22.3 相似三角形（第6课时 相似三角形的应用2）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，涵盖线段乘积关系证明、中位线证相似比及重心推导。通过复习相似三角形测量应用（高度、宽度，构造“A”“X”字形）导入，搭建从实际应用到逻辑证明的学习支架。 其亮点在于以典型例题（如直角三角形高证CD²=AD·BD）培养推理能力，结合中位线与重心探究发展几何直观，分层随堂练习强化应用意识。学生能提升逻辑推理与知识应用能力，教师可借助清晰知识脉络与分层资源优化教学。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第22章 图形的相似 22.3 相似三角形 第6课时 相似三角形的应用2 章节导读 22.1成比例线段 22.2相似图形 相似三角形的判定2.3 相似三角形 图形的变换与坐标 成比例线段 相似三角形的判定1 22.3相似三角形 相似图形 相似三角形的性质 相似三角形的应用 位似图形 22.4位似图形 22.5图形与坐标 平行线分线段成比例 用坐标确定位置 2 学 习 目 标 1 2 3 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系； 利用三角形中位线证相似比； 了解重心的推导过程. 复习回顾 相似三角形的应用有哪些？ ①利用相似三角形测量高度； ②利用相似三角形测量宽度； 构造“A”字形： 构造“X”字形： 新知探究 如图，在中，，为边上的高. 求证: 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系 分析：对于，可拆分为比例形式，利用相似三角形对应边成比例，只需找到对应的两个三角形即可求解. 探索 A B C D 新知探究 如图，在中，，为边上的高. 求证: 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系 探索 A B C D 你还能找出其他类似的结论吗？ 新知探究 如图，在中，，为边上的高. 求证: 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系 探索 A B C D 分析：根据题意，还可以证明，. 利用相似三角形，可以证明几条线段之间的乘积关系. 典例分析 例1 如图，点分别在的边上，且，. 求证：＝ . 解：∵， ∴四边形是平行四边形． ∴. ∵， ∴. ∴＝ . ∴＝ . 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系 新知探究 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 三角形中位线的应用 回顾 试一试 如图，在中，分别是边的中点，相交于点. 求证:＝ = . A B C D E G 分析：根据题意，构造中位线，利用三角形中位线定理+相似三角形求解. 新知探究 三角形中位线的应用 试一试 如图，在中，分别是边的中点，相交于点.求证:＝ = . A B C D E G 证明：如图，连结. ∵分别是边的中点， ∴ ， = (三角形的中位线定理). ∴. ∴ = = = . ∴＝ = . 拓展探究 三角形的重心 如果在上图所示的中取边的中点，假设与相交于点. A B C D G E A C D F B 同理可得 = ，所以 = =，即两图中的点与点是重合的. 11 三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 归纳总结 归纳总结 三角形的重心 数学上的“重心”与物理上的“重心”是一致的. 典例分析 例2 如图，在中，，是三角形的重心，，过点的直线，求的长． 三角形的重心 G C M N A B 解：连结并延长，与交于点H. ∵点是的重心， ∴，点为的中点． ∵，且， ∴.（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴. H 随堂练习 1.如图，在中，已知，是的平分线，求证:. 基础过关(P89) 证明：∵， ∴ ， ∵ 是的平分线， ∴ ， 又， ∴. ∴ = . ∴ . A B C D 14 随堂练习 2.如图，已知正方形内接于Rt，在斜边上，试证明：(1) ＝ ；(2). 基础过关(P89) 证明 :(1)∵ ∴. ∴ = . ∴ ＝ . D E F G A B C 随堂练习 2.如图，已知正方形内接于Rt，在斜边上，试证明：(1) ＝ ；(2). 基础过关(P89) (2)∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ = . ∵ ∴ = . ∴ D E F G A B C 随堂练习 能力提升 A 3.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成， 在小正方形的顶点上，则△的重心是(　　) A．点D B．点E C．点F D．点G 随堂练习 能力提升 4.如图，点为的重心，连结并延长分别交于点，连结，若，则的长度为(　　) A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4 A 解析：三角形的重心是三条中线的交点， ∴ 是△的中线， ∴ 是中点，是中点。 是△的中位线，中位线性质： 已知 随堂练习 能力提升 5.如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知. (1)求证：；(2)求的周长． 解：（1）证明：∵平分， ∴. ∵， ∴. 在和中， ∴(A.S.A.)， ∴. 19 随堂练习 能力提升 5.如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知. (1)求证：；(2)求的周长． （2）解：∵， ∴ ∵，是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为 20 课堂小结 证明线段乘积关系 相似三角形的应用2 中位线 利用中位线证相似比 重心 三角形三条边上的中线交于一点 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $