28.2 相似三角形（第4课时）课件2026-2027学年数学沪教版五四制九年级上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 （第4课时）直角三角形的相似判定 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 直角三角形能否少测一条边 两个直角三角形，斜边分别为，一组直角边分别为。不测另一组直角边，能否判定相似？ 答：能够；斜边与一组直角边的比均为。 两个三角形都有直角。 本课研究这种特殊的两组边条件。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 直角三角形的相似判定 定理 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 条件 必须先确认两个三角形都是直角三角形。 新知讲授 把两组边放到正确位置 直角：。 边比：。 结论：。 对应：斜边对应斜边，直角顶点对应直角顶点。 例题讲解 判定证明：把比例统一记为k 在和中，，。求证：。 答：设公共比为。 令。 则，。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 判定证明：用勾股定理补第三边 在和中，，。求证：。 答：。 。 代入得。 括号内等于。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 判定证明：回到三边判定 在和中，，。求证：。 答：。 边长与均正，故。 现在三组对应边比都等于。 由三边对应成比例判定相似。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 即时练习：辨认斜边和直角边 ，。证明。 答：。 是斜边。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 相似后再求未测的边 ，。求。 答：。 。 相似比为，故。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 辨析 辨析：条件的三个关口 （1）两个三角形都直角，任意两边的比相等即可按本定理判断。 × 所用两组必须是一组斜边与一组直角边。 （2）斜边比等于某组直角边比，可以判定相似。 √ 前提是两个三角形都为直角三角形。 （3）只有一组直角边相等，就能判定相似。 × 还缺少足够的边比或角条件。 方法：逐条核对判定所需的全部条件。 注意：不能由图形外观代替已知条件。 例题讲解 辨析 辨析：同名边不一定对应 ，，。写出正确的相似顺序。 答：。 短直角边对应。 长直角边对应。 所以。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 直角三角形的三种便捷入口 一个锐角 结合一组直角，使用两角判定。 两条直角边 两边成比例且夹角为直角，使用两边及夹角。 斜边和直角边 两组对应边成比例，使用本课定理。 选择 看已知信息决定方法，不必先求出所有角或边。 课堂活动 活动：为相同结论选择不同证据 两个直角三角形中：（1）一个锐角对应相等；（2）两条直角边对应成比例。分别说明为什么相似。 答：（1）两角判定；（2）两边及夹角判定。 （1）直角与已知锐角形成两组等角。 （2）两组比例边的夹角都是。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 5 如图，已知：在与中，，，，，垂足分别为，且。求证：。 答：。 由已知比例交叉相乘。 把两条高放一组，两条斜边放一组。 方法：优先查看垂足附近的两个直角三角形。 注意：BC是小直角三角形BDC的斜边。 例题讲解 例 5 如图，已知：在与中，，，，，垂足分别为，且。求证：。 答：。 两组三角形均在垂足处为直角。 斜边与直角边成比例。 所以。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 5 如图，已知：在与中，，，，，垂足分别为，且。求证：。 答：。 由等腰条件，，。 故。 又，两顶角相等。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 5 如图，已知：在与中，，，，，垂足分别为，且。求证：。 答：。 。 结合顶角相等，。 对应边成比例，得到所证等式。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 变式 例 5 在例5的全部条件下，。求。 答：。 已证。 ，解得。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 5 例5先得到。为什么还要使用与？ 答：等腰条件把一组底角相等转为顶角相等。 仅有不足以比较与。 等腰给出。 另一三角形同理，从而得到第二组相似。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 示例：从高附近的小三角形入手 在两个三角形中，，垂足在对应底边内部，且。能先得到哪一组角相等？ 答：。 均为直角三角形。 斜边与一条直角边对应成比例，所以相似。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习1 如图，已知：在与中，，，，垂足分别为，且。求证：。 答：。 两个小三角形的斜边为。 已知斜边与直角边对应成比例。 所以。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习1 如图，已知：在与中，，，，垂足分别为，且。求证：。 答：。 原三角形的。 由上一组相似，。 由两角判定，原三角形相似。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：在与中，，，垂足分别为，且。求证：。 答：，故。 两小三角形在处为直角。 。 用斜边与一条直角边成比例判定。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：在与中，，，垂足分别为，且。求证：。 答：，故。 两小三角形在处为直角。 。 再次用斜边与直角边的比例判定。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：在与中，，，垂足分别为，且。求证：。 答：。 已得和。 原三角形虽不一定直角，仍可由两角判定相似。 方法：直角判定用于局部，两角判定用于整体。 注意：原三角形不一定在A处为直角。 新知讲授 局部相似如何传递到整体 寻找局部：垂线把一般三角形分成直角三角形。 取得角度：先用斜边与直角边的比例获得底角相等。 回到整体：原图有直角时再找一个等角；一般三角形需两组等角。 注意：不能未经证明就把“高的比例”当作结论使用。 课堂总结 直角三角形 相似判定 适用前提 两个三角形均为直角三角形 先标直角，再找斜边 核心条件 斜边和一条直角边 按同一方向写对应比例 证明依据 勾股定理补第三边的比例 转化为三边判定 应用路线 高附近的小三角形先相似 对应角连接原三角形 特别提醒：斜边对应斜边；局部直角不等于原三角形直角。 针对训练 训练1 选择：谁是斜边 中，中。用本课定理时，应先比较哪两条斜边？ 答：与。 斜边都在直角的对面。 不能只按字母习惯把AB当作斜边。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练2 判断与纠错 （1）有一个直角的两个三角形一定相似。 × 还须角度或边比条件。 （2）斜边和一组直角边分别成同一比例，可判定直角三角形相似。 √ 符合本课定理。 （3）直角三角形斜边一定对应斜边。 √ 直角顶点对应，故对边也对应。 方法：逐条核对判定所需的全部条件。 注意：不能由图形外观代替已知条件。 针对训练 训练3 计算：补出斜边 ，。若，求。 答：。 。 ，得。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 先标直角再列比例 方法1　斜边定位 ① 斜边是直角的对边。 ② 不同图形中斜边的字母可能不同。 方法2　比例方向 ① 分子统一来自第一个三角形。 ② 斜边比与直角边比须相等。 针对训练 训练4 判定：没有角度数据 ，。判断是否相似并说明依据。 答：。 。 斜边和一条直角边对应成比例。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练5 计算：求另一条直角边 ，。求。 答：。 。 两三角形相似，比为，故。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练6 纠错：换一组对应直角边 ，，。小明说，所以不相似。纠正他的判断。 答：相似，应配，。 。 正确顺序为。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 求边与重新配对 方法1　先判再算 ① 已知足够时先判定相似。 ② 可先用勾股定理求一个未知边。 方法2　长短边配对 ① 斜边配斜边是第一步。 ② 直角边也应按相同长短配对。 针对训练 训练7 证明：高附近的局部相似 ，垂足均在边内，。证明。 答：两角相等。 。 对应角。 由垂足在边内，可改写为原三角形的底角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练8 补充条件：回到整体 ，为斜边上的高，且。补充高的比例，使原三角形相似。 答：。 小直角三角形ABD先由斜边、直角边比例相似。 获得底角相等，再结合原图的直角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练9 综合：比较一般三角形 两个三角形的底边内高分别为，两组邻边分别为和。判断两三角形是否相似。 答：相似。 。 高两侧的直角三角形分别相似。 得到原三角形两组底角相等。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 由局部走向整体 方法1　使用高产生直角 ① 把目标拆成高两侧的小三角形。 ② 明确小三角形的斜边是哪条。 方法2　把等角带回原图 ① 先证明小三角形相似获得底角。 ② 再核对整体是否已有另一组等角。 针对训练 训练10 开放题：设计相似的直角三角形 一个直角三角形的斜边为，一条直角边为。设计一个与它相似、相似比为的大直角三角形，写出三边长。 答：。 原来的另一条直角边为。 三条边分别乘，得到。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练11 应用：三角玻璃面板 两块直角三角形玻璃，第一块斜边厘米、一条直角边厘米；第二块对应斜边厘米、对应直角边厘米。证明形状相同，并求第二块另一条直角边。 答：两块相似；另一条直角边为厘米。 ，可判定相似。 第一块另一条边。 第二块对应边。 方法：先用斜边与直角边比核对形状。 注意：求的是另一条直角边，不能把它当作斜边。 针对训练 训练12 应用：等腰屋架的模型 等腰三角屋架与模型均从一个底角顶点向对侧腰作垂线。模型腰长厘米，垂线长厘米；实物相应垂线长厘米，且两图的“垂线长与底边长之比”相等。求实物腰长。 答：厘米，即米。 由例5的两次相似，腰长比等于垂线长比。 实物腰长厘米，即米。 方法：用例5的两次相似连接腰长与垂线。 注意：先统一为厘米，最后换算为米。 方法总结 把比例用于制作与测量 方法1　核验形状 ① 先说明两个图形都是直角三角形。 ② 斜边比与直角边比核对一致。 方法2　跨图形传递 ① 局部相似先给出角的对应。 ② 结合等腰或直角条件再证明目标三角形相似。 $