28.1 成比例的线段（第1课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.1 成比例的线段 （第1课时）比例线段与黄金分割 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 怎样比较两条线段的长度？ 问题 两条彩带分别长 cm和 m，它们的长度之比是多少？ 换算 把长度统一为cm：与。 结果 ，比值为。 新知讲授 从比到比值 回顾 我们已经知道，两个数或两个量与（）相除，叫作与的比，记作（或表示为），与的商叫作比值。 转化 如果的值等于，那么。 新知讲授 两条线段的比 定义 两条线段的长度的比叫作两条线段的比。 度量 求两条线段的比时，对这两条线段 一定要用同一长度单位来度量。 取值 因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值总是正数。 新知讲授 同单位、同顺序 单位相同 用cm量：。 用m量：。 统一单位后，比值不变。 顺序相反 甲比乙：。 乙比甲：。 互换前后项，得到倒数。 线段的比没有长度单位，但求比前必须统一长度单位。 新知讲授 四条线段成比例 定义 对于四条线段、、、，如果（或表示为），就说、、、成比例。 识别 按给定顺序比较与。 示例 ，因此成比例。 新知辨析 辨析 顺序会改变结论吗？ 长度为的四条线段按不同顺序排列。比较与，再比较与。 答：前一组相等；后一组不相等。 解 。 ，。 方法：先固定顺序，再比较两个比值。 注意：同样四个数不能任意排成比例。 新知讲授 比例的性质：交叉乘积 前提 一般地，比例有以下性质（假设式中出现的分母均不为零）： 性质（1） 如果，那么； 理解 同乘，可由分式关系得到乘积关系。 新知讲授 比例的性质：分子加减分母 性质（2） 如果，那么； 性质（3） 如果，那么； 理解 两边同时加或减，分母保持不变。 新知讲授 比例的性质：合比 性质（4） 如果，那么。 条件 式中出现的分母都不能为零。 理解 等比时，分子相加、分母相加，仍为同一比值。 新知讲授 说明性质（4）为什么成立 已知，且式中分母均不为零。说明。 答：结论成立。 解 由已知，得，。 。 两边除以，得所证结论。 方法：把同一个比值设为k，再把分子表示出来。 注意：使用合比时仍要检查新分母。 新知讲授 比例中项 定义 如果三条线段、、满足， 那么线段叫作线段、的比例中项。 关系 可化为。 长度 因为，所以。 新知讲授 比例中项与算术平均数 比例中项 满足。 、时，。 。 算术平均数 满足。 与的平均数为。 一般不满足比例中项关系。 比例中项由乘积确定，不能把“中项”理解为取平均。 例题讲解 例 1 如图，已知：。求证：（1）；（2）。 答：（1）成立。 由已知，两边同时加。 。 由，得结论。 方法：分母是后半段时，分子加上该分母。 注意：这里只用比例性质，不把平行当作已知。 例题讲解 例 1 如图，已知：。求证：（1）；（2）。 答：（2）成立。 取倒数，得。 两边加，得。 所以。 方法：目标分母换成前半段，先把原比例取倒数。 注意：各条线段均为正，取倒数有意义。 例题讲解 变式 例 1 如图，分别在线段上，，，。求。 答：，。 前一段占全长的。 。 。 方法：先把两段之比换成部分与全长之比。 注意：2∶3不能直接当作前一段与全长的比。 问题探究 一条线段怎样特殊地分割？ 问题：在线段上找点，使。 设未知数：设，，则。 长度限制：。 问题探究 由比例建立方程 已知，在线段上求点，使。设，列出关于的方程。 答：。 ，故。 交叉相乘，得。 移项，得。 方法：把三条相关线段都用l和x表示。 注意：PB是剩余部分，等于l－x。 问题探究 取符合线段意义的解 已知，在线段上求点，使。由求。 答：。 解方程得。 因，舍去负根。 ，点在线段内。 方法：解方程后用长度范围筛选根。 注意：线段长不能取负值。 新知讲授 黄金分割与黄金分割点 定义：上面的点将线段分割成两段，其中较长一段（）为较短一段（）和线段的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点叫作线段的黄金分割点。 对应：较长，较短；。 新知讲授 黄金数 定义 分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作黄金数，它是一个无理数，近似值通常取为。 计算 较长段＝黄金数×全长。 剩余 较短段＝全长－较长段。 新知辨析 辨析 谁是比例中项？ 点将线段黄金分割，。判断与哪一个正确。 答：只有正确。 定义中的比例中项是较长段。 ，交叉相乘即可。 方法：先标出全长、较长段、较短段三个角色。 注意：较短段不是全长与较长段的比例中项。 课堂练习 练习1 已知线段 cm， cm。求线段和的比例中项。 答： cm。 解 由比例中项，得。 因为，所以。 方法：先求两条线段长度的积，再开平方。 注意：写出正根，并保留长度单位。 课堂练习 练习2 如图，已知：是的两条高。求证：。 答：所证比例成立。 。 。 故，整理得结论。 方法：同一三角形选两组底和对应高表示面积。 注意：BC对应AD，AC对应BE，不能错配。 课堂练习 练习3 如果线段的长为 cm，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是____cm，较短线段的长是____cm。 答： cm； cm。 。 。 方法：先用黄金数求较长段，再作差求较短段。 注意：题目已指定MP为较长段。 归纳整理 三类长度关系怎样区分？ 成比例与比例中项 四条线段：比较两个比值。 三条线段：中项平方等于两端之积。 都先统一长度单位。 黄金分割 同一线段分成较长、较短两段。 较长段是较短段与全长的比例中项。 较长段约占全长的。 “两个比相等”是共同主线；每一种关系的线段角色要分清。 课堂总结 成比例的线段 线段的比 统一长度单位 比值为正、顺序固定 比例性质 交叉相乘与加减1 等比时可以合比 比例中项 线段长度只取正根 黄金分割 较长段作比例中项 黄金数约为 特别提醒：较长段与全长之比是黄金数，不能把两段之比倒置。 针对训练 训练1 选择题 线段 m， cm，则等于（　　）。 A. B. C. D. 答：B。 解 m＝ cm。 。 方法：先统一单位，再约成最简整数比。 注意：不能直接把0.8与20相除。 针对训练 训练2 填空与计算 求未知量；若表示线段长度，均取正值。 （1） 。 （2） cm， cm，求比例中项。 解第（1）题 。 ，得。 解第（2）题 cm。 ，取正根。 方法：一般比例交叉相乘，比例中项先平方。 注意：比例中项不是两端长度的平均数。 针对训练 训练3 判断与纠错 （1）线段比值可以为。 × 非零线段的长度都是正数。 （2）可推出。 √ 交叉乘积均为。 （3）必有。 × 合比仍为原比值，不乘2。 方法：逐项核对前提与结论。 注意：图形看起来相像不能代替条件。 方法总结 求比与识别比例 方法1　计算线段的比 ① 先把长度统一到同一单位。 ② 严格按题目先后顺序相除。 方法2　识别两类比例 ① 普通比例用交叉乘积。 ② 比例中项用并取正根。 针对训练 训练4 用比例性质求值 已知，求及。 答：；。 解 。 。 方法：把复合分子拆成两个比值。 注意：b－a的顺序决定结果是1减去原比值。 针对训练 训练5 等比合比 已知，且。求。 答：。 解 合比得。 。 方法：两个比相等时，把分子和与分母和对应。 注意：合比的前提是两个原比值相等。 针对训练 训练6 分段条件求全长 点在线段上，， cm。求。 答： cm； cm。 一份为 cm。 cm。 cm。 方法：用已知部分求一份，再求其他部分。 注意：AB由AD与DB相加得到。 方法总结 比例变形与分段计算 方法1　处理复合分子 ① 分母不变时，把分子拆开。 ② 认清加1、减1或1减原比值。 方法2　处理整段与部分 ① 先写出整段＝两部分之和。 ② 份数相加后再求部分占全长的比。 针对训练 训练7 错解诊断 已知两条线段长分别为 cm和 cm，小明说比例中项为 cm。指出错误并求正确结果。 答：应为 cm。 解 是算术平均数。 比例中项满足。 由得。 方法：用定义检验候选答案的平方。 注意：不要把“中项”误读成长度的平均。 针对训练 训练8 由面积证明比例 在中，是两条高，，，。求。 答：。 两种面积表达给出。 ，得。 方法：同一个面积用两组底高表达。 注意：底BC对应高AD，底AC对应高BE。 针对训练 训练9 黄金分割的反向计算 点是线段的黄金分割点，，且 cm。求的精确长度。 答： cm。 。 。 方法：把“较长段÷全长＝黄金数”反向求解。 注意：本题求精确值，不先用0.618近似。 方法总结 从定义建立等式 方法1　比例中项与面积 ① 比例中项先写平方等式。 ② 两条高问题先写同一个三角形的面积。 方法2　黄金分割的逆运算 ① 明确哪段较长，再写黄金比。 ② 求全长时除以黄金数，并按要求保留精确值。 针对训练 训练10 证明分段比例的变形 点分别在线段上，。求证：。 答：结论成立。 。 。 已知比值相等，故两式相等。 方法：把剩余部分写成全长减已知部分。 注意：无需添加平行条件。 针对训练 训练11 应用题：图纸上的步道 一条步道在图纸上长 cm，图纸上 cm表示实际 m。按同一比例绘制，步道的实际长度是多少米？ 图上 cm 图上 cm 对应实际 m 答： m。 设实际长为 m。 。 解得。 方法：图上长度互相比，实际长度按同序相比。 注意：若写图上与实际的比，须先统一单位。 针对训练 训练12 应用题：黄金分割装饰条 一根长 cm的装饰条按黄金分割分成两段。用黄金数的近似值计算较长段和较短段的长度。 答：较长段约 cm， 较短段约 cm。 较长段约为 cm。 较短段约为 cm。 方法：以整根长度乘黄金数，先求较长段。 注意：使用近似黄金数，结果须写“约”。 方法总结 比例证明与实际应用 方法1　把结论向已知转化 ① 剩余部分的比可写成1减原比。 ② 同一式子两边作相同运算。 方法2　建立实际长度对应 ① 先标清图上量与实际量。 ② 黄金分割应用先分清长段、短段与全长。 $