28.2 相似三角形的判定（2）（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理2（SAS）和3（SSS），通过类比全等三角形的SAS、SSS判定，提出“一角相等加夹边成比例”“三边成比例”的猜想，搭建从全等到相似的学习支架，引导学生探究新判定方法。 其亮点是以“猜想-证明-应用”为主线，构造全等证明定理培养推理意识，对比全等与相似的表格强化模型意识，中考题链接提升应用意识。典例结合“A型”“筝型”模型，小结系统梳理判定方法，帮助学生形成逻辑思维，教师可直接用于课堂教学提升效率。

28.2 相似三角形的判定(2) 第二十八章 相似三角形 沪教版九年级上册 学习目标 理解相似三角形定义，掌握对应角相等、对应边成比例，规范书写相似符号，找准对应顶点。掌握相似三角形的传递性，能利用传递性推导多组三角形相似。 一 理解并掌握相似三角形预备定理（平行线判定相似），掌握相似三角形的判定定理1（两角对应相等），分清“A 型”“X 型” 两种基本模型，能用预备定理、判定定理1判定三角形相似。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情境引入 从角到边：新的猜想方向 角角定理只需要两个角相等——那么，如果只知道一个角相等，再加上一些边的条件，是否也能判定相似呢？ 一个角相等 + 夹这个角的两组边对应成比例 → 能否判定相似？ 方向一：SAS猜想 方向二：SSS猜想 不需要角的条件，仅凭三组边对应成比例 → 能否判定相似？ 类比全等三角形的判定方法，我们曾学过 SAS 和 SSS 判定全等——相似是否也有类似的判定定理？ 合作探究 1. 如图 ,在∆ABC 和 ∆A1B1C1中 ∠A=∠A1，= ∆ABC 和 ∆A1B1C1 相似吗？ 【分析】在 AB 上截取AD=A1B1，过点D作平行构造Ａ型相似。 相似三角形的判定定理2 【证明】在 AB 上截取AD=A1B1，过点D作DE//BC，交AC于点E, D E ∴ ∴∆ABC∽△A1B1C1. 定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 由相似三角形的预备定理得，∆ADE∽∆ABC ∵= 且AD=A1B1 ∴AE=A1C1 ∴∆ADE≌∆A1B1C1 构造全等桥梁，借力预备定理 合作探究 2. 如图 ,在∆ABC 和 ∆A1B1C1中，== ∆ABC 和 ∆A1B1C1 相似吗？ 【分析】在 AB 上截取AD=A1B1，过点D作平行构造Ａ型相似。 相似三角形的判定定理3 【证明】在 AB 上截取AD=A1B1，过点D作DE//BC，交AC于点E, D E ∴ ∴∆ABC∽△A1B1C1. 由相似三角形的预备定理得，∆ADE∽∆ABC ∵== 且AD=A1B1 ∴AE=A1C1,DE=B1C1 ∴∆ADE≌∆A1B1C1 定理：三边对应成比例的两个三角形相似。 构造全等桥梁，借力预备定理 归纳总结 角边角与角角边（ASA、SSA） 判定条件：两角及一条边相等 边角边（SAS） 判定条件：两边相等 + 夹角相等 关键特征：角必须是夹角 角角（AA） 判定条件：两角分别相等 边角边（SAS） 判定条件：两边成比例 + 夹角相等 关键特征：角必须是夹角 VS 边角边（SSS） 判定条件：三边相等 边角边（SSS） 判定条件：三边成比例 全等判定 相似判定 典例分析 例1　如图28-2-8,已知：四边形ABCD 的对角 线AC 与 BD 相交于点O,OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2.求证：△OAD 与△OBC 是相似三角形. 【分析】判定两个三角形相似，可以用SAS定理。 相似三角形的判定定理2 【证明】∵OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2, ∴，又∵∠AOD=∠BOC ∴∆AOD∽△BOC. ∴==，= 定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 典例分析 例1　如图,已知：四边形ABCD 的对角 线AC 与 BD 相交于点O,OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2.求证：∆OAD 与∆OBC 是相似三角形. 【分析】判定两个三角形相似，可以用SAS定理。 相似三角形的判定定理2 【证明】∵OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2, ∴，又∵∠AOD=∠BOC ∴∆AOD∽△BOC. ∴==，= 定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 巩固练习 1.　如图，已知：在∆ABC 与∆AED 中=， ∠BAD=∠CAE. 求证：∆ABC∽∆AED. 相似三角形的判定定理2 【证明】∵∠BAD=∠CAE（已知）, 即∠BAC=∠EAD 注意：因为AB的对应边是AE，AC的对应边是AD，所以B、C的对应的分别是E、D。 ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ∵=, ∴∆ABC∽∆EAD 【分析】本题已知了三角形有两组边成比例，要证相似，还要证明夹角相等。 巩固练习 2.　如图，已知：在∆ABC 与∆AED 中=， ∠BAD=∠CAE. (1)∆ABC和∆AED相似吗？ 相似三角形的判定定理2 所以可证三角形相似，但结果是∆ABC∽∆ADE (2)若连接BD、CE，图中还有其他三角形相似吗？ 【分析】本题与第1题相比，AB、AC的对应边交换了位置。 【分析】由已知的比例式，结合∠BAD=∠CAE，还能证明∆BAD∽∆CAE。 一转成双：一组比例两组相似 巩固练习 3.　如图，如图，在∆ABC中，点D、E分别在线段AB、AC上，已知∠ADE=∠ACB,(1)求证：∆ADE∽∆ACB 相似三角形的判定定理2 所以可用角角定理证三角形相似。 (2)若连接BE、CD，能证明∆ADC和∆AEB相似吗？ 【分析】(1)本题已知一组角相等，还有一组公共角相等。 【分析】(2)由结论1可知，结合公共角， 即可证明∆ADC∽∆AEB. A型图→筝型图（一组比例，两组相似） 典例分析 例2　如图，已知： D 、E 、F分别是∆ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点. 求证：∆DEF ∽∆ABC. 相似三角形的判定定理3 【分析】DE、EF、FD是△ABC的中位线，利用中位线的性质，可得△DEF 与△ABC的三边对应成比例. ∴DE、DF、EF是△ABC的中位线， 【证明】∵D、E、F分别是△ABC 的 边BC 、CA、AB的中点， ∴， ∴∆DEF ∽∆ABC 相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。 巩固练习 4.　如图所示，在的正方形方格中，∆ABC和的∆DEF顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．请判断∆ABC和的∆DEF是否相似？并证明你的结论． 相似三角形的判定定理3 【分析】在格点图形中可以计算出三角形各边的大小，用三边成比例就可以判断两个三角形是否相似。 【详解】相似。 证明：通过计算可知AB=2,BC=2,AC=2; DF=,EF=2,ED=, ∴ ∴ ∴∆DEF∽∆ACB 思考：本题可以利用边角边定理来证明吗？ 合作探究 例3　已知：点 D 、E 分别在线段AB 和AC 上 ， ADAB=AEAC，F是 BE 与CD 的交点. 求证：∠FDB= ∠ FEC. 相似三角形的判定的应用 【分析】由条件ADAB=AEAC，可化为 易证∆ABE∽∆ACD A B C D E F 由∆ABE∽∆ACD可得到∠B=∠C,再结合∠DFB=∠EFC易证∆DFB∽∆EFC，即可证得∠FDB=∠FEC. 相似三角形判定的应用 巩固练习 5.　如图，，求证：∠DAB=∠EAC 相似三角形判定的应用 【分析】由三角形三边成比例，可证三角形相似，利用相似三角形对应角相等可证∠DAE=∠BAC,最后利用等式的性质可证得结论。 巩固练习 6.　如图，已知：在∆ABC 中 ，AB=AC=1,∠A=36°, BD平分 ∠ABC 交AC 于点D. (1)求证：∆ABC∽∆BDC; (2)求BC 的长. 相似三角形判定的应用 【分析】等腰三角形ABC中顶角为36︒，则底角为72︒， 因为BD平分∠ABC，所以∆BDC也是顶角为36︒的等腰三角形，即可证得结论(1),同时可证得∆ADB是顶角为108︒的等腰三角形; (2)由结论(1)可证得对应边成比例即=（），设BC=x,则AD=BD=BC=x,CD=1-x,可列方程, 可求得x=. 小结梳理 相似三角形的判定 中考链接 1. （2026·上海·一模改编）如图，四边形是某学校的一块种植实践基地，其中是∆ABC水果园，∆ACD是蔬菜园．已知AB=18，AC=12，CD=8， 求证：∆ABC∽∆CAD 由平行可得∠BAC=∠CAD,根据边角边定理可证。 相似三角形的判定 中考链接 2. （2026·上海·一模改编）如图，四边形中ABCD，E为边AB上一点，∠ECB=∠DCA，，DE、AC交于点F．求证：∠DEC=∠B 用边角边定理证明∆DCE∽∆ACB，即可证得∠DEC=∠B 相似三角形的判定 中考链接 3. （2026·上海·一模）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列四个图中的三角形阴影部分与∆EFG相似的是（ ） 先找含有135的角的图形，排除了C 、D.再用边角边定理可以确定答案选A. 相似三角形的判定 A B C D 作业 习题28.2-28.4 第2、6题 必做题 相似三角形的判定 作业 1.如图，在∆ABC中，点D，点E分别是边AC、AB上的点，EC和BD相交于点O，∠ABD=∠ACE，连接ED． (1)求证：AEAB=ADAC； (2)如果=，求的值． 选做题 (1)证∆ACE∽∆ABD即可. (2)将（1）的结论转化为比例式，可证∆AED∽∆ACB，即可求得= 相似三角形的判定 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $