28.3 相似多边形（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.3 相似多边形 （第1课时）相似多边形的定义与应用 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 照片怎样放大 观察：两张长方形照片分别为和，对应边怎样变化？ 比较：两组对应边的比都为，各角仍是直角。 问题：三角形以外的图形，怎样判断形状相同？ 新知讲授 相似三角形的启示 旧知：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 拓展：对边数相同的多边形，也要明确各顶点的对应。 思考：多边形增加了边和角，判定时能否少查一个条件？ 新知讲授 相似多边形的定义 定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点与另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似． 读懂条件 先确定依次对应的顶点，再同时检查角与边。 注意 边数相同是讨论这一定义的前提。 新知讲授 顶点、角与边的对应 图中两个四边形相似，依次对应。写出、、、的对应边。 答：。 两端点分别对应，得到对应边。 例如的端点分别对应。 方法：先连起对应顶点的顺序。 注意：不能只按图上的长短或位置配边。 新知讲授 相似比 定义 两个相似多边形的对应边的比值叫作这两个多边形的相似比． 表达 。 顺序 交换两个多边形的先后顺序，相似比变为原来的倒数。 新知讲授 相似与全等 关系 当两个相似多边形是全等形时，它们的相似比等于；反过来，当两个相似多边形的相似比等于时，这两个多边形是全等形． 特殊情形 相似三角形是相似多边形的特殊情形． 理解 相似允许大小变化；相似比为时大小也相同。 新知讲授 定义中的两项检查 检查角 四边形需核对四组对应角。 检查边 四组对应边要按同一方向列比，并检查比值是否相同。 一起使用 角相等与边成比例两项条件缺一不可。 归纳 先排顶点，再查角边，最后写出相似比。 例题讲解 例 1 四边形与四边形相似，点与、点与、点与、点与分别是对应顶点。已知，，，，，，。求边、的长和的度数。 答：。 先求。 。 方法：用一组已知对应边确定相似比。 注意：本页先求AB，其余两项接着讲。 例题讲解 例 1 四边形与四边形相似，点与、点与、点与、点与分别是对应顶点。已知，，，，，，。求边、的长和的度数。 答：。 由， 得。 方法：小图边长等于大图对应边长乘2/3。 注意：相似比的方向要与列式方向一致。 例题讲解 例 1 四边形与四边形相似，点与、点与、点与、点与分别是对应顶点。已知，，，，，，。求边、的长和的度数。 答：。 。 相似多边形的对应角相等，所以。 方法：先用四边形内角和求出缺角。 注意：边长按比例变化，角度保持相等。 方法总结 对应边与对应角的求法 方法1　求边长 ① 先找一组已知的对应边，计算相似比。 ② 将未知边放在同一方向的比例式中。 方法2　求角度 ① 先利用原多边形的内角和求缺角。 ② 依据对应顶点，把角度传到另一个图形。 例题讲解 变式 变式：同时求边与角 两个四边形依次对应且相似。大图与小图的相似比为，大图一边长，小图另一边长；大图三个内角分别为。求小图第一条对应边、大图第二条对应边和小图第四个角。 答：；；。 解 小图第一边为，大图第二边为。 第四个角为。 方法：分别处理长度比例与角度相等。 注意：角度不能也乘相似比。 新知讲授 思考：只有对应角相等 四个内角都对应相等的两个四边形一定相似吗？为什么？ 答：不一定。 长方形的四个角都为。 长宽分别为和时，对应边不成比例。 方法：用具体反例检验“一定”。 注意：角相等不能代替边成比例。 新知讲授 思考：只有对应边成比例 如果两个四边形的边依次对应成比例，那么它们一定相似吗？为什么？ 答：不一定。 正方形和锐角为的菱形，四边都可以等长。 它们的对应角不全相等，因此不相似。 方法：用等边但角不同的图形作反例。 注意：三角形的三边判定不能直接套用。 新知讲授 三角形与四边形的区别 三角形 三边对应成比例，可以判定两个三角形相似。 四边形 四边对应成比例，还不能排除角度发生改变。 使用定义 对多边形，检查对应角相等和对应边成比例。 新知讲授 判断：相似条件是否完整 （1）任意两个正方形都相似。 √ 四角相等，四组对应边的比值相同。 （2）任意两个长方形都相似。 × 还需检查长与宽的比例。 （3）两个相似四边形的相似比为1时，它们全等。 √ 对应边相等且对应角相等。 （4）对应角相等就能判定两个五边形相似。 × 还需检查对应边成比例。 方法：判定时逐项核对定义。 注意：边数相同本身不足以判定相似。 例题讲解 方格中的缩放 把一个边长为格的正方形缩小，使新图与原图的相似比为。新图边长应取几格？ 答：格。 每条对应边都乘。 四个角保持为直角，所得两个正方形相似。 方法：先明确新图与原图的比。 注意：缩放时不能只改变一条边。 方法总结 判定与方格作图的方法 方法1　用定义判相似 ① 排出两个多边形的对应顶点。 ② 核对各对应角及所有对应边的比。 方法2　按相似比作图 ① 统一缩放各条对应边的长度。 ② 检查各角及顶点连接顺序没有改变。 课堂练习 练习1 已知四边形与四边形相似，并且点与、点与、点与、点与分别是对应顶点，其中的长分别为cm、cm、cm、cm，的长为cm。求的长。 答：cm，cm，cm。 解 新图与原图的相似比为。 依次求得、、。 方法：同一相似比可用于全部对应边。 注意：结果按题目要求的边顺序书写。 课堂练习 练习2 如图，画出四边形的一个相似图形，使得它与原四边形的相似比为。 答：红色四边形是一种画法。 原图从到，向右格、向上格。 新图相应取向右格、向上格，其余顶点同样缩小一半。 方法：数横向和纵向的格数，再按比例取点。 注意：新图的位置可以不同，形状应保持。 课堂练习 练习2 如图，画出四边形的一个相似图形，使得它与原四边形的相似比为。 答：新图与原图的相似比为。 各对应边的水平、竖直分量均缩小一半。 四组对应角相等，各对应边长均为原来的。 方法：作图后检查角和边的对应。 注意：不能仅凭图形看起来小了一半。 课堂练习 练习3 如图，四边形（2）与四边形（3）中哪一个与四边形（1）相似？说明理由。 答：四边形（3）与（1）相似。 将图（1）缩小为原来的，再旋转，可与图（3）重合。 它们的对应角相等，对应边成比例。 方法：允许旋转后比较对应关系。 注意：位置和朝向不同不影响相似。 课堂练习 练习3 如图，四边形（2）与四边形（3）中哪一个与四边形（1）相似？说明理由。 答：四边形（2）与（1）不相似。 两图上方边长之比为。 下方边长之比为，与不相等。 方法：在方格中用勾股定理求斜边。 注意：外形接近不等于满足相似定义。 课堂练习 课堂练习的检查要点 配边 由顶点顺序确定对应边，列比方向一致。 求角 利用对应角相等，必要时先用内角和。 作图 所有长度采用同一个缩放比例。 辨图 旋转后仍可相似；形似还须检验条件。 课堂总结 相似多边形 定义 边数相同，顶点依次对应 对应角相等，对应边成比例 相似比 对应边长度的比值 交换顺序，比值互为倒数 求边与角 边长用比例式 角度用相等与内角和 辨认与作图 同时检查角和边 按同一比例改变各边 特别提醒：只有角相等或只有边成比例，都不足以判定两个四边形相似。 针对训练 训练1 选择：长方形相似 与长、宽的长方形相似的是（　）。 A. 长9，宽6 B. 长5，宽4 C. 长8，宽4 D. 长6，宽5 答：A。 解 原长方形的长宽比为。 只有，且长方形对应角都相等。 方法：先按长边、短边确定对应关系。 注意：不能只比较面积。 针对训练 训练2 判断并改正 （1）两个边数不同的多边形也满足本节的相似定义。 × 定义要求边数相同。 （2）相似比为2时，对应角也扩大为2倍。 × 对应角保持相等。 （3）全等多边形一定相似。 √ 对应边比值为1，对应角相等。 （4）两个相似多边形交换顺序，相似比不变。 × 一般变为原比值的倒数。 方法：区分角度、长度和图形顺序。 注意：相似比始终为正数。 针对训练 训练3 填表：相似比的方向 已知甲、乙两个多边形相似，补全下表。 甲与乙之比 乙与甲之比 交换比较顺序，各对应边的分子、分母互换。 两个方向的比值之积等于。 方法：明确“谁与谁的比”。 注意：比值为1时，两个方向才相同。 方法总结 基础辨析的方法 方法1　检查角与边 ① 逐项列出对应角相等的条件。 ② 再核对全部对应边是否具有相同比值。 方法2　检查比的方向 ① 先写出两个图形的先后顺序。 ② 交换顺序时取倒数，不改变角度。 针对训练 训练4 填空：对应边成比例 两个五边形依次对应且相似，小图与大图的相似比为。大图三条边分别长，求小图对应三边的长。 答：。 解 分别计算、、。 得到的三组对应边之比都为。 方法：每条对应边都乘同一个相似比。 注意：不要只缩放第一条边。 针对训练 训练5 计算：对应边与对应角 两个四边形依次对应且相似，小图一边长，大图对应边长。若小图另一边长，且三个内角为，求大图第二条对应边和第四个角。 答：；。 解 大图与小图的相似比为，对应边为。 第四个角为。 方法：边长求比例，角度求内角和。 注意：边长的单位一致后再求比。 针对训练 训练6 说理：周长相等是否足够 两个长方形的长宽分别为与。它们的周长都为，是否相似？说明理由。 答：不相似。 四个对应角虽然相等，但。 对应边不成比例，不能满足相似定义。 方法：检验定义，不能用周长替代条件。 注意：同周长不表示同形状。 方法总结 求量与反例的方法 方法1　求边求角分开做 ① 根据一组对应边确定相似比。 ② 对应角直接相等，不乘相似比。 方法2　寻找反例 ① 用熟悉的长方形、菱形检验命题。 ② 指出不满足的那一项定义条件。 针对训练 训练7 说明理由：菱形的比较 一个菱形的锐角为，另一个菱形的锐角为。即使两图四边都分别成比例，它们是否相似？ 答：不相似。 第一图的内角为。 第二图的内角为，找不到相等的对应角。 方法：边比满足后仍要检查对应角。 注意：菱形不一定与任意菱形相似。 针对训练 训练8 求参数：补足相似条件 两个四边形的内角依次对应相等。第一图四边依次为，第二图四边依次为。当为何值时，这两个四边形相似？ 答：。 解 已知三组对应边的比均为。 须有，所以。 方法：先由已知对应边确定统一比值。 注意：要同时满足全部边的比例。 针对训练 训练9 作图：按比例放大 方格边长为1。将图中四边形放大，使新图与原图的相似比为，画出一种结果。 答：红色四边形符合要求。 原图横向或竖直格数分别变为。 按原顶点顺序连线，并检查各对应角。 方法：用格数表示长度，再按同一比例放大。 注意：转折点也要按正确顺序对应。 方法总结 补条件与作图的方法 方法1　补足缺少的边比 ① 利用已知边求出统一比例。 ② 列出未知边与其对应边的比。 方法2　在方格中作相似图 ① 把横向、竖直移动的格数同倍改变。 ② 连接后同时检查角度与边长比。 针对训练 训练10 综合：反向求相似比 甲、乙两个五边形依次对应且相似，甲的一条边长，乙对应边长。乙另一条边长。求乙与甲的相似比及甲的第二条对应边长。 答：；。 解 乙与甲的比为。 设甲的第二条边长，则，得。 方法：先写明比较顺序，再列比例。 注意：求原图边长时要除以新图与原图的比。 针对训练 训练11 应用：照片等比例放大 一张长cm、宽cm的照片要等比例放大。（1）新照片宽为cm时，长应为多少？（2）若改成cm×cm的版式，是否仍与原照片相似？ 答：第（1）问：长应为cm。 新照片与原照片的比为。 所求长为cm。 方法：以已经确定的宽求放大比例。 注意：长、宽必须使用同一比例。 针对训练 训练11 应用：检查照片版式 一张长cm、宽cm的照片要等比例放大。（1）新照片宽为cm时，长应为多少？（2）若改成cm×cm的版式，是否仍与原照片相似？ 答：第（2）问：不相似。 长的比为。 宽的比为，两个比不同。 方法：分别检查横向和纵向缩放比例。 注意：只拉长或只拉宽会改变形状。 针对训练 训练12 应用：制作五边形图案 一个正五边形图案的边长为cm。制作与它相似、边长为cm的模板。（1）求模板与原图的相似比；（2）沿模板边缘粘一圈彩线，至少需要多长彩线？ 答：；cm。 对应边的比为。 正五边形有五条等长边，彩线长cm。 方法：先求边长比例，再按图形边数求总长。 注意：“一圈”包括所有五条边。 方法总结 实际问题中的相似方法 方法1　等比例制作 ① 确认制作前后的对应边和单位。 ② 用已知边的比统一计算其他边。 方法2　检查实际方案 ① 同时检查尺寸比例与形状条件。 ② 按题意计算总长，并写清单位。 $