29.2.4 解直角三角形的应用（第2课时）（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

29.2(4) 解直角三角形的应用 ——坡度和坡角 第二十九章 三角初步 沪教版九年级上册 学习目标 知道坡度与坡比的含义，会用三角函数的知识解决与坡度、坡角及其他实际问题中与角度有关的综合问题。 一 通过建模思想将实际问题转化为解直角三角形解决问题。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 解直角三角形的应用（坡度与坡角） 情境引入 一辆家用城市SUV的最大爬坡度为30%，到底何为坡度？ 水平距离l=100m h= 30m 坡度= 解直角三角形的应用 合作探究 水平距离 l h 一、什么叫坡度 斜坡上升的垂直距离与水平距离的______叫作这个坡的坡度， 二、坡度与坡角的关系 α 坡度与坡角成正比关系，坡度等于坡角的正切值。 i = tan α 比值 一般表示为______的形式， 通常用“i”表示，i=_____. 也叫作______. “坡比” 1: m 1: m 解直角三角形的应用 合作探究 1.如图，一道斜坡AB坡比为1: 2 ， AC=6m ，则斜坡的高度BC=        m ． 2.如图，某水坝的坡比为1: ，坡长AB为 30 m，则该水坝的高度BC为       m.   解 ∵i = ∴=3(m) 解 ∵i = ∴∠A=30° ∴BC==15(m) 3 ．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡角是30°,则河坝的坡度为      . 解 i = 例1 如图,一座大楼前的无障碍 通道是斜坡，用AB 表示，沿着通道走6.26m 可进入比楼外地面高0.5m 的楼厅.求无障碍 通道的坡度和坡角(角度精确到1'). 解直角三角形的应用 典例分析 解 过点A作水平直线l,过点B作BC⊥l于点C,在Rｔ∆ABC中，AB=6.26，BC=0.5 ∴i=tan∠A=0.0801 ∴∠A4°35' 所以坡度为，坡角为4°35'. ∴AC= 题型一：坡度、坡角问题 1. 如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD, 坝顶宽AD是 6m,坝高是2 3 m，迎水坡AB 的坡度为1:3,背水坡CD 的坡度为1:2.5. (1)求迎水坡AB与坝底BC 的长度(结果精确到0.1m); (2)求背水坡CD的坡角α(结果精确到1°). 解直角三角形的应用 巩固练习 E F 分析：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E、F 则BE=3AE=69 （m） CF=2.5AE=57.5 （m） ∴ BC=BE+EF+CF=132.5 （m） ∵i=tanα=1:2.5=0.4 ∴α22° 例2 如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动. 已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50 cm, 小球在左、右两个最高位置 E、F 时，细绳OE、OF所成的角为80°.求小球在最高位置与最低位置时的高度差(结果精确到0.1 cm). 解直角三角形的应用 典例分析 解 过点E作EH⊥OG于点H,则小球在最高位置和最低位置时的高度差就是GH的长. 在Rt△EOH中 ， OH=OE·cos∠EOH=50×cos40°38.30 . 因此，小球在最高位置和最低位置时的高度差约为11.7 cm. 据题意，可知 ∴ GH=OG-OH=50-38.30≈11.7(cm). 题型二：角度综合问题 2. 如图，工件上有一个V 槽，测得它的上口宽AB=20 mm, CD=19.2 mm，AC=BC.求 V 形角(∠ACB) 的大小(结果精确到1´). 解直角三角形的应用 巩固练习 分析：由题意得AD=10. ∵tan∠ACD=≈0.521 ∴∠ACD27°30.7´ ∴∠ACB55°01´ 3. 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 和CF 固定电线杆.在离电线杆6m 的 B 处安置测角仪(点B 、E 、D 在同一直线上),在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪的高AB 为1.5m,BE=2.3 m. 求拉线CE 的长(结果精确到0.1m). 解直角三角形的应用 巩固练习 分析：过点A作水平线AH交CD于H点， 易得 CH=2≈3.46，CD=4.96 ∴ED=BD-BE=2.54 H 所以，可由勾股定理得 CE≈5.6 （m） 例3 如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡度为1：1.2，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米） 解直角三角形的应用 典例分析 解 过点A作AH⊥BC于点H, 在Rt△ABH中 ， AH=AB·sin∠ABH=25×sin62°22.074. 所以，此时应将坝底向外拓宽14.75米. 题型二：改变坡度的题型 H BH=AB·cos∠ABH=25×cos62°11.737. ∵i=.2 ∴DH=1.222.07426.489 ∴DB=DH-BH14.75 (米) 4. 如图，某市对一拦水坝进行加固，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD ．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12米，∠B=60° ，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，加固后背水坡面的坡度为3:13 ，则背水坡加宽的宽度CE的长为______米． 解直角三角形的应用 巩固练习 分析：分别过点A、D作AM、DN垂直BC于点M、N. 则易得DN=AM=6， M N 由勾股定理得CN=18 由DE坡的坡度可得EN=26 背水坡加宽的宽度CE的长为8 米. 小结梳理：坡度是个比值，等于坡角的正切值，常表示为 i=1：m 的形式。 解直角三角形的应用 中考链接 1. （2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪” ，“光雾山杯”2026 年国际划联皮划艇马拉松世界杯于 5 月 23 日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上 N 点处竖直升空，当升至距地面15m 的空中P 点时，测得 C 点正前方的河面上两艘皮划艇 A和 B 的俯角分别为42.3°和52.4° （点 M、C、B、A 在一条直线上）．已知河堤斜坡NC的长为12m ，坡比为1: 5. (1)求无人机距河面的高度PM ； (2)求两艘皮划艇之间的距离AB ．（计算结果保留整数）． （参考数据：sin42.3°≈0.67 ， cos42.3°≈0.74 ， tan42.3°≈0.91 ，sin52.4°≈0.79 ，cos52.4°≈0.61 ， tan52.40≈1.30 ） 解直角三角形的应用 答案: (1)PM=PN+MN=21（m） (2)AB=AM-BM≈23.1-16.2≈7（m） 中考链接 2. （2026·吉林长春·中考真题）如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度AB=34 cm．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是49°，则该篮球的直径可表示为（     ） A．34sin 49° B．34cos 49° C． D． 解直角三角形的应用 答案: A 中考链接 3. （2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为15°的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为10°的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（保留一位小数）（图中所有点均在同一平面内） 解直角三角形的应用 答案: 51.5米 作业布置 必做题：习题29.2 第5题. 1 解直角三角形的应用 作业布置 选做题：习题29.2 第8题. 2 解直角三角形的应用 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $