29.2 解直角三角形（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第29章 三角初步 29.2 解直角三角形 （第1课时）解直角三角形的基本方法 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 只测两个量，能否确定一个直角三角形 在中，。若已知及，还需要测量哪几个量，才能知道三角形全部的边和角？ 答：不必再测量；可通过计算求出。 未知的是。 边角关系把这三个未知量与已知量联系起来。 方法：先把六个元素中的已知量圈出。 注意：直角也是一个已知角。 新知讲授 什么叫解直角三角形 概念 在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形。 任务 “所有未知元素”包括未知边长和未知角。 约定 在中，，分别表示的对边。 新知讲授 三边与两锐角之间的关系 三边：。 两锐角：。 识别：是斜边，也是三条边中最长的一条。 新知讲授 以A为参照角选择三角比 正弦：：对边比斜边。 余弦：：邻边比斜边。 正切：：对边比邻边。 新知讲授 换成B，边的位置怎样改变 正弦：。 余弦：。 正切：；相对，与的角色交换。 例题讲解 只知道两个锐角，边长能确定吗 两个直角三角形都满足、。它们的边长一定相等吗？说明理由。 斜边长为 斜边长为 答：不一定；角相同不能确定大小。 两三角形可相似而边长不同。 斜边分别取与，都能满足这些角度。 方法：用一对大小不同的相似图形检验。 注意：求边长至少需要一个已知边长。 新知讲授 哪些条件足够解直角三角形 结论 在直角三角形中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边。 两类条件 两条边；或一条边与一个锐角。 必要信息 至少需要知道直角三角形的一条边长。 新知讲授 已知一边一锐角：先看要用哪两条边 求另一条边 先圈出已知边与所求边。 结合已知锐角，识别对边、邻边、斜边。 选只含这两条边的三角比。 求另一个锐角 利用两锐角互余。 用减去已知锐角。 最后检查角度与边长大小是否一致。 优先使用原始已知量，减少中间近似值带来的误差。 例题讲解 例 1 在中，已知，，。求这个三角形的其他边和角（长度保留三位小数）。 答：。 。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 例题讲解 例 1 在中，已知，，。求这个三角形的其他边和角（长度保留三位小数）。 答：。 对，是邻边，是斜边。 。 。 方法：邻边与斜边同时出现，选余弦。 注意：由比值解出斜边时，应除以余弦值。 例题讲解 例 1 在中，已知，，。求这个三角形的其他边和角（长度保留三位小数）。 答：；，。 对，是对边。 。 。 方法：两条直角边同时出现，选正切。 注意：本题a不是∠B的对边。 例题讲解 变式 例 1 在中，，，。解这个直角三角形。 答：，，。 。 。 。 方法：已知斜边，求直角边可用乘法。 注意：先找对边与邻边，再决定sin或cos。 例题讲解 辨析 辨析：同一条边会有不同身份 （1）在时，始终是的对边。 √ 字母a对应顶点A的对边。 （2）因为是对边，所以。 × a是∠B的邻边，应为cos B。 （3）由可得。 × 应为。 方法：逐条核对直角、边的位置与已知条件。 注意：仅凭图形外观不能增加条件。 新知讲授 已知两边：求边与求角分开处理 第三条边 用勾股定理；先确认哪一条是斜边。 一个锐角 用已知两边的比求三角比，再用计算器反求角。 另一个锐角 利用两锐角互余，并检查角度单位。 例题讲解 例 2 在中，已知，，。解这个直角三角形（长度保留三位小数，角度精确到）。 答：。 。 。 。 方法：已知斜边与直角边，平方后相减。 注意：根号内应为正数，边长取正值。 例题讲解 例 2 在中，已知，，。解这个直角三角形（长度保留三位小数，角度精确到）。 答：。 。 计算器置于度模式，反求锐角。 。 方法：对边与斜边已知，先求正弦值。 注意：反求角后仍要按1′进行取舍。 例题讲解 例 2 在中，已知，，。解这个直角三角形（长度保留三位小数，角度精确到）。 答：，，。 。 检查：。 斜边大于两条直角边。 方法：求出所有未知边和角后再结束。 注意：按要求书写角度单位及长度小数位。 新知讲授 近似值怎样保留更稳妥 三角比 用三角比的近似值反求锐角时，通常可将该近似值保留四位小数。 计算过程 计算器内部保留更多位；屏幕书写的近似值不必重新输入。 输出要求 长度“三位小数”与角度“精确到”是两种不同要求。 检查 角度的小数部分乘，转化成分后再取近似值。 例题讲解 变式 例 2 在中，，，。解这个直角三角形（角度精确到）。 答：，，。 。 ，。 。 方法：两条直角边已知，反求角可直接用正切。 注意：求斜边时平方和开方，不能相减。 例题讲解 辨析 辨析：已知的两条边是否可能 在中，。下列哪组数据不可能成立？说明理由。 A. B. C. D. 答：B不可能。 解 斜边必须大于每一条直角边。 B中，与斜边最长矛盾。 方法：先检查图形是否存在，再进行计算。 注意：两条直角边之间没有固定大小次序。 例题讲解 变式 变式：只列式，比较解题入口 在中，，，。不求近似值，分别列出求的算式。 答：，。 ，故。 ，故。 方法：每个算式只保留一个未知边长。 注意：列式正确后再按计算器，避免盲目试算。 课堂练习 练习1 在中，，分别由下列条件解直角三角形： （1） ，； （2） ，（长度保留三位小数，角度精确到）。 解第（1）题 ，，。 。 。 。 方法：先求另一个锐角，再用特殊角三角比求边。 注意：本小题可保留精确的根式结果。 课堂练习 练习1 在中，，分别由下列条件解直角三角形： （1） ，； （2） ，（长度保留三位小数，角度精确到）。 解第（2）题 ，，。 。 。 。 方法：以B为参照，a是邻边，b是对边。 注意：43°21′等于43.35°，不能输入43.21°。 课堂练习 练习2 在中，，分别由下列条件解直角三角形（长度保留三位小数，角度精确到）： （1） ，； （2） ，。 解第（1）题 ，，。 。 ，。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 课堂练习 练习2 在中，，分别由下列条件解直角三角形（长度保留三位小数，角度精确到）： （1） ，； （2） ，。 解第（2）题 ，，。 。 ，。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 课堂总结 解直角 三角形 目标 根据已知元素 求出所有未知的边与角 基本关系 勾股定理、两锐角互余 sin、cos、tan的边比 已知条件 两条边；或一边一锐角 至少有一条边长 计算检查 正确选择边角关系 检查大小、单位与精度 特别提醒：以选定锐角为参照分清对边、邻边和斜边。 针对训练 训练1 填空：锁定三种关系 在中，。填空：____；____；____。 答：；；。 前两空分别用勾股定理与两锐角互余。 对，邻边为，斜边为。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练2 判断与纠错 （1）已知两个锐角就能求出三条边的长度。 × 缺少一条边长，大小仍不能确定。 （2）在直角三角形中，已知两条边即可解这个三角形。 √ 先求第三边，再由边比求锐角。 （3）把输入成不会影响结果。 × 。 方法：逐条核对直角、边的位置与已知条件。 注意：仅凭图形外观不能增加条件。 针对训练 训练3 选择：哪些信息足够 已知。下列条件中，能解出的是哪一组？ A. B. C. D. 答：C。 解 C给出一条边与一个锐角。 A、B缺少边长；D缺少另一个独立条件。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 方法总结 先判断条件，再选择工具 方法1　检查是否足够 ① 至少要有一个边长。 ② 两边或一边一锐角可以确定其余元素。 方法2　确定参照锐角 ① 在图上指出对边、邻边、斜边。 ② 用只含已知量与一个未知量的关系。 针对训练 训练4 计算：已知对边与30° 在中，，，。解这个直角三角形。 答：，，。 。 。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练5 计算：已知斜边与45° 在中，，，。解这个直角三角形。 答：，。 两锐角互余，。 。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练6 计算：一般锐角求边 在中，，，。解这个直角三角形（长度保留三位小数）。 答：，，。 。 。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 方法总结 一边一锐角的两种运算 方法1　已知斜边求直角边 ① 对边等于斜边乘该锐角的正弦值。 ② 邻边等于斜边乘该锐角的余弦值。 方法2　已知直角边求其他边 ① 先按边的位置写出三角比。 ② 再解出未知量，避免把乘除写反。 针对训练 训练7 计算：由两直角边求锐角 在中，，，。解这个直角三角形（角度精确到）。 答：，，。 。 ，。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练8 计算：斜边与一条直角边 在中，，，。解这个直角三角形（角度精确到）。 答：，，。 。 ，。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练9 错解分析：平方关系不能变成差 在中，，，。小明说：“。”找出错误并求出。 答：；不能把平方和关系改成边长和关系。 应有。 线段长度为正，所以。 方法：先写勾股定理的平方关系，再开方。 注意：直角边并不等于斜边减另一条边。 方法总结 两边已知：求长度与求角 方法1　利用勾股定理 ① 求斜边：两直角边平方和开方。 ② 求直角边：斜边平方减另一边平方，再开方。 方法2　利用边比反求角 ① 先用原始已知边写sin、cos或tan。 ② 反求一个锐角，再用互余关系求另一个。 针对训练 训练10 开放题：补一个条件 已知中、。请补充一个锐角条件，使，并求出。 答：补（或）；。 。 锐角。 。 方法：从目标边长倒推需要的锐角。 注意：补充条件必须与原有条件相容。 针对训练 训练11 应用：直角支架 一个三角形支架在处为直角，米，米。求斜杆的长及（角度精确到）。 答：米；，。 。 。 反求后，用求。 方法：把支杆长度对应到直角边与斜边。 注意：统一用米计算，角度答案单独标单位。 针对训练 训练12 应用：制作三角尺 制作一块三角尺，要求、，最长边厘米。求另外两条边的长及。 答：厘米，厘米，。 为斜边。 。 ，。 方法：先把实际最长边识别为斜边。 注意：没有近似精度要求时可保留根式。 方法总结 应用题中的计算与检查 方法1　建立直角三角形 ① 确认直角位置，再标出已知边角。 ② 把实际所求量对应到边长或锐角。 方法2　核验计算结果 ① 斜边应最长，两锐角应互余。 ② 检查数量单位和题目指定的精度。 $