由（能，给出推导；不能，举一个反例）。 【答案】(1) 答案不唯一，例如 ；(2) 答案不唯一，例如 ，理由见解析；(3) 不能一定得到，理由见解析 (1) 只要在 的两边加上同一个数即可。例如两边都加上 3，得 ；两边都减去 1，得 也符合要求（依据基本性质 2，加、减同一个数方向都不变）。 (2) 例如写出 。它一定不成立：因为已知 ，即 比 大，而 说的是 比 小，两者互相矛盾。 再如 ：由 两边都减去 ，得 ，所以 一定不成立。 (3) 不能一定得到 。因为两边都乘了同一个数 ，但 的正负未知： 当 时，方向不变，； 当 时，； 当 时，方向改变，。 所以不能确保 。 反例：取 ，，，满足 ，但 ，，，说明 不一定成立。 小结：凡是「两边同乘（或同除）一个字母」的变形，都要先判断这个字母的正负，正负不明时必须分类讨论。 学科网（北京）股份有限公司 $