22.3.4 相似三角形的应用1 课件 2026-2027学年华东师大版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，核心内容为利用相似三角形性质测量物体高度与宽度。通过“古代无仪器如何测量高度”的问题导入，以金字塔测高、河宽测量为例题，结合影长法、构造相似模型等原理总结，搭建从性质到实际应用的学习支架。 其亮点在于以古代案例与生活实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题中的相似关系，通过推理证明和“X”“A”型模型构建发展数学思维，以比例式和解题步骤总结强化数学语言。采用问题驱动与对应训练，帮助学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

相似三角形的应用1 图形的相似 22 华东师大版·九年级数学上册 1 ① 会应用相似三角形的有关性质，测量简单的 物体的高度或宽度. ② 自己设计方案测量高度，体会相似三角形在 解决实际问题中的广泛应用. 学习目标 古时候，没有精确的测量仪器，怎么才能测量这些物体的高度？ 新课导入 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图，为了测量金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的 木棒 O′B′，比较木棒的影长 A′B′ 与金字塔的影长 AB，即 可近似算出金字塔的高度 OB．如果 O′B′ = 1 m，A′B′ = 2 m，AB = 274 m，求金字塔的高度 OB . 例 6 金字塔的影长是哪一部分 △OAB与△O′A′B′ 之间有什么关系 探索新知 解 ∵ 太阳光线是平行光线， ∴ ∠OAB = ∠O′A′B′． ∵ ∠ABO = ∠A′B′O′ = 90°． ∴ △OAB ∽△O′A′B′ (两角分别相等的两个三角形相似)， ∴ ． ∴ OB = ． 答：金字塔的高度 OB 为 137 m. 利用影长测量物体的高度 测量 原理 测量 方法 图示 测量不能直接到达顶部的物体的高度时，常利用太阳光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长成比例)来解决 如图，在同一时刻测量出参照物影长 BC 和被测量物体影长B′C′，再根据参照物的高度 AC 计算出被测量物体的高度 A′C′ △ABC ∽△A′B′C′ 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高.下午课外活动时，她测得长为 1 m 的竹杆的影长是 0.8 m. 但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子 落在教学楼的墙壁上.她先测得留在墙壁上的影高为 1.2 m，又测 得地面的影长为 2.6 m，请你帮她算一下树高. A B D C E A B D C E 解:如图，设 BD 是 BC 在地面的影子，树高为 AE . ∵ 长为 1 m 的竹杆的影长是 0.8 m，BC ＝1.2 m， ∴ 根据竹竿的高与其影子的比值和 BC 与其影子 BD 的比值相同， 得 ，即 ， ∴ BD ＝ 0.96 m， ∴ AD ＝ BD + AB ＝0.96 + 2.6 ＝ 3.56 (m). 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同， 得 ，即 ， ∴AE ＝4.45 (m). 因此，树高是 4.45 m. 例 7 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸 选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选定点 B 和 C ，使 AB ⊥ BC ，然后，再选定点 E，使 EC ⊥ BC，用视线 确定 BC 和 AE 的交点 D . 此时如果测得 BD = 118 m， DC = 61 m，EC = 50 m，求河的宽度 AB .（精确到 0.1 m） 解 ∵∠ADB = ∠EDC， ∠ABD =∠ECD = 90°， ∴△ABD ∽ △ECD (两角分别相等的两个三角形相似)， ∴ ． 解得 AB = ． 答：河的宽度 AB 约为 96.7 m. 求河宽，你还有别的方法吗？ A D B C E ①在河对岸选定一目标点 A； ②再在河的一边选点 D 和 E， 使 DE ⊥ AD； ③然后，再选点 B，作 BC∥DE， 与视线 EA 相交于点 C ； 此时，测得 DE，BC，BD，就可以 求两岸间的大致距离 AB 了. 利用三角形相似测量宽 测量原理 构造相 似三角 形模型 测量数据 相关算式 求 AB 的长，可测量 BD、CD 和 CE 的长 构造相似三角形，利用“相似三角形的对应边成比例”的性质求解 “X”字型 “A”字型 求AB 的长，可测量 BC、CD 和 BD 的长 由△ABD∽△ECD， 得 ，∴AB = 由△ABC∽△ADE， 得 ，代入求值即可 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽. 测量 时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在点 B 竖立标杆 BC， 再在 AB 的延长线上选择点 D，竖立标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 在 一条直线上. 已知 CB ⊥ AD，ED ⊥ AD，若 BC ＝ 1 m，DE ＝ 1.5 m，BD ＝ 8.5 m，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，求河宽 AB. 解: ∵ CB ⊥ AD，ED ⊥ AD，∴ ∠CBA ＝ ∠D ＝ 90°， ∴ BC∥DE. ∴ △ABC∽△ADE. ∴ . ∴ . ∴ AB ＝ 17 m. 答:河宽 AB 为 17 m. 1. 在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比. 在某一时刻，有人测得一高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m， 某一高楼的影长为 60 m，那么这幢高楼的高度是多少米？ 【选自教材第87页 练习 第1题】 解: 设这幢高楼的高度是 x m. 由题意，得 ＝ ，解得 x ＝ 36 . 故这幢高楼的高度是 36 m. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 2. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，BC = 6，梯形 DBCE 的面积是 △ADE 面积的 3 倍. 求 DE 的长. 【选自教材第87页 练习 第2题】 解: ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC. A B C D E ∵ S梯形DBCE = 3S△ADE，∴ . ∴ 相似比 k ＝ ， ∴ DE ＝ BC ＝ ×6 ＝ 3. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 【选自教材第87页 练习 第3题】 3. 如图，停车场的栏杆的短臂长为 1.25 m，长臂长为 16.5 m. 当短臂端点下降 0.85 m 时，长臂端点升高多少米？(栏杆的 宽度忽略不计) 解: 设长臂端点升高 x m. 由题意，得 ＝ ， 故长臂端点升高 11.22 m. ∴ x ＝ 11.22 . 0.85 m 1.25 m 16.5 m ？m 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 解相似三角形实际问题的一般步骤： （1）审题. （2）构建图形. （3）利用相似解决问题. 课堂小结 $