28.2 相似三角形的性质与判定综合（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定与性质综合，通过复习导入回顾平行、AA等四种判定方法及对应线段比、面积比等性质，搭建从基础到综合应用的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于结合典例分析（如内接正方形边长计算、比例线段证明）和中考真题，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），采用合作探究与归纳总结，学生能提升综合解题能力，教师可直接利用系统资源优化教学流程。

28.2 相似三角形性质 与判定的综合 第二十八章 相似三角形 沪教版九年级上册 学习目标 熟练掌握相似三角形的四种判定方法；掌握相似三角形的基本性质以及对应高、对应中线、对应角平分线、周长比、面积比的性质； 一 能综合利用判定和性质完成几何证明、线段求值、面积计算、比例线段推导等。 二 1 复习导入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 知识梳理一 相似三角形的判定方法 01 平行判定相似 定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 判定关键：平行 02 两角相等 (AA) 定理：两角分别相等的两个三角形相似。这是证明相似最常用、最核心的方法，优先考虑寻找等角关系。 判定关键：两角相等 03 两边成比例且夹角相等 (SAS) 定理：两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似。需特别注意必须是两组对应边的“夹角”相等。 判定关键：两边成比例且夹角相等 04 三边成比例 (SSS) 定理：三边对应成比例的两个三角形相似。此方法侧重于边长比例的计算与验证，适用于已知三边关系的场景。直角三角形只需要两组边对应成比例。 判定关键：三边成比例 知识梳理二 相似三角形的性质 01 对应角相等 相似三角形对应角相等。 这是相似三角形的基础判定依据与核心性质。 02 对应边成比例 相似三角形对应边成比例。它是建立相似三角形边长数量关系的关键。 03 周长比等于相似比 两个相似三角形的周长之比等于其相似比。 该结论可由“对应边成比例”的性质直接推导得出。 04 面积比等于相似比的平方 面积之比为相似比的平方。 这是相似三角形的高频考点，需特别注意：面积是二维度量，因此比例关系为相似比的平方，与一维的长度比例相区分。 05 对应线段比等于相似比 三角形内所有对应线段的比均等于相似比k，包括对应高、对应中线、对应角平分线、对应中位线等。这一推论体现了相似三角形在结构上的比例一致性，是解决复杂几何题的常用结论。 典例分析 1.正方形DEFG 的边EF 在∆ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上. 已知∆ABC 的边 BC 长为60 cm, 高 AH 为 40 cm. 求正方形DEFG 的边长. 【简析】∵DG//BC ∴∆ADE∽△ABC ∴= 可以设正方形的边长为x,列方程求解x=24. 求三角形内接正方形的边长 【点睛】本题主要考查了相似三角形高的比等于相似比的性质. 巩固练习 1.矩形HEFG Z内接于∆ABC ，且EH：EF=1：2，∆ABC 的边 BC 长为16 cm, 高 AD 为 12 cm. 求EF长. 【简析】∵EF//BC ∴∆EF∽△ABC ∴= 可以设矩形边长EH为x,则EF长为2x，列方程求解x=4.8，所以EF=9.6. 求三角形内接正方形的边长 【点睛】本题主要考查了相似三角形高的比等于相似比的性质. 典例分析 2.如图已知：点 D 、E 分别在线段AB 和AC 上 AD·AB=AE·AC,F是BE 与CD 的交点. 求证：∠BFC= ∠A+2∠C. 【简析】根据“飞镖模型”的特征有结论：∠BFC= ∠A+∠B+∠C 所以，本题的关键是证明∠B=∠C； 已知有条件四条线段成比例，根据“SAS”可证明∆ADC∽△AEB，从而获证∠B=∠C。 利用相似证明角相等 证明角相等的主要方法. 【点睛】 巩固练习 2.如图，已知：在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O, ∠BAC=∠BDC. 求证：∠ADB=∠ACB. 【简析】由∠BAC=∠BDC 结合对顶角相等，可以证_____∽_____ 要证∠ADB=∠ACB,关键是要证______∽________ 利用相似证明角相等 ∆ABO △DCO ∆ADO △BCO 要证∆ADO∽△BCO,已有条件是对顶角∠AOD=∠BOC，所以再找一个条件应该是_____________________ 可以由已证的结论_______________来证明. ∆ABO ∽△DCO 典例分析 3.如图已知：在∆ABC 中， AP 平 分∠BAC. 求证：= 【简析】要证比例线段，通常考虑证明相似，可是无法直接证明图中两个三角形相似，所以考虑添加辅助线。 过点B作BE//AC交AP的延长线于点E， 利用相似证明比例线段 由BE//AC可得相似______________， ∆APC∽∆EPB 从而得到比例线段：______________， = 对照要证的结论，关键还要证明：_________，可以通过角平分线+平行来证明。 AB=BE 要证比例线段⟸ 证相似⟸ 由平行证相似 由判定定理证相似 巩固练习 3.如图，已知：在∆ABC 中，AB=AC, 点 E 、F 在边BC 上， ∠EAF=∠B. 求证：BF·CE=AB² . 【简析】图中由两组子母型相似：_____∽______和______∽______ 要证BF·CE=AB²,无法直接找到三角形相似， ∆AEF △BAF 若将一个AB转化为AC，要证的结论变式为. ∆BAF ∽△CAE 利用相似证明比例线段 ∆AEF △CEA 可以考虑等比转化或等线段转化。 可以通过相似的传递性证明，证明________________即可. 本题也可由∆AEF∽△BAF得到_______ 由∆AEF∽△CEA得到_______ 根据中间比等量代换即可得到______________ 化成等积式即可得到______________ BF·CE=AB·AC=AB² 归纳总结 利用相似证明比例线段 对应边比例关系 等量代换法 直接相似法 找到包含四条线段的两个三角形 证明它们相似 由相似直接得出 适用于 四条线段恰好对应两个三角形的边 01 引入中间比 当四条线段不在两个相似三角形中时 02 分别证明两对相似三角形 得到两个比例式 03 等量代换 通过公共比或相等线段进行代换 典例分析 4.如图，已知：在∆ABC 中 ，AB=AC=1,∠A=36°,BD平分 ∠ABC 交AC 于点D.(1)求证：∆ABC∽∆BDC;(2)求BC 的长. 【简析】(1)∆ABC和∆BDC有一个公共角，要证明相似，可以考虑再找一个条件_____________。 利用相似计算线段长度 ∠BDC=∠BAC (2)由结论(1)可证得比例线段______________， 设BC=x,易得AD=BD=BC=x,CD=1-x,可列方程___________________ 解方程即可求得BC=x=_______________ 八年级我们常常用勾股定理列方程求线段长度的数量关系式； 九年级相似三角形中的比例线段也是列方程时常用的数量关系式。 【点睛】 巩固练习 3.如图，已知：在∆ABC 中，点P，D分别在边BC，AC上，PA⊥AB，垂足为A，DP⊥BC，垂足为P，且 求证：(1)∆APD∽∆ACP (2)如果AB=3，CD=2，求AP的长. 【简析】(1)图中由条件容易证得相似：_____∽______, ∆PDC △APB 由相似三角形对应角相等可以得到：∠PDC=_______ 从而通过______定理可以证明∆APD∽△ACP; (2)由结论（1）可得到______________ 以此为数量关系式可根据已知数据求得AP=_______. 利用相似计算线段长度 再由它们的邻补角相等可以得到：∠_______=_______ ∠APB ADP ∠APC A.A ADAC 小结梳理 相似三角形性质与判定 中考链接 1. （2026·上海·一模改编）已知，如图，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C，若AD=2，AB=9，AC=6，求AE的长． 【答案】AE=3 相似三角形性质与判定 中考链接 2. （2026·上海·一模改编）如图，在∆ABC和∆ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE． (1)写出图中两对相似三角形（不添加辅助线和字母）； (2)若B、D、E三点共线，证明∠ABE=∠ACE． 【答案】(1)∆ABC∽∆ADE ∆BAD∽∆CAE； (2)由结论（1）即可得。 相似三角形性质与判定 中考链接 3. （2026·上海普陀·二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E点在边BC上，，∠CED=∠ABD． 求证：四边形ABCD是平行四边形； 【答案】由可∆DEC∽∆BDC, 所以∠DEC=∠BDC, 通过等量代换可得∠ABD=∠BDC, 所以AB//CD, 由两组对边平行可证四边形是平行四边形. 相似三角形性质与判定 作业 习题28.2-28.4 第3,4,7题 必做题 相似三角形性质与判定 选做题 1.如图，在∆ABC中，DE//BC， Q为BC上的一点，AQ交DE于点，如果，BC=8，那么PQ的长是______． 【答案】PQ=3. 相似三角形性质与判定 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $