22.1.1成比例线段（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册数学21.3.2《一元二次方程的应用（2）》专项练习（全文1444字） ## 一、知识点梳理 本节重点学习**增长率（降低率）问题**与**传播问题**\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)是一元二次方程应用题高频考点。 ### 1. 增长率模型 设基数为$a$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)平均增长率为$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)经过两次增长后总量为$b$： $$\boldsymbol{a\((1+x)\)^2=b}$$ 若为平均降低率$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次降低： $$\boldsymbol{a(1-x)^2=b}$$ > 注意：公式只适用于**连续两次**增长/下降\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$\(x>0\)$；解出来的负根要舍去。 ### 2. 传播问题（病毒、细胞、微信转发） 一轮传播：1个人传给$x$个人\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)第一轮后共有$\((1+x)\)$人； 第二轮：每个人再传给$x$人\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)新增$x\((1+x)\)$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两轮后总人数： $$\boldsymbol{1+x+x\((1+x)\)=\((1+x)\)^2}$$ 解题通用步骤： ①找准初始量$a$、最终量$b$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)确认增长次数； ②设平均增长率/每轮传播个数为$x$； ③套模型列出一元二次方程； ④解方程； ⑤检验：增长率不能为负数\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)降低率不能大于等于1\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)舍去不符合实际的根； ⑥写出完整答句。 本节高频易错点：①分不清增长次数\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)直接写成$\(a+2ax=b\)$（错误\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)不是简单一次翻倍）；②降低率方程写成$\((1+x)\)^2$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)符号写反；③传播问题\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)总人数容易漏算最初的1个传染源；④算出增长率大于100%不检验\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)直接保留；⑤审题分不清“增长到”和“增长了”；⑥单位、百分比换算出错。 ## 二、基础选择题 1. 某厂今年产值100万\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两年后产值144万\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)年均增长率$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)方程正确的是（） A.$100\((1+x)\)=144$ B.$100\((1+x)\)^2=144$ C.$100+100x^2=144$ D.$\(100(1+2x)=144\)$ 2. 某药品原价每盒25元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次降价后16元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)平均每次降价百分率$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)方程是（） A.$25(1-x)^2=16$ B.$25(1-2x)=16$ C.$16\((1+x)\)^2=25$ D.$25\((1+x)\)^2=16$ 3. 一人感染病毒\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两轮传染后共81人患病\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)每轮一人传染$x$人\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)则（） A.$\(1+x=81\)$ B.$1+x+x^2=81$ C.$\((1+x)\)^2=81$ D.$x^2=81$ 4. 某商店一月利润2万元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)三月利润2.88万元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两个月平均增长率为（） A.$10\%$ B.$20\%$ C.$25\%$ D.$44\%$ 5. 某产品连续两次降价\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)单价由100降到81\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)平均每次降价率（） A.$10\%$ B.$19\%$ C.$9\%$ D.$20\%$ ## 三、填空题 1. 某工厂产量500吨\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)年均增长率$10\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两年后产量为________吨。 2. 初始数量200\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)连续两次增长\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)增长率$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次后总数为________。 3. 两轮传播后共100人患病\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)则每轮1人传染____人。 4. 原价200元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)连续两次降价\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)每次降$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次后价格为________。 5. 某项目两年资金从100万增加到121万\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)年平均增长率为________。 ## 四、解答题 1. 某公司2024年利润为200万元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)2026年利润达到288万元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)如果这两年利润年平均增长率相同\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)求年平均增长率。 2. 某种药品原价每盒64元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)经过两次降价后每盒49元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次降价百分率相同\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)求每次降价的百分率。 3. 有一人患流感\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)经过两轮传染后共有121人患流感。 （1）求每轮传染中平均一个人传染几个人； （2）如果不控制\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)第三轮传染后\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)一共多少人患病？ 4. 拓展探究：某农场第一年植树400棵\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)计划到第三年植树900棵\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)求这两年植树数量的平均增长率。 ## 五、参考答案与解析 ### 选择题 1. B。解析：两年连续增长\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)基数$\(a=100\)$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)公式$a\((1+x)\)^2=b$。 2. A。解析：降价用$(1-x)$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)原价25\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次后16。 3. C。解析：两轮传播总人数$\((1+x)\)^2=81$。 4. B。解析：$2\((1+x)\)^2=2.88$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)解得$x=0.2=20\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)负根舍去。 5. A。解析：$100(1-x)^2=81$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$1-x=0.9$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$x=10\%$。 ### 填空题 1.$605$；解析：$500\times(1+0.1)^2=605$ 2.$200\((1+x)\)^2$ 3.$9$；解析：$\((1+x)\)^2=100\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)x=9$ 4.$200(1-x)^2$ 5.$10\%$；解析：$100\((1+x)\)^2=121\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)x=0.1$ ### 解答题 1. 解：设年平均增长率为$x$。 $200\((1+x)\)^2=288$ $\((1+x)\)^2=1.44$ $1+x=\pm1.2$ $x_1=0.2=20\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$x_2=-2.2$（增长率不能为负\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)舍去） 答：年平均增长率为$20\%$。 2. 解：设每次降价百分率为$x$。 $64(1-x)^2=49$ $(1-x)^2=\dfrac{49}{64}$ $1-x=\pm\dfrac78$ $x_1=\dfrac18=12.5\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$x_2=\dfrac{15}{8}$（大于1\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)舍去） 答：每次降价百分率$12.5\%$。 3. 解：（1）设平均一人传染$x$人 $\((1+x)\)^2=121$ $1+x=\pm11$ $x_1=10\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)x_2=-12$（舍去） 答：每轮平均一人传染10人。 （2）第三轮：$121\times(1+10)=1331$（人） 答：第三轮后一共1331人患病。 4. 解：设平均增长率为$x$ $400\((1+x)\)^2=900$ $\((1+x)\)^2=\dfrac94$ $1+x=\pm\dfrac32$ $x_1=0.5=50\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$x_2=-2.5$舍去。 答：平均增长率$50\%$。 ## 六、易错总结 增长率模型**只适用于两次连续变化**\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)不要理解成简单加法。看清题目是“增长到”还是“增长了”：增长到是最终总量；增长了是增加的部分。降价（降低率）方程是$(1-x)^2$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)很多同学习惯性写成加号\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)直接出错。传播问题\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两轮总人数是$\((1+x)\)^2$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)不要漏掉最初传染源。解出来的根必须检验：增长率$\(x>0\)$；降低率$\(0<x<1\)$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)负数、大于1的根全部舍去。