28.2 相似三角形（第2课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 （第2课时）两边及夹角、三边判定 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 两条边按同一倍数放大够吗 两根木条长分别为，另两根分别为。连接成两个三角形时，还应控制什么，才能保证相似？ 答：应使两条已知边的夹角相等。 两组边的比都为。 两边之间的开口仍可能改变。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 两边及夹角判定 定理 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 关键 比例中的两条边必须组成所用的夹角。 新知讲授 把文字翻译为数学条件 边：。 角：，两角分别夹在这两组边之间。 结论：。 例题讲解 判定证明：截取一个全等三角形 在和中，，。求证：。 答：先构造。 不妨设。 取，作。 由预备定理，。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 判定证明：把比例转成相等 在和中，，。求证：。 答：。 由已知比例和，得。 两边及夹角对应相等，用SAS判定全等。 再由预备定理与传递性得到相似。 方法：以预备定理连接相似，以全等判定建立桥梁。 注意：若AB与A₁B₁相等，可直接用SAS证明全等。 例题讲解 即时练习：核对夹角 ，且。证明。 答：。 。 都是两组比例边的夹角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 辨析 辨析：必须是夹角 （1）两边对应成比例就能判定相似。 × 还需夹角相等。 （2）公共角可以作为比例边的夹角。 √ 公共角两边须正是那两组边。 （3）两边对应成比例且一角相等，一定相似。 × 所给角可能不是夹角。 方法：逐条核对判定所需的全部条件。 注意：不能由图形外观代替已知条件。 例题讲解 例 1 如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，。求证：与是相似三角形。 答：。 ，。 对应为，。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 1 如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，。求证：与是相似三角形。 答：。 ，为对顶角。 两组边成比例且夹角相等，故相似。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 1 如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，。求证：与是相似三角形。图中还有其他的相似三角形吗？如果有，请用符号将它们表示出来。 答：。 。 ，也是对顶角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 变式 例 1 交于，。若，求。 答：。 按顺序，。 ，得。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 三边判定 定理 三边对应成比例的两个三角形相似。 选择 已知三组边长时，可直接比较三个比值。 排序 没有对应顺序时，可按短、中、长排列后配对。 例题讲解 三边判定的证明思路 已知。说明如何证明。 答：仍可用“截取—全等—传递”。 取，过作。 预备定理使、。 SSS判定全等，再利用相似传递性。 方法：对应边不等长时，在较大三角形中截取。 注意：对应边相等时，由SSS直接证明全等。 例题讲解 三边检验：三个比值都相等 两个三角形边长分别为和。判断是否相似，并求小三角形与大三角形的相似比。 答：相似；相似比为。 按长短配对三个对应边。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 三边检验：一个比值不同 两个三角形边长分别为和。它们相似吗？ 答：不相似。 前两个比值均为。 ，三边不成比例。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 2 如图，已知：分别是的边的中点。求证：。 答：。 都是中位线。 各中位线等于其平行边的一半。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 2 如图，已知：分别是的边的中点。求证：。 答：。 ，，。 三边对应成比例，故相似。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 例 2 如图，已知：分别是的边的中点。求证：。试给出另一种证明。 答：可用两角判定。 ，，。 由平行线得，。 故。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 变式 例 2 依次是的中点，。求。 答：。 中位线各为对应原边的一半。 按求值。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 怎样选用三个判定 角信息多 找两组对应角相等。 两组边信息 先算两个比值，再核对夹角。 三组边信息 按同一顺序计算三个对应边比。 共同要求 先确定对应关系，再下结论。 例题讲解 反例：相同两边与非夹角 在与中，，，。这两个三角形一定相似吗？ 答：不一定；第三边可能为两个不同长度。 同一射线与以为圆心的圆可有两个交点。 两个三角形的两条已知边比为1，第三边却不相等。 方法：非夹角不能排除另一种三角形。 注意：判定不成立，要用满足条件的反例说明。 课堂练习 练习1 如图，已知：在与中，，。求证：。 答：先证。 。 。 相等角加上公共部分，和仍相等。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习1 如图，已知：在与中，，。求证：。 答：。 已知。 又，两边及夹角对应。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，每个小方格的边长为个单位长度，和的顶点都在格点位置。试判断这两个三角形是否相似，并说明理由。 答：，，；，，。 斜边长由横、纵格数的平方和求出。 例如。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，每个小方格的边长为个单位长度，和的顶点都在格点位置。试判断这两个三角形是否相似，并说明理由。 答：。 按短、中、长比，。 由三边对应成比例判定相似。 对应为。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂总结 三角形相似 判定选择 两角判定 找两组等角 公共角、对顶角常见 两边及夹角 两组边对应成比例 角必须是两边的夹角 三边判定 三个对应边比相等 无顺序时先按长短配对 求边与证明 中位线提供一半关系 格点边长用勾股定理 特别提醒：“两边及一角”不能替代“两边及夹角”。 针对训练 训练1 选择：判定名称 且，可直接由哪种条件判定？ 答：两边对应成比例且夹角相等。 夹在之间。 夹在之间。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练2 判断与纠错 （1）三边对应成比例可判定相似。 √ 符合三边判定。 （2）两边比相等时，任一等角都可使用。 × 必须核对夹角。 （3）边长3、4、6与6、8、12的三角形相似。 √ 三个比值均为1/2。 方法：逐条核对判定所需的全部条件。 注意：不能由图形外观代替已知条件。 针对训练 训练3 填空：确定第三条边 两个三角形的三边按对应顺序为和。若两三角形相似，求。 答：。 共同边比为。 ，得。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 判定条件的完整性 方法1　夹角核对 ① 找两组比例边的公共顶点。 ② 角的顶点及两边都要匹配。 方法2　三边核对 ① 先排清短边、中边、长边。 ② 三个比值必须全部相等。 针对训练 训练4 计算：交叉图形 交于，。证明，并求相似比。 答：相似；。 。 对顶角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练5 证明：公共角与两组边 ，。证明。 答：。 。 是公共角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练6 纠错：比例方向不一致 ，。小明用证明相似。改正他的比例式。 答：应为。 分子统一取第一个三角形的边。 第二组比被写成了倒数。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 边比的组织方式 方法1　公共角模型 ① 先锁定公共角的两条射线。 ② 沿两射线分别找整边与部分。 方法2　统一比例方向 ① 分子统一来自同一个三角形。 ② 分母按相同对应顺序排列。 针对训练 训练7 判断：三边能否对应 三角形边长分别为和，是否相似？ 答：不相似。 。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练8 综合：中位线三角形 分别是的中点。若三边为，求对应三边及相似比。 答：对应三边为；相似比。 每条中位线是对应原边的一半。 三组比都等于。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练9 开放题：补充夹角 。补充一个角的条件，保证。 答：。 。 所补的角分别夹在两组比例边之间。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 从数据到几何结论 方法1　数据筛选 ① 先核算给定的比例是否相等。 ② 边长需满足三角形两边和大于第三边。 方法2　补充条件 ① 缺夹角时补指定顶点的角。 ② 不能用无关的一组等角替代。 针对训练 训练10 综合：平方比检验 两三角形三边的平方按从小到大分别为和。判断是否相似。 答：相似；小与大的相似比为。 三个平方比都为。 边长为正，三个边长比均为。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练11 应用：三角支架验收 一块设计支架三边为厘米。另一支架三边为厘米。它们形状相同吗？说明判定依据。 答：形状相同，两个三角形相似。 三个对应边比均为。 由三边对应成比例判定相似。 方法：将三个实测长度按长短一一对应。 注意：只核对两条边还不够。 针对训练 训练12 应用：放样两条测量线 测量图中，两条从同一点引出的线段长为厘米。现场对应长度为米，且两组线段的夹角相等。图上两端点相距厘米，现场两端点相距多少米？ 答：米。 两组长度比一致，且夹角相等。 现场与图上长度对应，米。 方法：先用两边及夹角判定，再求第三边。 注意：厘米与米之间的数量换算要写清。 方法总结 实际图形的相似检验 方法1　实测三边 ① 按短、中、长配对测量值。 ② 比较三个比值后下结论。 方法2　放样夹角 ① 两条长度及其夹角形成SAS条件。 ② 判定后再求未测的对应边。 $