22.3.4 相似三角形的性质 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册 22.4《相似三角形的性质》专项练习 ## 一、知识点梳理 若$\boldsymbol{\triangle ABC \bac\(\boldsymbol{k}\)sim \triangle A'B'C'}$，相似比为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{k}\)}$（$\(\boldsymbol{k}\)=\dfrac{AB}{A'B'}$） 1. **对应角相等，对应边成比例**（基础性质，来自定义） 2. **对应高的比 = 对应中线的比 = 对应角平分线的比 = 相似比$\boldsymbol{\(\boldsymbol{k}\)}$** 3. **周长的比 = 相似比$\boldsymbol{\(\boldsymbol{k}\)}$** $$\dfrac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}}=\(\boldsymbol{k}\)$$ 4. **面积的比 = 相似比的平方$\boldsymbol{\(\boldsymbol{k}\)^2}$** $$\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=\(\boldsymbol{k}\)^2$$ > ✅口诀：**线比=相似比，周长比=相似比；面积比=相似比的平方** > ⚠超级易错：面积比一定要**平方**！很多同学直接把面积比当成相似比。 ## 二、选择题 1. $\triangle ABC \bac\(\boldsymbol{k}\)sim \triangle DEF$，相似比$\(2:3\)$，则周长比为（） A.$\(2:3\)$ B.$\(4:9\)$ C.$\(3:2\)$ D.$\(9:4\)$ 2. 两个相似三角形相似比为$\(1:4\)$，面积比是（） A.$\(1:4\)$ B.$\(1:2\)$ C.$\(1:8\)$ D.$\(1:16\)$ 3. $\triangle ABC\bac\(\boldsymbol{k}\)sim\triangle A'B'C'$，对应高之比$\(3:5\)$，则面积比为（） A.$\(3:5\)$ B.$\(5:3\)$ C.$\(9:25\)$ D.$\(25:9\)$ 4. 两个相似三角形面积比$\(\(\boldsymbol{4:25}\)\)$，它们的相似比是（） A.$\(\(\boldsymbol{4:25}\)\)$ B.$\(\(\boldsymbol{2:5}\)\)$ C.$\(16:625\)$ D.$\(5:2\)$ 5. $\triangle ABC \bac\(\boldsymbol{k}\)sim \triangle MNP$，相似比$\(3:2\)$，下列说法错误的是（） A.对应中线比$\(3:2\)$ B.对应角平分线比$\(3:2\)$ C.周长比$\(3:2\)$ D.面积比$\(3:2\)$ ## 三、填空题 1. 相似三角形对应中线的比等于________。 2. 相似三角形面积的比等于相似比的________。 3. $\triangle ABC \bac\(\boldsymbol{k}\)sim\triangle A'B'C'$，相似比$\(\(\boldsymbol{2:5}\)\)$，周长比=____，面积比=____。 4. 两相似三角形面积比$\(9:16\)$，则对应高的比为________。 5. $\triangle ADE\bac\(\boldsymbol{k}\)sim\triangle ABC$，$\(AD:AB=1:3\)$，$S_{\triangle ADE}=2$，则$S_{\triangle ABC}=$____。 ## 四、解答题 1. 已知$\triangle ABC \bac\(\boldsymbol{k}\)sim \triangle A'B'C'$，相似比$\(\boldsymbol{k}\)=\dfrac23$，$\triangle ABC$周长为$12$，求$\triangle A'B'C'$的周长。 2. $\triangle ABC \bac\(\boldsymbol{k}\)sim \triangle DEF$，相似比$\(\(\boldsymbol{\(3:4\)}\)\)$，$S_{\triangle ABC}=\(\boldsymbol{18}\)$，求$S_{\triangle DEF}$。 3. 如图，$DE\parallel BC$，$\triangle ADE\bac\(\boldsymbol{k}\)sim\triangle ABC$，$AD:DB=\(2:3\)$。 （1）求相似比；（2）求周长比；（3）求面积比。 4. 拓展题：两个相似三角形面积比是$\(25:4\)$，其中小三角形的一条中线长为$2$，求大三角形对应中线长。 ## 五、参考答案与解析 ### 选择题 1.A 解析：周长比=相似比 2.D 解析：面积比$=1^2:4^2=\(1:16\)$ 3.C 解析：高线比\(3:5\)，面积比$3^\(\(\boldsymbol{2:5}\)\)^2=\(9:25\)$ 4.B 解析：面积比开平方，$\sqrt{4}:\sqrt{25}=\(\(\boldsymbol{2:5}\)\)$ 5.D 解析：面积比应为$\(9:4\)$ ### 填空题 1. 相似比 2. 平方 3.$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{2:5}\)\)}$；$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{4:25}\)\)}$ 4.$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{\(3:4\)}\)\)}$ 5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{18}\)}$ 解析：相似比1:3，面积比1:9，$S_{\triangle ABC}=2\times9=\(\boldsymbol{18}\)$ ### 解答题 1.解： $\because \dfrac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}}=\dfrac23$ $\dfrac{12}{C_{\triangle A'B'C'}}=\dfrac23$ $C_{\triangle A'B'C'}=\(\boldsymbol{18}\)$ 答：$\triangle A'B'C'$周长为\(\boldsymbol{18}\)。 2.解： 相似比$\(\(\boldsymbol{\(3:4\)}\)\)$，面积比$\(9:16\)$ $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}}=\dfrac{9}{16}$ $\dfrac{\(\boldsymbol{18}\)}{S_{\triangle DEF}}=\dfrac{9}{16}$ $S_{\triangle DEF}=32$ 答：$\triangle DEF$面积是32。 3.解： $AD:DB=\(2:3\)$，$\(AB=AD+DB=5\)$份 (1)相似比$AD:AB=\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{2:5}\)\)}$ (2)周长比=相似比=$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{2:5}\)\)}$ (3)面积比=$2^\(\(\boldsymbol{2:5}\)\)^2=\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{4:25}\)\)}$ 4.解： 面积比$\(25:4\)$，相似比=$\sqrt{25}:\sqrt{4}=\(5:2\)$ 对应中线比=相似比$=\(5:2\)$ 设大三角形中线长$x$ $\dfrac{x}{2}=\dfrac52$，解得$\(x=5\)$ 答：大三角形对应中线长为5。 --- 下一节是**22.5 相似三角形的应用**，要继续吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 22.3.4相似三角形的性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第22章 图形的相似 新知探究 如图，△与△ 是两个相似三角形，相似比为，能得到哪些结论？ 相似三角形对应线段的比 探索 此时， 你能判断并证明吗？试一试吧. A B C D A′ B′ C′ D′ 分别作△与△ 的高与 ，那么 、 之间有什么关系？ 新知探究 相似三角形对应线段的比 解：在Rt△与Rt△ 中， ， ∴ △△ ∴ A B C D A′ B′ C′ D′ 结论：相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 它们对应边的中线、对应角的平分线是否有类似的关系呢？ 思考 新知探究 已知：如图，△△，相似比为，分别是两个三角形的中线. 求证：. 相似三角形对应线段的比 证明：∵ △△ ∴，∠ ∵ 分别是两个三角形的中线 ∴ A B C E A′ B′ C′ E′ ∴ △△ ∴ 结论：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 对于对应角的平分线的关系，你能证明吗？试一试吧. 相似三角形的性质1： 相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 相似三角形对应角的平分线的比等于相似比. 归纳总结 归纳总结 相似三角形对应线段的比 想一想，相似三角形的面积的比、周长的比与相似比有什么关系呢？ 