27.5 二次函数的简单应用（第1课时）2026-2027学年数学沪教版五四制九年级上册

第27章 二次函数 27.5 二次函数的简单应用 （第1课时）实际情境中的二次函数模型 九年级上册　数学（沪教版·五四制） 复习引入 学习目标 建立模型 从运动、面积、销售情境中建立二次函数． 选择方法 结合已知点和数量关系确定表达式． 解释结果 用实际范围筛选根，检验最值并写明单位． 知识讲授 解决应用题的基本过程 读懂情境 确定变量、单位、原点和坐标轴正方向． 列出关系 选一般式、顶点式或两个量的乘积建模． 回到实际 求值、求根或求最值后检查取值范围． 知识讲授 同一表达式，三类问题 求高度或面积 给定自变量，把它代入函数表达式． 求落点或时刻 给定函数值，转化为一元二次方程． 求最优方案 用配方或顶点公式，并检验顶点是否可取． 例题讲解 例1　坐标与铅球轨迹 横纵坐标的意义 是水平距离；是离地高度。 三个已知位置 3 6 9 12 -1 1 2 3 4 例题讲解 例 1 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为米的位置；铅球出手后，飞出水平距离米时到达离地面高度米的位置；飞出水平距离米时到达离地面高度米的位置；铅球的落地点为．设过位置的铅垂线与过位置的水平线相交于点，以为原点、为轴、为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1） 求铅球飞行时离地面的高度（单位：米）与飞出的水平距离（单位：米）的函数表达式． （2） 求铅球落地时，飞出的水平距离． 解第（1）题：． 代入、、，解得，，． 方法：三点坐标代入一般式。 注意：只保留的实际结果。 例题讲解 例 1 一位运动员推铅球，铅球的飞行轨迹是一条抛物线．已知铅球刚出手时在离地面高度为米的位置；铅球出手后，飞出水平距离米时到达离地面高度米的位置；飞出水平距离米时到达离地面高度米的位置；铅球的落地点为．设过位置的铅垂线与过位置的水平线相交于点，以为原点、为轴、为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1） 求铅球飞行时离地面的高度（单位：米）与飞出的水平距离（单位：米）的函数表达式． （2） 求铅球落地时，飞出的水平距离． 解第（2）题：米． 令，化为，得或；舍去负根． 方法：三点坐标代入一般式。 注意：只保留的实际结果。 例题讲解 例1：三条信息怎样进入方程 起点条件 ． 另外两点 ；． 消元求解 相减消去，再求、；最后回代三点． 例题讲解 变式 例 1 铅球轨迹满足，实际范围为．求铅球最高时的水平距离及最高高度． 答：水平距离米，最高高度米． 解 ． 在实际范围内，故顶点对应最高位置． 方法：配成顶点式直接读最高点． 注意：最高高度不是从出手处上升的高度． 环节归纳 轨迹建模的两种入口 三点确定一般式 （1）已知三个位置，设． （2）统一长度单位后，代入坐标求系数． 最高点确定顶点式 （1）已知最高点，优先设． （2）再用一个已知位置确定． 例题讲解 例 2 如图，有一块等腰直角三角形铁皮，底边长厘米．在其上截一块矩形铁皮，边在上，顶点、分别在、上．设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米． （1） 试写出关于的函数表达式及自变量的取值范围． （2） 求当的长为厘米时所截得矩形的面积． 厘米 解第（1）题：，． 由两侧角得、，故，． 方法：利用等腰直角三角形得到两端空余长度． 注意：保证矩形两边均为正． 例题讲解 例 2 如图，有一块等腰直角三角形铁皮，底边长厘米．在其上截一块矩形铁皮，边在上，顶点、分别在、上．设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米． （1） 试写出关于的函数表达式及自变量的取值范围． （2） 求当的长为厘米时所截得矩形的面积． 厘米 解第（2）题：平方厘米． 代入，得． 方法：利用等腰直角三角形得到两端空余长度． 注意：保证矩形两边均为正． 例题讲解 变式 例 2 例2中的矩形面积满足，．求最大面积及此时矩形的长和宽． 答：最大面积平方厘米；长厘米，宽厘米． 解 ，且在定义范围内． 当，矩形长． 方法：配方求最值，再回算两边． 注意：最大面积对应的矩形不一定是正方形． 环节归纳 几何面积建模的两种思路 几何长度法 （1）由特殊三角形求两侧空余长度． （2）用总长减去两侧，得到矩形长，再乘宽． 坐标关系法 （1）选底边为横向参照，按水平高度表示截线． （2）把几何范围转化为两条边长都大于零． 例题讲解 例 3 某公司自主设计了一款成本为元的儿童玩具，并投放市场进行试销售．经过调查发现，该产品每天的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足（）． （1） 求出每天销售这款儿童玩具获得的利润（单位：元）关于销售单价（单位：元）的函数表达式（利润＝销售额－成本）． （2） 当销售单价定为多少时，该公司每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 解第（1）题：，． ． 方法：把总利润写成单件利润与销量的乘积． 注意：原范围是，不能随意改掉． 例题讲解 例 3 某公司自主设计了一款成本为元的儿童玩具，并投放市场进行试销售．经过调查发现，该产品每天的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足（）． （1） 求出每天销售这款儿童玩具获得的利润（单位：元）关于销售单价（单位：元）的函数表达式（利润＝销售额－成本）． （2） 当销售单价定为多少时，该公司每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 解第（2）题：单价元时，最大利润元． ；在内． 方法：把总利润写成单件利润与销量的乘积． 注意：原范围是，不能随意改掉． 例题讲解 例3　利润图像与最大值 看实际范围 ，两端不包含。 读最高点 顶点，单价元时利润最大。 40 80 -40000 -20000 例题讲解 例3：三种金额不要混淆 销售额 ：每件售价乘售出件数． 总成本 ：每件成本乘售出件数． 总利润 ． 例题讲解 变式 例 3 沿用玩具利润模型．若售价另受限制为，求最大利润与对应售价． 答：售价元时，最大利润元． 解 均位于对称轴左侧，利润随售价增大而增大． 取，得． 方法：先检验原顶点是否允许，再看区间端点． 注意：受限后不能仍答售价元． 环节归纳 实际范围决定最优方案 顶点可取 把顶点横坐标与自变量范围比较． 顶点不可取 根据区间内增减情况，比较可取端点． 整数约束 若数量明确要求整数，应检查相邻可取整数． 课堂练习 练习1 某照明公司研发了一款成本为元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为元时，每月销售量为个；每涨价元，每月少销售个． （1） 求每月销售这款新型节能灯获得的利润（单位：元）关于销售单价（单位：元）的函数表达式． （2） 当销售单价定为多少时，每月销售这款新型节能灯所获得的利润最大？ 10 20 30 40 50 -1000 1000 2000 解第（1）题：． 月销量，故． 方法：涨价导致销量变化，再用单件利润乘销量． 注意：模型按涨价情形使用，且销量不能为负． 课堂练习 练习1 某照明公司研发了一款成本为元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为元时，每月销售量为个；每涨价元，每月少销售个． （1） 求每月销售这款新型节能灯获得的利润（单位：元）关于销售单价（单位：元）的函数表达式． （2） 当销售单价定为多少时，每月销售这款新型节能灯所获得的利润最大？ 10 20 30 40 50 -1000 1000 2000 解第（2）题：销售单价定为元． ；符合涨价和销量非负的限制． 方法：涨价导致销量变化，再用单件利润乘销量． 注意：模型按涨价情形使用，且销量不能为负． 课堂练习 练习2　观察喷水池题图 识别两张图 图（1）表示整体；图（2）表示最远水流。 区分所求的量 最高点对应最大高度；对应水池半径。 课堂练习 练习2 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央竖一根垂直于水面的水管，水管顶端安装一个喷头向外喷水．如图（1），表示水管，水流在各个方向上沿抛物线路径落下．在图（2）所示的平面直角坐标系中，水流表示落点离点最远的一条水流，其上的水珠高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为． （1） 水流上的水珠离水面的最大高度是多少？ （2） 如果不考虑其他因素，那么当圆形水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落到水池外？ 解第（1）题：最大高度为米． ． 开口向下，时取得最大值． 方法：配方求顶点高度。 注意：所求是离水面高度。 课堂练习 练习2 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央竖一根垂直于水面的水管，水管顶端安装一个喷头向外喷水．如图（1），表示水管，水流在各个方向上沿抛物线路径落下．在图（2）所示的平面直角坐标系中，水流表示落点离点最远的一条水流，其上的水珠高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为． （1） 水流上的水珠离水面的最大高度是多少？ （2） 如果不考虑其他因素，那么当圆形水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落到水池外？ 解第（2）题：至少为米． 令，得或． 取正根，米． 方法：落水点满足。 注意：是水池半径。 课堂练习 喷水池：用实际曲线复核 最高点 ，水珠最大高度米． 落水点 ，池半径至少米． -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 6 7 环节归纳 应用结果的三项检查 范围检查 轨迹只画实际运动部分，几何图形不能退化． 含义检查 横坐标可能是时间、距离或单价，不能混用． 单位检查 长度、面积和利润分别使用对应单位． 课堂小结 二次函数 实际应用 整理情境 读清自变量和因变量的意义与单位，把图形中的距离、高度和坐标一一对应． 建立表达式 运动用已知点定系数，面积写边长乘积，利润写单件利润与销售量的乘积． 选择求解法 求值就代入，求落点就令高度为零，求最值先配方并核验顶点是否在范围内． 回到实际 剔除不符合实际的根，保留正确单位；长、宽、销量以及价格必须满足原条件． 特别提醒：先定范围再谈最值；坐标必须解释为实际量． 针对训练 训练1　选择利润表达式 一件商品成本元，售价元，每日销量为件．每日利润应为哪个式子？ A． B． C． D． 答：选B． 解 单件利润为，乘每日销量得总利润． 方法：先区分单件利润与销售单价． 注意：成本须按售出件数累计． 针对训练 训练2　判断并说明理由 （1）运动轨迹求出负的落地距离也应保留． 错 理由：必须按距离非负的实际条件筛选． （2）矩形边长模型允许长和宽都为零． 错 理由：非退化矩形要求长宽均大于零． （3）配方得到的顶点一定是实际最优方案． 错 理由：还须检验顶点横坐标是否在范围内． （4）利润等于单件利润乘销量． 对 理由：在题设每件成本固定时成立． 方法：每项回到变量的实际含义检验． 注意：数学解与实际可用解要区分． 针对训练 训练3　把语言转化为数学 根据每小题的独立条件填空： （1） 以投掷点正下方地面为原点，向右为横轴正向、向上为纵轴正向．物体在右方米、离地米处，写出坐标． （2） 矩形一边为厘米，另一边为厘米，写出面积关系． （3） 上问矩形要求非退化，求范围． 解第（1）题 ． 水平距离在前，高度在后． 解第（2）题 ． ． 方法：按坐标轴定义放置两个量． 注意：不要互换横纵坐标． 方法：长乘宽后展开． 注意：面积单位为平方厘米． 针对训练 训练3　把语言转化为数学 根据每小题的独立条件填空： （1） 以投掷点正下方地面为原点，向右为横轴正向、向上为纵轴正向．物体在右方米、离地米处，写出坐标． （2） 矩形一边为厘米，另一边为厘米，写出面积关系． （3） 上问矩形要求非退化，求范围． 解第（3）题 ． 由且得结论． 方法：对两条边同时列正数条件． 注意：边长为零的端点排除． 针对训练 训练4　读图解释最高点与落点 图中表示一次运动的轨迹，原点在出手位置正下方地面，单位均为米．求最高高度及落地水平距离． -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 答：最高高度米，水平距离米． 解 顶点为；令得或． 取符合的落点横坐标． 方法：顶点读最高高度，零点读水平距离． 注意：最高点的横坐标不是最大高度． 针对训练 训练5　三点建立运动模型 某小球的飞行轨迹为抛物线．以出手点正下方地面为原点，向右、向上分别为两轴正方向，单位均为米．已知轨迹经过、、． （1） 求高度关于水平距离的表达式． （2） 求小球落地的水平距离，精确到米． 解第（1）题 ． 代入三点得，，，解得、． 方法：三点代入一般式联立求系数． 注意：相同高度两点可用于核验对称轴． 针对训练 训练5　三点建立运动模型 某小球的飞行轨迹为抛物线．以出手点正下方地面为原点，向右、向上分别为两轴正方向，单位均为米．已知轨迹经过、、． （1） 求高度关于水平距离的表达式． （2） 求小球落地的水平距离，精确到米． 解第（2）题 约米． 令得；舍去负值． ，故取米． 方法：令高度为零并按实际意义筛根． 注意：先保留精确根，最后按要求取近似值． 针对训练 训练6　几何面积模型 一块等腰直角三角形材料的斜边长厘米．按图截取矩形，在上，、分别在、上．设矩形的高厘米，面积为平方厘米． （1） 写出与的关系及范围． （2） 求矩形的最大面积及此时的高． 厘米 解第（1）题：，． 两侧三角形给出，故． 方法：利用左右两侧等腰直角三角形． 注意：矩形长不是． 针对训练 训练6　几何面积模型 一块等腰直角三角形材料的斜边长厘米．按图截取矩形，在上，、分别在、上．设矩形的高厘米，面积为平方厘米． （1） 写出与的关系及范围． （2） 求矩形的最大面积及此时的高． 厘米 解第（2）题：最大面积平方厘米，高厘米． ，且在范围内． 方法：利用左右两侧等腰直角三角形． 注意：矩形长不是． 针对训练 训练7　求单价与最大利润 某商品每件成本元，每天销量，其中是售价，．求每天利润的最大值及对应售价． 答：售价元时，最大利润元． 解 ． ，且在范围内． 方法：单件利润乘销量后配方． 注意：最高利润与销量最大不是同一问题． 针对训练 训练8　范围改变最值 函数的自变量只允许，求最大值． 答：当时，最大值为． 解 对称轴为，允许范围全在轴左侧． 开口向下，左侧随增大而增大，故取． 方法：先看顶点是否属于允许范围． 注意：不能直接把顶点值当作答案． 针对训练 训练9　由最高点反求模型 某抛物线形轨迹的最高点坐标为，且经过，各坐标单位均为米．求轨迹表达式． 答：． 解 设． 代入得，故． 方法：最高点已知，优先使用顶点式． 注意：最高点的两个坐标分别对应． 针对训练 训练10　审查落地模型的解 某运动从开始，高度（米）．小林由解得或（秒），回答两次落地．请改正． 答：实际在秒时落地． 解 代数方程确有两根，但不属于出发后的时间． 实际模型范围为． 方法：对全部代数根逐个检查实际范围． 注意：舍去负根时要写出理由． 针对训练 训练11　应用：靠墙围菜地 用米长的围栏，借助一面足够长的直墙围成矩形菜地，靠墙一边不用围栏．设垂直于墙的一边长米，菜地面积为平方米，围栏恰好全部用完． （1） 求关于的关系及范围． （2） 求最大面积与对应的两条边长． 墙 米 米 解第（1）题：，． 沿墙方向的边为，故． 方法：先明确哪些边需要围栏，再求面积． 注意：实际边长必须为正． 针对训练 训练11　应用：靠墙围菜地 用米长的围栏，借助一面足够长的直墙围成矩形菜地，靠墙一边不用围栏．设垂直于墙的一边长米，菜地面积为平方米，围栏恰好全部用完． （1） 求关于的关系及范围． （2） 求最大面积与对应的两条边长． 墙 米 米 解第（2）题：最大面积平方米；两边长米、米． ，取，另一边． 方法：先明确哪些边需要围栏，再求面积． 注意：实际边长必须为正． 针对训练 训练12　应用：票价与利润 某体验活动每位顾客的固定成本为元．票价元时每日有人参加；票价每提高元，每日参加人数减少人．规定票价在元至元之间，且可以取这两个端点． （1） 求每日利润关于票价的表达式及范围． （2） 票价多少时利润最大？最大利润是多少？ 解第（1）题 ，． 人数，故． 方法：以元为基准计算涨价和人数变化． 注意：原题给定的价格限制必须保留． 针对训练 训练12　应用：票价与利润 某体验活动每位顾客的固定成本为元．票价元时每日有人参加；票价每提高元，每日参加人数减少人．规定票价在元至元之间，且可以取这两个端点． （1） 求每日利润关于票价的表达式及范围． （2） 票价多少时利润最大？最大利润是多少？ 解第（2）题 票价元时，最大利润元． ；在规定范围内． 此时人，单人利润元，乘积元． 方法：配方求顶点，再用人数与单人利润复核． 注意：最终方案同时满足票价范围和人数非负． 方法总结 两种方法解决实际问题 关系式建模法 （1）运动把位置转化为坐标；面积、利润先写乘积关系． （2）解方程、配方求解后，用范围和单位检查结果． 图像解释法 （1）最高点对应最大高度，横轴交点对应落点或零利润． （2）实际图像只保留有意义的区间，按可取范围判断最优点． $