29.2 解直角三角形（第2课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第29章 三角初步 29.2 解直角三角形 （第2课时）一般三角形中的直角三角形 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 不是直角三角形，能否用三角比 等腰三角形中，，，。要用三角比求腰长，图中还缺少什么？ 答：缺少可使用边角关系的直角三角形。 原三角形没有直角。 作一条高，可以得到直角三角形。 方法：先思考怎样把熟悉的方法用到新图形。 注意：不能在普通三角形中直接套直角三角形边比。 新知讲授 作高：把问题转化为直角三角形 目标 在图中得到一个含有已知边角的直角三角形。 作法 从一个顶点向它的对边作垂线，明确垂足。 选择 优先让已知角与已知边进入同一个直角三角形。 新知讲授 底边与高必须对应 在中，，，。若以为底，应从哪个顶点作高？用底和高写出面积公式。 答：从顶点作高；。 作，垂足为。 底边与高必须对应。 因为不垂直，不能把当作高。 方法：底边选定后，从对顶点作垂线。 注意：三角形的一条斜边不能随意充当高。 新知讲授 等腰三角形：底边上的高有何作用 等腰三角形中，，。作一条辅助线，把它分成两个全等的直角三角形，并写出平分关系。 答：，。 作，垂足为。 等腰三角形的底边高也是中线。 它也是顶角平分线，得到两个相等的锐角。 方法：作等腰三角形底边上的高可同时得到两种平分关系。 注意：这些平分关系依赖AB=AC这一条件。 例题讲解 例 3 在等腰三角形中，已知，，。求它的腰长和底角（长度保留三位小数）。 答：。 等腰三角形的两底角相等。 。 方法：已知顶角，先用内角和求底角。 注意：40°是顶角，不是小直角三角形的底角。 例题讲解 例 3 在等腰三角形中，已知，，。求它的腰长和底角（长度保留三位小数）。 答：作后，。 作，垂足为。 由，得。 。 方法：等腰三角形的底边高同时平分底边。 注意：BD是BC的一半，不能仍代入6。 例题讲解 例 3 在等腰三角形中，已知，，。求它的腰长和底角（长度保留三位小数）。 答：；两底角均为。 作，得、。 在中，。 。 方法：腰AB在小直角三角形中是斜边。 注意：最后同时回答腰长和底角。 例题讲解 例 3 在等腰三角形中，已知，，。求它的腰长和底角（长度保留三位小数）。试通过作腰上的高求腰长。 答：，与作底边高所得结果相同。 作，。 。 。 方法：用公共的高连接两个直角三角形。 注意：腰上的高通常不平分底边或顶角。 例题讲解 变式 例 3 在等腰三角形中，，，。求腰长和底边上的高。 答：，高。 作，则，。 。 。 方法：先将顶角和底边分别平分。 注意：高AD与腰AB是不同的线段。 例题讲解 辨析 辨析：作高后哪些平分关系成立 （1）任意三角形的高都平分对边。 × 本课的平分关系依赖等腰条件。 （2）等腰三角形底边上的高平分顶角。 √ 底边高也是顶角平分线。 （3）等腰三角形腰上的高也一定平分顶角。 × 必须区分底边上的高与腰上的高。 方法：每个平分结论都写出适用条件。 注意：不能把等腰三角形的结论推广到任意高。 例题讲解 例 4 在中，已知，，。求边上的高及的面积（结果保留三位小数）。 答：作，在中求。 过点作，垂足为。 已知与。 所求高是的对边。 方法：从底边AC的对顶点B作高。 注意：所选直角三角形要含已知边AB和已知角A。 例题讲解 例 4 在中，已知，，。求边上的高及的面积（结果保留三位小数）。 答：。 作。 。 。 方法：高是对边，已知AB是斜边，选择sin。 注意：后续求面积时保留高的更多位数。 例题讲解 例 4 在中，已知，，。求边上的高及的面积（结果保留三位小数）。 