22.3.5相似三角形的应用1（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册 22.3.5 相似三角形的应用1（测高\(B、C\)测距） ## 一\(B、C\)知识点梳理 核心思路：**利用平行光线/影子\(B、C\)视线构造相似三角形\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)列比例式求解** 两大基础模型： ### 模型1：阳光下的影子（平行光） 同一时刻\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)太阳光线平行。 物体高度之比 = 影子长度之比 $$\frac{h_1}{h_2}=\frac{l_1}{l_2}$$ 原理：垂直地面→两个直角\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)太阳光线平行得到一组同位角相等\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)**AA相似**。 > 注意：必须**同一时刻**！不同时刻太阳角度不同\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)不能直接比。 ### 模型2：平面镜反射（光的反射） 入射角=反射角\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)得到两组角相等\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)AA证相似。 $$\frac{\text{物高}}{\text{人高}}=\frac{\text{物体到镜子距离}}{\text{人到镜子距离}}$$ ### 解题步骤（固定模板\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)考试直接套用） 1. 找两个直角三角形； 2. 证明相似（AA）； 3. 写出对应边比例式； 4. 代入数值解方程； 5. 写答。 ⚠易错点 1. 对应边不要写反； 2. 单位统一（米\(B、C\)厘米要换成一样）； 3. 影子题\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)看清是**全部影子**还是**影子一部分落在墙上**（难题会考）。 ## 二\(B、C\)选择题 1. 同一时刻\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)高2m竹竿影长1.5m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)一棵树影长\(\boldsymbol{6}\)m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)则树高（） A.\(\boldsymbol{6}\)m B.8m C.9m D.10m 2. 利用镜子反射测树高\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)人眼高1.\(\boldsymbol{6}\)m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)人离镜子2m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)树离镜子8m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)则树高（） A.\(\boldsymbol{6}\).4m B.8m C.9.\(\boldsymbol{6}\)m D.12.8m 3. 同一时刻\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)甲\(B、C\)乙两物体高度比2:3\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)则它们影子长之比为（） A.2:3 B.4:9 C.3:2 D.9:4 4. 小明身高1.7米\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)影子长2米\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)同一时刻大楼影子长20米\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)则大楼高（） A.17m B.20m C.34m D.40m 5. 下面不能用相似三角形测量的是（） A.旗杆高度 B.河宽 C.地图距离 D.无法直接到达的大树高度 ## 三\(B、C\)填空题 1. 同一时刻物体高度与影长成______比例。 2. 镜子反射测高\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)依据______相等\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)证明三角形相似。 3. 竹竿高1.8m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)影长0.9m；同一时刻楼房影长12m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)楼房高____m。 4. 树高$h$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)树影长9m；1.5m标杆影长3m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)则树高=____m。 5. 平面镜模型：人高1.5m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)人到镜3m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)树到镜12m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)树高____m。 ## 四\(B、C\)解答题 1. 阳光下\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)一根长3m的竹竿\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)影子长2m。同一时刻\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)测得旗杆影子长10m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)求旗杆高度。 2. 用平面镜测大树高度：镜子放在地面\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)人站在离镜子3m处\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)眼睛离地面1.\(\boldsymbol{6}\)m；大树距离镜子9m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)刚好在镜子中看到树顶\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)求大树高度。 3. 小明身高1.\(\boldsymbol{6}\)m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)站立时影长2.4m；同一时刻\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)一座古塔影长3\(\boldsymbol{6}\)m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)求古塔高度。 4. 拓展：为测河宽$AB$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)在对岸选点$A$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)这边取$B\(B、C\)C$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$BC\perp AB$；取点$D$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$CD\perp BC$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$AD$交$BC$于$E$。已知$BE=12m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)EC=\(\boldsymbol{6}\)m\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)CD=8m$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)求河宽$AB$。 ## 五\(B、C\)参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：$\dfrac{2}{1.5}=\dfrac{h}{\(\boldsymbol{6}\)}\Rightarrow h=8$ 2.A 解析：$\dfrac{h}{1.\(\boldsymbol{6}\)}=\dfrac{8}{2}\Rightarrow h=\(\boldsymbol{6}\).4$ 3.A 解析：同一时刻\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)高之比=影长之比 4.A 解析：$\dfrac{1.7}{2}=\dfrac{H}{20}\Rightarrow H=17$ 5.C ### 填空题 1. 正 2. 入射角与反射角 3. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{24}\)}$ 解析：$\dfrac{1.8}{0.9}=2$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$12\times2=\(\boldsymbol{24}\)$ 4. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{4.5}\)}$ 解析：$\dfrac{h}{9}=\dfrac{1.5}{3}\Rightarrow h=\(\boldsymbol{4.5}\)$ 5. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{6}\)}$ 解析：$\dfrac{h}{1.5}=\dfrac{12}{3}\Rightarrow h=\(\boldsymbol{6}\)$ ### 解答题 1.解： 设旗杆高$x$ m 同一时刻\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$\dfrac{\text{竹竿高}}{\text{竹竿影长}}=\dfrac{\text{旗杆高}}{\text{旗杆影长}}$ $\dfrac{3}{2}=\dfrac{x}{10}$ $\(2x=30\)$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$\(x=15\)$ 答：旗杆高15米。 2.解： 由反射原理\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$\angle AEB=\angle CED$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$\angle B=\angle D=90^\circ$ $\therefore\triangle ABE\backsim\triangle CDE$（AA） $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{BE}{DE}$ $\dfrac{AB}{1.\(\boldsymbol{6}\)}=\dfrac{9}{3}$ $\(AB=4.8\)$ 答：大树高4.8米。 3.解： 设古塔高$x$ m $\dfrac{1.\(\boldsymbol{6}\)}{2.4}=\dfrac{x}{3\(\boldsymbol{6}\)}$ $2.4x=1.\(\boldsymbol{6}\)\times3\(\boldsymbol{6}\)$ $x=\(\boldsymbol{24}\)$ 答：古塔高\(\boldsymbol{24}\)m。 4.解： $\because AB\perp BC\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)CD\perp BC$ $\therefore AB\parallel CD\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)\angle B=\angle C=90^\circ$ $\angle AEB=\angle DEC$（对顶角） $\therefore\triangle ABE \backsim\triangle DCE$（AA） $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{BE}{EC}$ $\dfrac{AB}{8}=\dfrac{12}{\(\boldsymbol{6}\)}$ $\dfrac{AB}{8}=2$\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)$AB=1\(\boldsymbol{6}\)$ 答：河宽$AB=1\(\boldsymbol{6}\)\mathrm{m}$。 --- 下一节：**相似三角形的应用2（盲区\(B、C\)遮挡类）**\(\because AB\perp BC\(\therefore AB\parallel CD，\angle B=\angle C=90^\circ\)CD\perp BC\)继续吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 22.3.5相似三角形的应用1 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第22章 图形的相似 新知探究 我们建立抽象模型，如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金子塔的影长，即可近似算出金字塔的高度.如果，求金字塔的高度. 利用相似三角形测量高度 分析：利用相似三角形对应边成比例进行求解。 注意：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和. 新知探究 我们建立抽象模型，如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金子塔的影长，即可近似算出金字塔的高度.如果，求金字塔的高度. 利用相似三角形测量高度 解：∵ 太阳光线是平行光线， ∴ ． ∵ ． ∴ (两角分别相等的两个三角形相似)， ∴ ＝ . ∴(m). 答：金字塔的高度为137 m． 你还有其他方法吗？ 新知探究 利用相似三角形测量高度 A F E B O ┐ ┐ 利用物理中平面镜反射的原理： OB EF = OA AF OB = OA · EF AF 平面镜 4 利用相似三角形测量高度的一般步骤： 1.找垂直：明确物体垂直地面，得到两组直角；太阳光线平行，得到一组相等锐角。 2.证相似：依据两角分别相等，证明两个直角三角形相似。 3.列比例：根据相似三角形对应边成比例列出等式。 4.代值计算：代入已知长度，求解未知高度，写答。 归纳总结 归纳总结 利用相似三角形测量高度 求解过程中注意单位要统一，结果要检验符合实际. 典例分析 例1 小红利用下面的方法来测量学校教学楼的高度.如图，在水平地面上点处放一面平面镜，镜子与教学楼的距离m.当她与镜子距离m时，她刚好能从镜子中看到教学楼的顶 端，已知她的眼睛距地面高度m，请你帮 助她计算大楼的高度. 解：根据光的反射定律，， 又∵， ∴， ∴,可得 答：大楼AB高度为12.8 m 利用相似三角形测量高度 知识点1 利用相似三角形测高 （第1题） 1. 小明用自制的直角三角形纸板 测量树 的高度.测量时，使直角边 保持水平状态，其延长线交 于点 ，使斜边与点 在同一条直线上. 测得边离地面的高度为 ， B A. B. C. D. 点到的距离为（如图）.已知 ， ，则树 的高度为( ) 返回 举一反三 7 （第2题） 2. 如图，数学兴趣小 组学生测量小山坡上一棵大树 的高度， 山坡与地面的夹角 ， 站立在水平地面上，身高1.5米的小明， 在地面上的影长为1米，此刻大树 在斜坡上的影长 为4米，则大树的高度是__________米. 举一反三 8 【点拨】如图,过点作于点 ， . 米， 米. （米），由题意易得 ， ，即. 米. 米，即大树的高度是 米. 举一反三 9 利用相似三角形的性质解决实 际问题的关键是能够构造出相似三角形. 构造相似三角形常用的方法为“作三线”： 作平行线、作垂线、作延长线. . . . . 返回 举一反三 10 新知探究 利用相似三角形测量宽度 如图，想要估算河的宽度，应该怎样建立模型计算呢？ 思考 分析：利用相似三角形对应边成比例进行求解。 如图，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选定点和，使，然后，再选定点，使，用视线确定和的交点. 你能计算吗？ 新知探究 利用相似三角形测量宽度 解：∵， ∴(两角分别相等的两个三角形相似). ∴＝. 解得＝96.7(m). 答：河的宽度约为96.7 m． 已知m，m，m，求河的宽度（精确到0.1 m）. 你还有其他方法吗？ 新知探究 利用相似三角形测量宽度 我们还可以在河对岸选定一目标点 ，再在河的一边选点 和 ，使 ，然后，再选点 ，作 ，与视线 相交于点 。此时，测得 ，就可以求两岸间的大致距离 了。 试一试吧！ A D E B C 利用相似三角形测量宽度的一般步骤： 1.构图形：根据题意，构造出两组直角（或等角），标记已知边长、待测宽度。 2.证相似：利用对顶角相等、平行线得到同位角 / 内错角相等，两角分别相等证明三角形相似。 3.列比例：根据相似三角形对应边成比例列出等式。 4.代值计算：代入已知长度，求解未知宽度，写答。 归纳总结 归纳总结 利用相似三角形测量宽度 典例分析 例2 已知左、右并排的两棵大树的高分别是m 和m，两树的根部的距离m，一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点了？ 利用相似三角形测量宽度 典例分析 解：如图，假设观察者从左向右走到点 时，她的眼睛的位置点 与两棵树的顶端点 恰在一条直线上． ∵ ∴ ∴. ∴ . 即. 解得 . 由此可知，如果观察者继续前进，当他与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 利用相似三角形测量宽度 知识点2 利用相似三角形测长度或宽度 （第3题） 3. 如图，为了测量一池塘的宽 ， 在岸边找到一点，测得 ， 在的延长线上找一点 ，测得 ，过点作，交 C A. B. C. D. 的延长线于点，测出，则池塘的宽 为( ) 返回 举一反三 17 （第4题） 4. [宁波模拟] 如图，这是一个常见 的铁夹的剖面图，， 表示铁夹 的剖面的两条边，点 是转动轴的位 置，，垂足为 ， ， ， A A. B. C. D. ，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则， 两点 间的距离为 ( ) 举一反三 18 【点拨】如图，连结， ,延长 交于点，在 中， . 铁 夹的剖面图是轴对称图形， ， . 又 ， ， 即 ， 解得. . 返回 举一反三 19 （第5题） 5. 如图，不等臂跷跷板的一端 碰到地面时，另一端 到地面的高度 为；当的一端 碰到地面时， 另一端到地面的高度为 ，则 跷跷板的支撑点 到地面的高度 是( ) A A. B. C. D. 举一反三 20 （第5题） 【点拨】如图①,过点作 ， 垂足为， ， .又 ， . 举一反三 21 ; 如图②,过点作，垂足为 . ，， .又 举一反三 ，. . . ，解得 . 跷跷板的支撑点到地面的高度是 .故选A. 返回 举一反三 （第6题） 6. 如图，这是凸透镜成像示 意图，是蜡烛通过凸透镜 所成 的虚像.若蜡烛的高为 ，蜡烛 离凸透镜的水平距离为 ， 该凸透镜的焦距为， ， 则像 的高为( ) C A. B. C. D. 举一反三 24 （第6题） 【点拨】由题意得， ， ，， 四边形 是 平行四边形. . , . ., . . . 像的高是 . 返回 举一反三 25 （第7题） 7. 《九章算术》是我国 古代的数学名著，书中有这样一个问题： “今有邑方不知大小，各中开门，出北门 一百步立一表，出西门二百二十五步适 可见之，问邑方几何？”它的意思是：如 A A. 300步 B. 260步 C. 225步 D. 185步 图，，分别是正方形的边， 的中点， ，，过点，且 步， 步，那么该正方形城邑的边长 为( ) 举一反三 26 （第7题） 【点拨】， ， .在正方形 中， ，过点 ，易得 的边,的中点， 步， 步，，即，解得 （负值已舍去） 正方形城邑的边长 步.故选A. .设，, 分别是正方形 返回 举一反三 27 测高 相似三角形的应用1 在同一时刻物高与影长成比例 测距 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解 课堂小结 谢谢观看 THANKS $