30.2 三视图（第1课时）课件 2026----2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第30章 投影与视图 30.2 三视图 （第1课时）正投影与直棱柱 九年级上册　数学（沪教版·五四制） 学习目标 从观察物体到规范画图 认识 理解正投影、三视图和直棱柱． 会画 按位置和尺寸关系画简单直棱柱的三视图． 会查 检查长、宽、高及可见与不可见的轮廓线． 复习引入 三个方向记录一个物体 问题 只从正面看，能看清物体所有部分吗？ 观察 三个相互垂直的投影面分别记录不同方向的形状． 知识讲授 正投影 投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影． 正投影是特殊的平行投影． 判断关键：投影线与投影面垂直． 知识讲授 物体的视图 使用正投影方法绘制物体在投影面上的图形通常称为物体的视图． 把视线看作投影线． 一个视图只记录一个方向看到的形状． 知识讲授 主视图 主视图是从前向后观察物体时在正面上得到的视图， 视线方向：从前向后． 主视图反映物体的长和高． 主视图 知识讲授 俯视图 俯视图是从上向下观察物体时在水平面上得到的视图， 视线方向：从上向下． 俯视图反映物体的长和宽． 俯视图 知识讲授 左视图 左视图是从左向右观察物体时在侧面上得到的视图． 视线方向：从左向右． 左视图反映物体的宽和高． 左视图 知识讲授 三视图 主视图、俯视图和左视图统称为三视图． 三种视图应对应同一物体、同一摆法． 结合三个方向，能更全面地反映物体的形状． 主视图 左视图 俯视图 知识讲授 确定长、宽、高 正对着物体看，物体左右之间的水平距离称为长，前后之间的水平距离称为宽，上下之间的竖直距离称为高． 先确定主视角，再确定长、宽、高． 同一个宽分别出现在俯视图和左视图中． 知识讲授 位置与尺寸同时对应 放置 主视图在左上；俯视图在其正下方；左视图在其正右方． 对应 主、俯长对正；主、左高平齐；俯、左宽相等． 主视图 左视图 俯视图 例题讲解 讨论　找出视图中的错误 表30–1中所示立体图形的主视图、俯视图和左视图正确吗？为什么？ 答：长方体的俯视图、正方体的左视图、圆柱的主视图有误． 解 正投影应正对物体观察，不能把立体画中的斜线照搬下来． 这三处应分别改为矩形、正方形、矩形． 方法：按视线方向检查轮廓． 注意：立体图中的斜画效果不等于视图． 知识讲授 实线与虚线 我们通常将可见的轮廓线画成实线（或点），而将被遮挡、无法看见的轮廓线画成虚线． 先判断有没有轮廓线，再判断是否可见． 重合的可见、不可见轮廓线，保留可见的实线． 例题讲解 例 1 如图30–2–3，已知一个底面是一个正方形的长方体，画出它的三视图． 已知长方体 主视图 俯视图 先画主、俯视图 答：主视图是矩形，俯视图是正方形． 先按长和高画主视图． 俯视图放在正下方，边长与主视图的长对应． 方法：先主后俯，保持长对正． 注意：图中未给尺寸，作图不添加数值． 例题讲解 例 1 如图30–2–3，已知一个底面是一个正方形的长方体，画出它的三视图． 已知长方体 主视图 左视图 俯视图 完整三视图 答：主视图、左视图是全等矩形；俯视图是正方形． 左视图放在主视图正右方，高平齐、宽相等． 底面是正方形，所以长等于宽． 方法：用底面形状检验三个视图． 注意：不能把俯视图画成立体图中的平行四边形． 观察思考 观察直棱柱的共同特征 底面 有两个全等多边形，所在平面平行． 侧面 其余的多边形都是矩形． 知识讲授 直棱柱 （1）其中有两个全等的多边形，它们所在的平面是平行的，即它们不会相交； （2）其余的多边形都是矩形． 像这样的立体图形叫作直棱柱． 识别时同时检查两个底面和各个侧面． 长方体、正方体都是直四棱柱． 知识讲授 面、棱与顶点 在直棱柱中，各个多边形叫作直棱柱的面，各相邻面的公共边叫作直棱柱的棱，多边形的顶点叫作直棱柱的顶点； 面是多边形，棱是公共边，顶点是多边形的顶点． 在立体图中，按面—棱—顶点依次指认． 知识讲授 底面、侧面与侧棱 那一对全等且所在的平面互相平行的面叫作直棱柱的底面；其余的各个面都是矩形，这些面叫作直棱柱的侧面；相邻两个侧面的公共边叫作直棱柱的侧棱． 底面不一定是摆放时最下面的面． 直棱柱按底面边数命名． 例题讲解 例 2 如图30–2–8，已知一个底面是等边三角形的直三棱柱，画出它的三视图． 已知直三棱柱 俯视图 先确定俯视图 答：俯视图是与底面全等的等边三角形． 按原图摆法，三角形的尖端朝后． 三角形的前边与主视图的长对应． 方法：先定摆法，再看底面． 注意：不能只画轮廓而忽略朝向． 例题讲解 例 2 如图30–2–8，已知一个底面是等边三角形的直三棱柱，画出它的三视图． 已知直三棱柱 主视图 左视图 俯视图 完整三视图 答：主视图和左视图是矩形；主视图中间有一条虚线． 后方侧棱被前面的侧面遮挡，画成虚线． 左视图的宽等于底面三角形的高． 方法：逐条判断侧棱的投影． 注意：等边三角形的边长与高不相等． 例题讲解 变式 例 2 例2中，若底面边长为，侧棱长为，求主视图与左视图的边长． 主视图 左视图 俯视图 答：主视图：与；左视图：与． 解 底面高为． 主视图取长和高；左视图取宽和高． 方法：先画底面高，利用勾股定理． 注意：侧棱长是棱柱的高，不是底面三角形的高． 课堂练习 练习1 如图，把图（1）所示物体的主视图、俯视图、左视图的名称填在图（2）相应的括号内． 答：图（2）从左至右：主视图、俯视图、左视图． 解 从上向下看到五边形底面，所以中间是俯视图． 再按正面和左面的轮廓及遮挡关系区分两矩形． 方法：先找底面对应的俯视图． 注意：不能仅按题图的摆放位置猜名称． 课堂练习 练习2 如图，已知一个直三棱柱和它的三视图，根据图中标注的数据，确定下列线段的长： （1） 和； （2） 和． 解第（1）题：，． 主视图的长对应底面边长，高对应侧棱长． 方法：先找对应尺寸，再求底面高． 注意：左右两腰长5，不代表左视图的宽为5． 课堂练习 练习2 如图，已知一个直三棱柱和它的三视图，根据图中标注的数据，确定下列线段的长： （1） 和； （2） 和． 解第（2）题：，． 等腰三角形的高平分底边，得． 底面高． 方法：先找对应尺寸，再求底面高． 注意：左右两腰长5，不代表左视图的宽为5． 课堂练习 练习3 如图，已知一个侧棱长 cm的直六棱柱．它的底面边长均为 cm且内角均相等．画出它的三视图． 已知直六棱柱 主视图 左视图 俯视图 答：俯视图是正六边形；主、左视图均为含内部实线的矩形． 主视图宽 cm、高 cm；左视图宽 cm、高 cm． 可见侧棱画实线；重合处不叠画虚线． 方法：先俯视确定轮廓，再投出侧棱． 注意：俯视图保持教材底面的朝向． 环节归纳 画完以后怎样核对 尺寸核对 （1）主、俯两图的长对正． （2）主、左两图的高平齐． （3）俯、左两图的宽相等． 线型核对 （1）沿视线方向查每条棱． （2）看得见画实线；被遮挡画虚线． （3）与实线重合的隐藏线不另画． 