百分数计算\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)最后结果要写成百分之多少。增长率应用题是中考必考题型\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)经常和实际生活结合\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)审题先找初始量、终止量、变化次数。做题不要死套公式\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)理解增长逻辑：每一次的新基数\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)都是上一轮结束后的总量。区分两类模型：增长率看总量变化；传播问题是人传人\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)每一轮新增人数和现有人数相关。答题最后一定要写答句\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)应用题缺少答句会扣分。 （全文1444字） 下一节：**一元二次方程应用——销售利润问题**\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)继续同格式1444字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 22.1.1成比例线段 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第22章 图形的相似 复习回顾 在七年级下册第9章，我们学习了图形的全等。什么是全等的图形呢？ 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例： 这两个图形是全等形吗？有什么不同呢？ 不是。它们形状相同，大小不相同. 新知探究 日常生活中 ,我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形 ,例如下面两张照片 ,右边的照片是由左边的照片放大得来的. 尽管它们大小不同 ,但其整体，包括其中各个花叶，形状完全相同. 相似图形 具有相同形状的图形称为相似图形. 典例分析 相似图形 例1 下列选项中，与图中所给图形相似的是 ( ) D 判断两个图形是否是相似图形，只需要观察形状是否相同，与大小、方向、位置等因素无关。 方法总结 新知探究 由下图中的格点图可知， , . 成比例线段 两个图形是相似图形， 试一试 观察两个图形的形状， 和之间有什么关系？ 思考 两条线段的比就是它们长度的比. 对于给定的四条线段 ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度比，如()，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 归纳总结 成比例线段 归纳总结 此时，也称这四条线段成比例. 知识点1 相似图形 1. 下面几对图形中，相似的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 7 知识点2 两条线段的比 2. 延长线段到点,使得,则 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 3. 某校设有三个校区，杨老师欲从槐北路校区步 行去槐安路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校 区间的实际路程为，当地图上比例尺由 变为 时，地图上两个校区的路程增加了_____ . 120 【点拨】，当比例尺为 时，图 上距离为;当比例尺为 时，图上距离 为， 地图上两 个校区的路程增加了 . 返回 举一反三 9 典例分析 成比例线段 例2 判断下列线段是不是成比例线段. (1)； (2) 解：(1)∵ ＝＝，＝＝， ∴＝， ∴线段是成比例线段． (2) ∵＝＝，＝＝， ∴＝， ∴这四条线段是成比例线段． 新知探究 对于成比例线段，如果＝，那么吗？你能证明这个结论吗？试一试吧. 比例的基本性质 证明：因为＝， 等式两边同时乘 （ 不为 0，） 得 ＝ ， 约分得， . 所以如果＝，那么. 思考 反之成立吗？ 比例的基本性质： 对于成比例线段，如果，那么 如果，那么 归纳总结 比例的基本性质 归纳总结 典例分析 比例的基本性质 例3 已知＝ ，求证：(1) ＝; (2) ＝ (). 证明：（1）∵＝ , 等式两边同时加上1，得 ＋1 ＝＋1, ∴ ＝ . 证明： (2) ∵＝ , ∴ ， 等式两边都减去 ，得， ∴ ， ∴ 由，且＝，知 ，从而. 且，上式两边都除以得 ＝ . 新知探究 黄金分割 如图，已知，试在线段上插入点，使,即. 思考 解：设，由题意，有. 化简，得. 解此方程，得 ，舍去负解，所以. 即所需点P与端点A的距离为. A P B 将一条线段分成两条线段和()，使，我们称为和的比例中项，点为线段的黄金分割点，将线段黄金分割. 归纳总结 黄金分割 归纳总结 A P B 长度为1的线段的黄金分割点，与一个端点的距离大约为0.618. 归纳总结 黄金分割 应用黄金分割的实例： 上海东方明珠 希腊神殿 断臂维纳斯 向日葵 知识点3 成比例线段 4. 下列长度的四组线段中，是成比例线 段的是( ) A A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 返回 举一反三 17 5. 已知线段，，，是成比例线段，， ， ，则 ( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 6. 与 在 网格中的位置如图，且每个小正 方形的边长都是1. （1）求，， 的值. 【解】由题图可知，， ， ，，，，， . 举一反三 19 （2）在，，， ， ， 这六条线段中，哪些线段 是成比例的线段？ ，，，， 是成比例的线段； ，，，， 是成比例的线段； ，，，， 是成比例的线段. 返回 举一反三 20 知识点4 比例的基本性质 7. 已知 ，则下列比例式中一定成立的是 ( ) B A. B. C. D. 8. 已知四条线段,3，,6成比例，则 的值为___. 3 【点拨】 四条线段，3， ，6成比例， ，，解得 . 9. 若，则 的值是_____. 返回 举一反三 21 10. 已知三个数2， ，4.如果再添加一个数，使这四个数成 比例，则添加的数是( ) D A. B. 或 C. ，或 D. ，或 返回 举一反三 22 11. 如图，已知线段 ，按以下步骤 作图：①过点作 ，使 ，连结；②以点 为圆心， A A. B. C. D. 以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以 长 为半径画弧，交于点.若，则 的值为( ) 举一反三 23 【点拨】设，则.在 中， ， .又 ， 的值为 . 返回 举一反三 24 12. 如图，已知舞台长10米，若报幕员从点 出发走到舞 台的黄金分割点处，且 ，则报幕员走了____米 （结果精确到0.1米.参考数据： ）. 3.8 【点拨】 点为的黄金分割点， ， 米， （米）. 返回 举一反三 25 13. 已知非负数，，满足 ，设 ，则 的取值范围是____________. 举一反三 26 谢谢观看 THANKS $