答：高约为，面积约为。 作，。 。 。 方法：用AC乘它所对应的高BD。 注意：面积与边长的单位分别是平方单位和长度单位。 新知讲授 为什么中间结果应多保留一些位数 本题的高 ，最终按要求写为。 继续求面积 内部使用未取舍的高，得。 结果 面积保留三位小数为。 习惯 中间多保留，最后再取舍；避免误差随计算积累。 例题讲解 变式 例 4 在中，，，。求边上的高及的面积。 答：高，面积。 作。 。 。 方法：先借正弦求高，再回到面积公式。 注意：30°是已知边AB与底边AC的夹角。 例题讲解 变式 变式：同一条件也能选择另一条高 在中，，，。若以为底，从作高，求该高及面积。 答：这条高为，面积仍为。 从向所在直线作垂线，垂足为。 。 。 方法：换了底边就必须换成对应的高。 注意：垂足可能在边的延长线上，垂直距离仍是高。 例题讲解 变式 逆向变式：由面积求边长 在中，，，面积为。求。 答：。 作。 由，得。 。 方法：先由面积反求高，再由高反求斜边。 注意：面积条件不能直接当作某条边长。 例题讲解 辨析 错解分析：斜边不能充当高 在中，，，。小明写。指出错误并改正。 答：错误是把当成高；正确面积为。 作，不垂直。 。 。 方法：先找垂直关系，再代入底乘高。 注意：图中任何一条斜边都不能随意当作高。 课堂练习 练习1 在中，，。求的长及的面积（结果保留三位小数）。 答：。 作，则。 。 。 方法：底边高把80°分成两个40°。 注意：求得BD后还要乘2得到BC。 课堂练习 练习1 在中，，。求的长及的面积（结果保留三位小数）。 答：，面积约为。 作，。 。 。 方法：底边与高都使用未取舍的三角比计算式。 注意：不能把已经保留三位的底边反复代入。 课堂练习 练习2 在中，，。（1）求（结果精确到）；（2）求的面积。 答：，。 作，则。 ，。 ，。 方法：底角在小直角三角形中仍是同一个角。 注意：先用完整角度计算，再分别精确到1′。 课堂练习 练习2 在中，，。（1）求（结果精确到）；（2）求的面积。 答：高，面积。 作，则。 。 。 方法：已知腰和半底边，可直接用勾股定理求高。 注意：面积计算使用整个底边BC=24。 课堂练习 练习3 在中，，，。求的面积。 答：。 作，垂足为。 。 。 方法：选择已知边BC为底，从A作高。 注意：本题未要求近似值，保留精确根式。 课堂练习 练习4 在中，，。求的长。 答：底边上的高。 作，垂足为。 。 。 方法：已知的是正弦值，可直接求对边长度。 注意：不必先用计算器反求∠B。 课堂练习 练习4 在中，，。求的长。 答：。 作，由正弦值得。 。 由等腰条件，。 方法：先求半底边BD，再利用中线性质。 注意：不能把BD=6直接写成BC=6。 课堂总结 作高转化 解决问题 转化目标 普通三角形作高 得到可解的直角三角形 等腰结构 底边高平分底边与顶角 腰成为小三角形斜边 面积问题 先求与已知底边对应的高 再用二分之一底乘高 选择与检查 可直接用边比或勾股定理 中间多保留，最后再取舍 特别提醒：作高后看清整个底边与半底边，并始终配对底和高。 针对训练 训练1 选择：哪一条辅助线最直接 等腰三角形中，，已知顶角和底边，要求腰长。哪条辅助线最便于利用平分关系？ A. 作 B. 连接中点与 C. 延长 D. 只标出两条腰相等 答：A。 从顶点向底边作高。 同时得到半底边和半顶角。 方法：优先考虑能同时利用多个条件的辅助线。 注意：辅助线必须产生有用的直角三角形。 针对训练 训练2 填空：等腰三角形中的三步 在中，，。作。填空：____，____，____。 答：，，。 作，等腰条件给出。 。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练3 判断：高的性质有条件 （1）任意三角形作高后，都能形成直角三角形。 √ 垂足处的角是直角。 （2）在等腰三角形中，底边高也平分顶角。 √ 这是等腰三角形的性质。 （3）用一定能得到三角形面积。 × 只有AB与AC垂直时才能这样计算。 方法：区分一般三角形与等腰三角形的性质。 注意：面积公式里的底和高必须互相垂直。 方法总结 作高后的两种常见结构 方法1　等腰三角形 ① 优先作底边上的高。 ② 标出半底边、半顶角和直角。 方法2　已知两边及夹角 ① 选一条已知边为底。 ② 用另一边与夹角的正弦求对应的高。 针对训练 训练4 计算：等腰三角形与60° 在等腰三角形中，，。求及三角形面积。 答：，面积为。 作，。 ，，故。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练5 计算：求对应的高与面积 在中，，，。求边上的高及三角形面积。 答：高为，面积为。 作。 。 。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练6 计算：已知底边与底角 等腰三角形中，，，。求腰长和面积（结果保留三位小数）。 答：腰长约为，面积约为。 作，得。 。 ，。 方法：底角已知，无须先求顶角再平分。 注意：求面积时使用整条底边10。 方法总结 由角和边求长度 方法1　求腰长 ① 在小直角三角形中辨认斜边。 ② 用半底边除以对应锐角的正弦值或余弦值。 方法2　求底边或高 ① 由腰长乘对应锐角的正弦值或余弦值。 ② 半底边需要乘2，高不需要乘2。 针对训练 训练7 逆向计算：面积给出高 在中，，，面积为。求。 答：。 作。 。 。 方法：把面积条件先转化为高的长度。 注意：求出的6是高BD，不是斜边AB。 针对训练 训练8 综合：两边条件求角与面积 在等腰三角形中，，。求与面积（角度精确到）。 答：，面积为。 作，得。 ，。 ，。 方法：先识别已知边与所求边，再选关系式。 注意：最后按要求取近似值。 针对训练 训练9 错解分析：顶角要不要平分 在等腰三角形中，，。作后，小明写。指出错误并求。 答：应使用；。 作，则。 。 。 方法：把所用锐角定位到小直角三角形内。 注意：整个顶角60°不是∠BAD。 方法总结 逆向求解与错解检查 方法1　从面积反推 ① 由面积与底边求对应的高。 ② 再由高和锐角反求所需边长。 方法2　检查平分关系 ① 底边高把等腰三角形分成两半。 ② 全角与半角、底边与半底边不能混用。 针对训练 训练10 比较：腰相同，面积是否相同 两个等腰三角形的腰长都为10，顶角分别为和。分别求面积并比较大小。 答：面积分别为与；后者较大。 分别作底边上的高，顶角各分成两半。 前者：底边，高，面积。 后者：底边，高，面积。 方法：分别求底与高，不能只比较某一条边。 注意：两条腰相同并不保证面积相同。 针对训练 训练11 应用：等腰装饰旗 一面等腰三角形装饰旗的两条腰都长40厘米，顶角为。求底边长和用料面积（结果保留三位小数）。 答：底边约厘米；面积约平方厘米。 作底边上的高，半顶角为。 ，高。 。 方法：先把旗面转为两个全等直角三角形。 注意：面积用平方厘米，不能只写厘米。 针对训练 训练12 应用：三角形花坛 三角形花坛中，两条边米、米，夹角。求边上的高及花坛面积（结果保留三位小数）。 答：高约米；面积约平方米。 作。 。 。 方法：把18米边作为底，求与其对应的高。 注意：使用未取舍的高求面积，最后按要求取舍。 方法总结 把实际图形转为计算模型 方法1　明确图形条件 ① 区分等腰条件与一般三角形条件。 ② 作高时让已知角与已知边进入小直角三角形。 方法2　形成完整答案 ① 底边、高、面积分别对应不同量。 ② 计算保留足够位数，最后写清单位。 $