课堂小结 正投影与 直棱柱三视图 明确方向 主视从前向后，俯视从上向下，左视从左向右；先确定观察方向，再确定形状． 规范位置 主视图放左上，俯视图放正下方，左视图放正右方；三个视图对应同一摆法． 对应尺寸 主视反映长和高，俯视反映长和宽，左视反映宽和高；长对正、高平齐、宽相等． 检查线型 可见轮廓画实线或点，遮挡轮廓画虚线；直棱柱还要逐条检查侧棱的投影． 特别提醒：先辨方向和底面，再核尺寸与实虚线． 针对训练 训练1　选择：正投影的条件 下列说法正确的是（　）． A．投影线相交于一点　B．投影线与投影面垂直 C．投影线与投影面平行　D．投影只反映高度 答：B． 解 正投影属于平行投影，投影线彼此平行． 它还要求投影线与投影面垂直． 方法：对照定义找两个条件． 注意：彼此平行说的是投影线之间． 针对训练 训练2　判断：方向、位置和大小 （1）左视图是从物体右边向左看得到的． 错 理由：左视图的方向是从左向右． （2）俯视图画在主视图的正下方． 对 理由：这是三视图展开后的规范位置． （3）主视图与左视图的高应相等． 对 理由：两图记录的是同一物体的高． （4）俯视图反映物体的长和高． 错 理由：俯视图反映物体的长和宽． 方法：把观察方向与图纸位置分开检查． 注意：左视图在纸面右侧，观察却从物体左侧． 针对训练 训练3　填空：同一物体的对应量 填写下列三组视图共同反映的量： （1）主视图和俯视图；（2）主视图和左视图；（3）俯视图和左视图． 答：（1）长；（2）高；（3）宽． 解 先列主视图：长、高；俯视图：长、宽． 再列左视图：宽、高，找两图共同的量． 方法：列尺寸，再找交集． 注意：宽在俯视图与左视图中的方向不同． 针对训练 训练4　辨认直棱柱 一个封闭立体有两个全等且所在平面平行的五边形，其余各面都是矩形．它叫什么？有几个侧面？ 答：直五棱柱，有个侧面． 解 底面是五边形，所以命名为直五棱柱． 底面的每条边对应一个矩形侧面． 方法：按底面边数命名和数侧面． 注意：不要把两个底面也计入侧面数． 针对训练 训练5　作图：底面为正方形 一个底面边长为、高为的长方体竖直摆放．画出它的三视图，并写出各图边长． 主视图 左视图 俯视图 答：主、左视图：的矩形；俯视图：边长的正方形． 解 先画主视图，再画正下方的俯视图． 在右侧补左视图，并检查三种尺寸对应． 方法：按长、宽、高逐图作图． 注意：所有图使用相同比例． 针对训练 训练6　作图：长宽不相等 长方体正对观察者的长为，宽为，高为．画出三视图，并判断主视图与左视图是否全等． 主视图 左视图 俯视图 答：三图尺寸为、、；主、左视图不全等． 解 主视图与左视图虽然同高，但对应的长和宽不同． 按长对正、高平齐、宽相等排图． 方法：分别取每个视图的两个尺寸． 注意：同高不等于全等． 针对训练 训练7　完整题组：按底面认识棱柱 回答下列各题： （1） 直三棱柱有几个底面、几个侧面？ （2） 直六棱柱有几个底面、几个侧面？ （3） 正方体属于直几棱柱？说明理由． 解第（1）题 个底面，个侧面． 两个全等三角形为底面，其余三面为矩形． 方法：按底面与侧面分别数． 注意：不要只数立体图中可见的面． 针对训练 训练7　完整题组：按底面认识棱柱 回答下列各题： （1） 直三棱柱有几个底面、几个侧面？ （2） 直六棱柱有几个底面、几个侧面？ （3） 正方体属于直几棱柱？说明理由． 解第（2）题 个底面，个侧面． 底面六条边各对应一个侧面． 方法：用底面边数确定侧面数． 注意：六棱柱的“六”指底面的边数． 