知识点1 相似三角形对应线段的比 1. [秦皇岛期中] 若两个相似三角形对应中线的比为 ，则 它们对应高的比为( ) A A. B. C. D. 2. 已知，和 分别是两 个三角形对应角的平分线，且.若 ， 则 的长是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 6 3. 如图，一架投影机插入胶片后像可投到屏幕上，已知胶片 与屏幕平行，点为光源，与胶片的距离为 ，胶片的 高为，若需要投影后的像的高为 ，则投 影机光源到屏幕的距离为___ . 6 举一反三 7 【点拨】如图所示，过点作于点，交于点 ， ，，， ，设 ，则，即，解得 ， . 返回 举一反三 8 新知探究 相似三角形的面积的比 解：∵ △△ ∴， ∴ 结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方. A B C D A′ B′ C′ D′ 已知：如图，△△，相似比为，分别是两个三角形的高. 试说明面积的关系. 相似三角形的性质2： 相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 归纳总结 归纳总结 相似三角形的面积的比 相似多边形也有相同的结论吗？ 思路分析：可以将多边形分割成三角形来解决.如图所示. 相似多边形面积比等于相似比的平方. A B C A′ B′ C′ D D′ 新知探究 相似三角形的周长的比 解：∵ △△ ∴， ∴， ∴ ＝＝k. 结论：相似三角形的周长的比等于相似比. A B C A′ B′ C′ 已知：如图，△△，相似比为. 试说明周长的关系. 相似三角形的性质3： 相似三角形的周长的比等于相似比. 归纳总结 归纳总结 相似三角形的周长的比 类似的，相似多边形周长比等于相似比. 典例分析 例1 如图，在和中，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积． 解：在和中， ∵， ∴ 又∵， ∴，相似比为, 的周长与的周长的比是， 相似三角形的性质的应用 A B C D E F ∴ 的周长为12. ∴ ， ∴ 知识点2 相似三角形周长的比 4. 两个相似三角形的最长边分别是和 ，并且它们 的周长之和为 ，那么较小三角形的周长是( ) B A. B. C. D. 举一反三 14 【点拨】方法1：设较小三角形的周长为 ，则较大三角 形的周长为 .易知两个相似三角形的相似比为 ,解得 较小三角形的周长为 .方法2：易知两个相似三角形的相似比为 . 设较小三角形的周长为 ，则较大三角形的周长为 , ,解得, ,即较小三角形的 周长为 . 返回 举一反三 15 （第5题） 5. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格 中，，，，四个点均在格点上，与 相交于点，连结，，则与 的周长比为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 16 知识点3 相似三角形面积的比 （第6题） 6. 如图，在平行四边形中， 为 的中点，延长至点 ，使 ，连结交于点 ， 则 等于( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 17 7. [杭州西湖区期末] 如图，在 中， 点，，分别在边，， 上， 连结，.已知四边形 是平行 四边形， . （1）若，求线段 的长； 【解】由题意易得， . .,,. . 举一反三 18 （2）若的面积为2，求平行四边形 的面积. 举一反三 19 ， . 又的面积为2， 的面积是32. 四边形 是平行四边形， ,.由（1）知, . ， . 的面积是18. 平行四边形的面积 . 举一反三 解题支架 返回 举一反三 21 （第8题） 8. 如图，在 中，直尺的一边 与重合，另一边分别交， 于点，.其中点，，， 处 的读数分别为8，16，， ， 已知直尺宽为3，则中 边 上的高为( ) D A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 返回 举一反三 22 （第9题） 9. 如图， 是面积 为1的等边三角形，分别取，， 的中 点得到；再分别取， ， 的中点得到； ，依此类推， 则 的面积为( ) C A. B. C. D. 举一反三 23 （第9题） 【点拨】点，，分别为等边 的 边,, 的中点， ， ，相似比为. 的 面积为1，的面积 ， 同理，的面积， ,则 的面积 . 返回 举一反三 24 （第10题） 10. 如图，在中， ， ，的平分线交于点 ,交 的延长线于点,,垂足为 , ，则 的周长为( ) A A. 8 B. 9.5 C. 10 D. 11.5 举一反三 25 课堂小结 性质1 相似三角形性质 对应高，中线，角平分线的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方； 性质2 性质3 相似三角形周长的比等于相似比. 谢谢观看 THANKS $