针对训练 训练7　完整题组：按底面认识棱柱 回答下列各题： （1） 直三棱柱有几个底面、几个侧面？ （2） 直六棱柱有几个底面、几个侧面？ （3） 正方体属于直几棱柱？说明理由． 解第（3）题 直四棱柱． 可选两个相对的正方形为底面，其余四面是矩形． 方法：核对两个底面和其余各面． 注意：正方形也是矩形． 针对训练 训练8　完整题组：等边三角形底面 一个直三棱柱的等边三角形底面边长为，侧棱长为；底面一边在前，尖端朝后． （1） 主视图的长和高分别是多少？ （2） 左视图的宽和高分别是多少？ （3） 主视图中间的侧棱应画实线还是虚线？ 解第（1）题 、． 长取底面前边，高取侧棱长． 方法：把长、高对应到已知数据． 注意：不要把底面高当成棱柱高． 针对训练 训练8　完整题组：等边三角形底面 一个直三棱柱的等边三角形底面边长为，侧棱长为；底面一边在前，尖端朝后． （1） 主视图的长和高分别是多少？ （2） 左视图的宽和高分别是多少？ （3） 主视图中间的侧棱应画实线还是虚线？ 解第（2）题 、． 底面高． 方法：先作底面三角形的高． 注意：宽是两端之间的前后距离． 针对训练 训练8　完整题组：等边三角形底面 一个直三棱柱的等边三角形底面边长为，侧棱长为；底面一边在前，尖端朝后． （1） 主视图的长和高分别是多少？ （2） 左视图的宽和高分别是多少？ （3） 主视图中间的侧棱应画实线还是虚线？ 解第（3）题 虚线． 尖端朝后的侧棱被前面矩形侧面遮挡． 方法：沿主视方向判断遮挡． 注意：线型随摆法变化． 针对训练 训练9　计算：等腰底面给出宽 直三棱柱的底面三角形两腰长，底边长，侧棱长．底边在前，尖端朝后．求左视图的宽和高． 主视图 左视图 俯视图 答：宽为，高为． 解 底面高平分底边，半底边为． 底面高，就是左视图的宽． 方法：先把等腰三角形分成两个直角三角形． 注意：左视图的宽不是腰长13． 针对训练 训练10　说明：侧棱能否省去 底面尖端朝后的直三棱柱，主视图已经画出矩形外框．有同学说中间侧棱看不见，所以不画．你同意吗？ 主视图 左视图 俯视图 答：不同意，应补一条竖直虚线． 解 隐藏的侧棱也能反映物体结构． 教材规则要求把被遮挡的轮廓线画成虚线． 方法：区分“看不见”与“没有这条棱”． 注意：与外框实线重合时不重复画虚线． 针对训练 训练11　实际应用：包装盒图纸 一个长方体包装盒长 cm、宽 cm、高 cm．设计图按缩小．画出三视图，并写出图上的尺寸． 主视图 左视图 俯视图 答：主视 cm，俯视 cm，左视 cm． 解 实物每个尺寸都除以：得、、 cm． 依照长、宽、高的对应关系画三图． 方法：先统一缩放，再分配尺寸． 注意：不能只缩小其中某个方向． 针对训练 训练12　实际应用：展示架侧板 竖直展示架外形为直三棱柱，底面两腰长 dm、底边长 dm，侧棱长 dm．底边正对观察者，尖端朝后．侧视安装图应画多大的矩形？ 左视图 答：左视图是宽 dm、高 dm的矩形． 解 底面高 dm． 侧视安装图取前后跨度和竖直高度． 方法：把安装方向转成左视图的宽和高． 注意：两腰长不等于架子的前后跨度． 方法总结 两种方法完成本课作图 按方向逐图观察 （1）固定物体摆法，分别从前、上、左看． （2）记录外轮廓，再补投影中需要保留的棱． （3）按可见性确定实线或虚线． 按尺寸关联作图 （1）先确定长、宽、高及其对应边． （2）主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等． （3）最后核对底面形状和整体摆放位置． $